七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)22乘法公式平方差公式典型例題素材湘教版

1、平方差公式典型例題例 1 下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？（1）(2m -3n )(3n -2 m)； （2）( -5xy +4 z )(-4y -5 xz )；（3）(b +c -a )( a -b -c )； （4）(8 x3-1 1xy 2 )( x 2 y +8 x 3 33)（5）( x -y +z )( -x +y +z )例 2 計(jì)算：（1）(2 x +3 y )(2 x -3 y)；（2）( -3a -5b)(3a -5b )；（3）( -x 2 -y 3 )( y 3 -x 2 )；（4）(4 y +3 x -5 z )(3 x -4 y +5 z )例 3

2、 計(jì)算( -y -3 xy )( -3xy +y )例 4 利用平方差公式計(jì)算 ：（1）19992001； （2）402 1393 3例 5 計(jì)算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)1 / 7例 6 計(jì)算：（1）(2 x -y )( y +2 x ) -2(3 x -2 y)( -2y -3 x) -(11x -3 y )(2 x -3 y )（2）( x +y )2 ( x -y ) 2 -( x -y )( x +y )( x 2 +y 2)例 7 計(jì)算：(x2+4)(x-2)(x+2)例 8 填空(1) (a+d)( )=d2-a2(2) (-xy-1)( )=x2y2-

3、1例 9計(jì)算(2 +1)(22+1)(24+1) k (22n+1)2 / 7參考答案例 1 分析：兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只有當(dāng)這兩個(gè)多項(xiàng)式各分為兩部分之后，它們的一部分 完全相同，而另一部分只有符號(hào)不同，才能夠運(yùn)用平方差公式解：（1）兩個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)分別是 2m ， -3n 和 -2m ， 3n. 兩部分的符號(hào)都不相同， 沒有完全相同的項(xiàng)，所以不能用平方差公式（2）這兩個(gè)二項(xiàng)式的兩項(xiàng)分別是-5 xy，4 z和-5 xz，4 y，所含字母不相同，沒有完全相同的項(xiàng)，所以不能用平方差公式（3） b 與 -b ， -a 與 a ， c 與 -c ，沒有完全相同的項(xiàng)，不能用平方差公式（4）兩個(gè)二項(xiàng)式中，8x

4、3 完全相同，但-1 1 xy 2 與 - x3 32y除去符號(hào)不同外，相同字母的指數(shù)不同，所以不能用平方差公式（5）x與-x，y與-y，只有符號(hào)不同，z完全相同，所以可以用平方差公式可用平方差公式例 2分析：在應(yīng)用乘法公式進(jìn)行實(shí)際問題的計(jì)算時(shí)，多項(xiàng)式的系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)、相對(duì)位置不一定符合公式的標(biāo)準(zhǔn)形式，但只要對(duì)題目的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行認(rèn)真觀察，就可以發(fā)現(xiàn)這 幾個(gè)題目都可以應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算解： （1）原式=(2 x ) 2 -(3 y ) 2=4 x2-9 y2（2）原式= -(3a +5b )(3a -5b)=-(3a)2-(5b )2=-(9a2 -25b 2)或原式=25b2 -9a 2

5、=( -5b +3a )( -5b -3a)=( -5b )2 -(3a ) 2=25b2 -9 a 2（3）原式=( -x2 +y 3 )( -x 2 -y 3)=( -x2)2-( y3)2=x 4 -y 63 / 7（4）原式=3 x +(4 y -5 z )3 x -(4 y -5 z )=(3 x) 2 -(4 y -5 z )(4 y -5 z )=9 x2-(16 y2-40 yz +25 z 2 )=9 x2-16 y2+40 yz -25 z2說明：1）乘法公式中的字母 a, b ，可以表示數(shù)，也可以表示字母，還可以表示一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；2）適當(dāng)添加括號(hào)，將有利于應(yīng)用乘法公

6、式，添加括號(hào)的方法不同，一題可用多種解法，得出相同的結(jié)果；3）一定要認(rèn)真仔細(xì)地對(duì)題目進(jìn)行觀察研究，把不符合公式 標(biāo)準(zhǔn)形式的題目，加以調(diào)整，使它變化為符合公式標(biāo)準(zhǔn)的形式例 3 分析：本題有四種思路，它屬于多項(xiàng)式乘法可以直接用法則計(jì)算若將原式整理為-(y +3 xy )( y -3 xy )可用平方差公式計(jì)算觀察兩因式中，都有-3 xy，又有互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，y和-y，也可以直接用平方差公式計(jì)算，可得( -3xy )2 -y 2可變形為-( -y -3 xy )(-y +3 xy )，得- y 2 -( -3xy ) 2 解：或( -y -3 xy )( -3xy +y )= -(y +3 xy

