10-1曲線積分

1、第十章第十章 積分學(xué) 定積分二重積分三重積分 積分域 區(qū)間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分 曲線域曲線域曲面域曲面域 曲線積分曲線積分 曲面積分曲面積分 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 對(duì)面積的曲面積分 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 曲面積分曲面積分 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)第一節(jié) 一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第十章第十章 前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角 度從數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一度從數(shù)軸

2、上的一個(gè)區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一 個(gè)區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時(shí)常常會(huì)遇到計(jì)算密度個(gè)區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時(shí)常常會(huì)遇到計(jì)算密度 不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功、通不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功、通 過(guò)某曲面的流體的流量等，為解決這些問(wèn)題，需過(guò)某曲面的流體的流量等，為解決這些問(wèn)題，需 要對(duì)積分概念作進(jìn)一步的推廣，引進(jìn)曲線積分和要對(duì)積分概念作進(jìn)一步的推廣，引進(jìn)曲線積分和 曲面積分的概念，給出計(jì)算方法，這就是本章的曲面積分的概念，給出計(jì)算方法，這就是本章的 中心內(nèi)容，此外還要介紹中心內(nèi)容，此外還要介紹 Green 公式、公式、Gauss 公式公式 和和 Stokes 公式，這些公式揭示了存

3、在于公式，這些公式揭示了存在于 各種積分之間的某種聯(lián)系。各種積分之間的某種聯(lián)系。 重點(diǎn)重點(diǎn) 第二型曲線積分與曲面積分的概念和計(jì)算方法第二型曲線積分與曲面積分的概念和計(jì)算方法 Green公式、公式、Gauss 公式公式 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 難點(diǎn)難點(diǎn) 第二型曲面積分的計(jì)算第二型曲面積分的計(jì)算 基本要求基本要求 正確理解曲線積分和曲面積分概念正確理解曲線積分和曲面積分概念 熟練掌握曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法熟練掌握曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法 掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們?cè)诟拍?、掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們?cè)诟拍睢?性質(zhì)、計(jì)算方法上的異同性質(zhì)、計(jì)算方法上的異同 掌

4、握第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件掌握第二型曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立條件公式及其成立條件 牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立條件公式及其成立條件 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 實(shí)例實(shí)例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量 . sM ox y A B 1 M 2 M 1 i M i M 1 n M L ),( ii 分割分割 , 121in sMMM ,),( iii s 取取.),( iiii sM 求和求和 .),( 1 n i iii sM 近似值近似值 取極限取極限.),(lim 1 0 n i iii sM 精確值精

5、確值 二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念 1.定義定義 ,),( ,),( , ),(,. ,. ),(, 1 121 n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并作和并作和 作乘積作乘積 點(diǎn)點(diǎn)個(gè)小段上任意取定的一個(gè)小段上任意取定的一 為第為第又又個(gè)小段的長(zhǎng)度為個(gè)小段的長(zhǎng)度為設(shè)第設(shè)第個(gè)小段個(gè)小段 分成分成把把上的點(diǎn)上的點(diǎn)用用上有界上有界在在 函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè) ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L .),(lim),( ,),(, ),(, ,0 1

6、 0 n i iii L L sfdsyxf dsyxf L yxf 即即記作記作線積分線積分 第一類(lèi)曲第一類(lèi)曲上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或在曲線弧在曲線弧 則稱(chēng)此極限為函數(shù)則稱(chēng)此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在 時(shí)時(shí)長(zhǎng)度的最大值長(zhǎng)度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧段的 積分弧段積分弧段 被積函數(shù)被積函數(shù) 積分和式積分和式 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( L dsyxM 2.存在條件：存在條件： .),( ,),( 存在存在對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 上連續(xù)時(shí)上連續(xù)時(shí)在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) L dsyxf Lyxf 3.推廣推廣 曲曲線線積積分分為為

7、 上上對(duì)對(duì)弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf .),(lim),( 1 0 i n i iii sfdszyxf 注注 意：意： )(,)(. 1 21 LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),( 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf 2.( , ) ( , ). 3.( , )( , ) L L f x yL f x y ds f x y dsf x y L 函數(shù)在閉曲線 上對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分記為 中的被積函數(shù) 定義域是 上 的 的一切點(diǎn)。 思思 考考: : (1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么問(wèn) L

8、s (2) 定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例 ? 否否! 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中 但定積分中 dx 可能為負(fù)可能為負(fù). 4.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf ).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkf LL .),(),(),()3( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf ).( 21 LLL 5、幾何與物理意義、幾何與物理意義 ,),()1(的的線線密密度度時(shí)時(shí)表表示示當(dāng)當(dāng)Lyx ;),( L dsyxM ;,1),()2( L

9、 dsLyxf 弧弧長(zhǎng)長(zhǎng) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,),( ),()3( 處處的的高高時(shí)時(shí)柱柱面面在在點(diǎn)點(diǎn) 上上的的表表示示立立于于當(dāng)當(dāng) yx Lyxf s L ),(yxfz .),( L dsyxfS柱 柱面面面面積積 三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算 22 ( , ), ( ), () ( ), ( ),( ) , , ( , ) ( ),( )( )( ) () L f x yL xt Lt yt tt f x y dsftttt dt 設(shè)在光滑曲線弧 上有定義且連續(xù) 的參數(shù)方程為其中 在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 定理： 基本思路基本思路:計(jì)算定積分計(jì)算定積分 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化 求曲線積分求曲

10、線積分 xd yd sd x y o L syxfd),( tttttfd)()()(),( 22 3. 注意到注意到 22 )(d)(ddyxs tttd)()( 22 x 因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. . （證明略） 注意注意: : ;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限 2.( , ),.f x yx y中不彼此獨(dú)立 而是相互有關(guān)的 而受方程L的約束，實(shí)際上，此時(shí)f(x,y)只依賴(lài) 于一個(gè)變量。 不同特殊情形：不同特殊情形： .)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL .)(:)2(dy

11、cyxL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL 如果方程為直角坐標(biāo)形式如果方程為直角坐標(biāo)形式: : （3 3）如果方程為極坐標(biāo)形式如果方程為極坐標(biāo)形式: :),()(: rrL 則syxf L d),( )sin)(,cos)(rrf （4 4）設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為：設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為： )()(, )(),(:ttztytx 則 szyxfd),( ttttd)()()( 222 d)()( 22 rr )(),(, )(tttf 代代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)， 換換：換弧微元：換弧微元dtyxds 22 定限定限

12、：定積分限，下限：定積分限，下限小參數(shù)，上限小參數(shù)，上限大參數(shù)大參數(shù) 一代、二換、三定限一代、二換、三定限 ( , )d L f x ys 計(jì)算的基本方法： 例例1. 計(jì)算,d L sx其中 L 是拋物線 2 xy 與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(: 2 xxyL L sxd 1 0 xxxd)2(1 2 xxxd41 1 0 2 1 0 2 3 2 )41 ( 12 1 x )155( 12 1 上點(diǎn) O (0,0) 1 L x y 2 xy o ) 1 , 1 (B 例例2 .) 2, 1 () 2 , 1 (,4: , 2 一一段段到到從從其其中中 求求 xyL y

13、dsI L xy4 2 解解 dy y yI 2 2 2 ) 2 (1 . 0 怎么計(jì)算方便？怎么計(jì)算方便？ 例例3. 計(jì)算計(jì)算 L xyds其中其中L為為 222 ayx 在第二象限的部分（在第二象限的部分（a0） 解一解一 將將L表示為表示為 0, 22 xaxay dxyds 2 1 dx xa a 22 dx xa a xaxxyds L a 22 0 22 2 3 a 解二解二將將L表示為表示為 ayyax 0, 22 dyxds 2 1 dy ya a 22 22 22 0 () a L a xydsay ydy ay 2 3 a 解三解三 將將L表示為參數(shù)方程表示為參數(shù)方程 ta