7、)( y -3 xy )=-y 2 -( -3xy ) 2 =-y 2 +9 x 2 y 2( -y -3 xy )( -3xy +y )=( -3xy ) -y (-3xy ) +y =( -3xy ) 2 -y 2=9 x 2 y 2 -y 2說明：根據(jù)平方差公式的特征，一般常見的變形有位置變化，如( a +b )( -b +a )符號(hào)變化，系數(shù)變化，還有一些較復(fù)雜的變形，如( -a +b -c -d )( a -c +b +d )，兩因式中都有 b -c ，并且 -a -d 與 a +d 互為相反數(shù)，因此，可以湊成平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，即(b -c ) -( a +d )(b -c )

8、+( a +d )例 4 分析：運(yùn)用平方差公式可使與例 2 類似的計(jì)算題變得十分簡(jiǎn)便運(yùn)用平方差公式計(jì)算兩個(gè)有理數(shù)的積時(shí)，關(guān)鍵是要將其寫成平方差法：（1）觀察法如第（1）題適合此法；（2）4 / 7803 3平均數(shù)法如第（2）題中，a =2 140 +39= =40.2 2解：（1）19992001=(2000 -1)(2000 +1) =2000 2 -12（2）240 3931 2 2 =(40 + )(40 - )3 3 3=4022 4 5 -( ) 2 =1600 - =1599 .3 9 9說明：在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)適當(dāng)運(yùn)用平方差公式會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便例 5 分析：前兩個(gè)相乘的多項(xiàng)式不符合平

9、方差公式特征，只能用“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”；后兩個(gè)多項(xiàng)式相乘可以用平方差公式，算出的結(jié)果一定要打上括號(hào)，再進(jìn)行下面的計(jì)算. 解：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)=2a2-ab-4ab+2b2-(2a)2-b2 =2a2-5ab+2b2-(4a2-b2)=2a2-5ab+2b2-4a2+b2=-2a2-5ab+3b2打括號(hào)說明：當(dāng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，用平方差公式計(jì)算出的結(jié)果一定要打上括號(hào)再與其他項(xiàng)進(jìn)行加、減、 乘、除等運(yùn)算！例 6 分析：（1）中的(2 x -y )( y +2 x ), (3 x -2 y )( -2y -3 x)都可以利用平方差公式計(jì)算，(11x -3 y )(2 x

10、-3 y )可以利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算（2）中的( x +y ) 2 ( x -y ) 2 可以逆用冪的運(yùn)算法則，寫成( x +y )( x -y )2再計(jì)算解：（1）原式=(2 x +y )(2 x -y ) +2(3 x +2 y ) (3x -2 y ) -(22 x2 -39 xy +9 y 2)=4 x2-y2+18 x2-8 y2-22 x2+39 xy -9 y2=-18 y 2 +39 xy5 / 72 2（2）原式=( x +y )( x -y )2 -( x 2 -y 2 )( x 2 +y 2)=( x 2 -y 2 ) 2 -( x 4 -y 4 )=( x2-y2)(

11、 x2-y2) -( x4-y4)=x4 -x 2 y 2 -x 2 y 2 +y 4 -x 4 +y 4=2 y 4 -2 x 2 y 2說明：（1）平方差公式積適用于( a +b )( a -b )類型的多項(xiàng)式乘法，其中a、b可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式（2）逆用冪的運(yùn)算法則，( x +y ) 2 ( x -y ) 2 =( x +y )( x -y )2是常用的解題技巧（3）此題中的第（1）題先利用乘法的交換律及結(jié)合律合理變形后，可連續(xù)運(yùn)用平方差公式；第（2）題先利用加法結(jié)合律，把兩個(gè)因式變?yōu)椤皟蓴?shù)的和與這兩數(shù)的差”的形式，進(jìn)而利 用平方差公式計(jì)算這些都是常用的解題技巧例 7 分析：

12、由于運(yùn)用平方差公式可簡(jiǎn)化運(yùn)算，因此可以利用乘法結(jié)合律先將可用平方差公 式進(jìn)行計(jì)算的部分先計(jì)算，而且平方差公式可以連用.解：(x2+4)(x-2)(x+2)=(x2+4)(x-2)(x+2)=(x2+4) (x2-4)=（x2）2-42用公式計(jì)算后的結(jié)果要打括號(hào)=x4例 8-16分析：根據(jù)平方差公式右邊 a2-b2 中被減數(shù)中的 a 代表相同的項(xiàng)，而減數(shù)中的 b 在等式左邊中應(yīng)是互為相反數(shù)的兩項(xiàng).（1）中 d2-a2中的 d 在兩個(gè)二項(xiàng)式中皆為正，而 a 在第一個(gè)多項(xiàng)式中為正，則在第二個(gè)多項(xiàng)式中應(yīng)為負(fù).(2)中含 xy 的項(xiàng)為 a，即相同的項(xiàng)，而含 1 的項(xiàng)為 b,即互為相反的項(xiàng).解：（1）( a +d ) (d-a ) =d -a = = =（2）( -xy-1 ) (-xy +1 ) = xy -1