14、y tax sin cos ) 2 ( t adtdttatads 22 )cos()sin( L adttataxyds 2 sincos 2 3 a 例例4 )20(. ,sin,cos:, 的的一一段段 其其中中求求 kz ayaxxyzdsI 解解 dkaka 222 sincos 2 0 I . 2 1 222 kaka 練習(xí)練習(xí) () . L xy ds 計(jì)算其中 解解. 0)( x (1) : (0,0) (2,0) LoA點(diǎn)到點(diǎn)的直線； (2) : (2,0) (2,3) LAB點(diǎn)到點(diǎn)的直線； A x y o2 3 B (1) L：. 20 , 0)( xxy L dsyx)(

15、dxx 2 0 2 01 )0( dxx 2 0 . 2 . 0)( x (2) L：. 30 , 2)( yyx L dsyx)(dyy 3 0 2 01 )2( dyy 3 0 )2( . 2 21 例例5. 計(jì)算,dsxI L 其中L為雙紐線 )0()()( 222222 ayxayx 解解: 在極坐標(biāo)系下 它在第一象限部分為 ) 4 0(2cos: 1 arL 利用對(duì)稱(chēng)性 , 得 sxI L d4 1 4 0 22 d)()(cos4 rrr 4 0 2 dcos4 a 2 22a ,2cos: 22 arL y o x 例例6. 計(jì)算曲線積分 ,d)( 222 szyx其中為螺旋 的

16、一段弧. 解解: szyxd)( 222 2 0 222 )()sin()cos(t ktata ttkakad 2 0 22222 0 2 3 2 222 3 t k taka )43( 3 2 22222 kaka tktatad)cos()sin( 222 )20(,sin,costtkztaytax線 d d s 例例7. 計(jì)算,d)( 222 szyxI 其中為球面 22 yx 解解: , 1 1)( : 2 4 1 2 2 1 2 1 zx yx :20 2 )sin2( 2 )cos2( 2 )sin2( 18d2 2 92 0 I d2 cos2 2 1 z . 1的交線與平面

17、 zx 2 9 2 z 化為參數(shù)方程 2 1 cos2x sin2y 則 注注 關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱(chēng)性關(guān)于對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的對(duì)稱(chēng)性 若若 L 關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng) L dsyxf),(對(duì)對(duì) L dsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LL dsyxfdsyxfyxfyxf 1 ),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 其中其中L1 是是L 的關(guān)于的關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段 0,),( | ),( 1 xLyxyxL 若若L關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng) L dsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LL dsyxfdsyxfyxf

18、yxf 2 ),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 其中其中L2 是是L 的關(guān)于的關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段軸對(duì)稱(chēng)的部分弧段 0,),( | ),( 2 yLyxyxL 若若 L 關(guān)于關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) L dsyxfyxfyxf0),(),(),()1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) LL dsyxfdsyxfyxfyxf 3 ),(2),(),(),()2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 其中其中 L3 是是 L 的對(duì)稱(chēng)的部分弧段的對(duì)稱(chēng)的部分弧段 00,),( | ),( 3 yxLyxyxL 若若 L 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) LL dsxyfdsyxf),(),( 與重積分的對(duì)稱(chēng)性十分類(lèi)似與重積分的對(duì)稱(chēng)性十分

19、類(lèi)似 例例. 計(jì)算計(jì)算 32 () L xyds 其中其中L為為: 222 ayx 解解由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性, 知知 2222 1 (). 2 LLL Iy dsx dsxyds 22 1 () 2 Ixyds 故 2 2 L a ds 3. a (2,) L ads 圓的周長(zhǎng) 3 0 x ds 例例 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI 為圓周為圓周其中其中 求求 解解由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性, 知知. 222 dszdsydsx dszyxI)( 3 1 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ),2(球球面面大大圓圓周周長(zhǎng)長(zhǎng) dsa 注：常規(guī)方法是消去注：常規(guī)方法是消去z，化為參數(shù)方程求解。，化為參數(shù)方程求解。 繁！繁！ 五、小結(jié)