數(shù)學(xué)故事之--生活中的統(tǒng)計(jì)學(xué)陷阱

1、生活中的統(tǒng)計(jì)學(xué)陷阱在你聽到一種統(tǒng)計(jì)關(guān)系時(shí)，可得慎重一些，千萬不要輕率地對(duì)事 件發(fā)生的因果關(guān)系做出判定，因?yàn)槭虑椴⒉荒敲春?jiǎn)單。讓我們來看幾個(gè)不可輕率做出結(jié)論的例子。統(tǒng)計(jì)資料表明，大多數(shù)汽車事故出在中等速度的行駛中，極少的事故是出在大于 150 公里/小時(shí)的行駛速度上。這是否就意味著高 速行駛比較安全呢?正確答案 :絕不是這樣。統(tǒng)計(jì)關(guān)系往往不能表明因果關(guān)系。由于多數(shù)人是以中等速度開車，所以多數(shù)事故是出在中等速度的行駛中。有一個(gè)調(diào)查研究說腳大孩子的拼音比腳小的孩子好。這是否是 說一個(gè)人腳的大小是他拼音能力的度量？正確答案：不是的。這個(gè)研究對(duì)象是一群年齡不等的孩子。它的結(jié)果實(shí)際上是因?yàn)槟挲g較大的孩子腳

2、大些，他們當(dāng)然比年齡小的孩子 拼得好些。常常聽說，汽車事故多數(shù)發(fā)生在離家不遠(yuǎn)的地方，這是否就意 味著在離家很遠(yuǎn)的公路上行車要比在城里安全些呢？正確答案：不是，統(tǒng)計(jì)只不過反映了人們往接是在離家不遠(yuǎn)的地 方開車，而很少在遠(yuǎn)處的公路上開車。有一項(xiàng)研究表明某一個(gè)國(guó)家的人民，喝牛奶和死于癌癥的比例 都很高。這是否說明是牛奶引起癌癥呢？正確答案：不對(duì)！原因是這個(gè)國(guó)家老年人的比例也很高。由于癌癥通常是年齡大的人易得，正是這個(gè)因素提高了這個(gè)國(guó)家癌癥死亡者 的比例。上述例子表明，統(tǒng)計(jì)學(xué)論述在涉及因果關(guān)系時(shí)很容易造成誤讀?，F(xiàn)代的廣告，尤其是很多電視的商業(yè)廣告正是以這種統(tǒng)計(jì)誤讀為根基 的。很多人以為自己是數(shù)學(xué)天才，

3、直到遇見了極限反比例函數(shù)是大家接觸最早和最熟悉的函數(shù)之一，它的函數(shù)解析式是 y=k/x （k 為常數(shù)，k0）。我們利用反比例函數(shù)的解析式，就可以畫出它的圖像，如 下圖所示：根據(jù)函數(shù)的圖像可知，在 k0 情況下的第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)中 x 的值 無限變大，大到無窮的時(shí)候，曲線就不斷向 x 軸靠近，換句話說 y 的值逐漸向“0” 靠近；或者是 y 的值無限變大，曲線就不斷向 y 軸靠近，x 的值逐漸向“0”靠近。此時(shí)，有些人就會(huì)產(chǎn)生一些疑問，當(dāng)這個(gè) x 的值取到非常大、非常大、非常 大的時(shí)候，y 的的值和“0” 之間存在什么樣的關(guān)系呢？會(huì)相等嗎？對(duì)于類似這樣的疑惑，我們從現(xiàn)代數(shù)學(xué)“極限”的角度出

4、發(fā)，就很好回答，但 在幾百年前，像這樣的問題在當(dāng)時(shí)卻屬于一個(gè)世界性的難題。我們知道，對(duì)于某一個(gè)函數(shù)，假設(shè)其中的某一個(gè)變量 x，它在無限變大（或 者變小）的這一變化過程中，導(dǎo)致另一個(gè)變量 y 逐漸向某一個(gè)確定的數(shù)值 m 不 斷地靠近，不過最終的結(jié)局只能是不斷的接近“m”，卻永遠(yuǎn)都無法跟“m”重合。簡(jiǎn)而言之，某一變量 x 處于無限變大或無限變小這一變化過程，那么另一個(gè) 變量 y 的值永遠(yuǎn)都不會(huì)等于 m，但只要變量 x 一直處于無限變大或無限變小中， 那么 y 的值可以取等于 m，這就是極限的思想。因此，如果一個(gè)人要想理解“極限”這一抽象數(shù)學(xué)概念，那么就需要學(xué)會(huì)接受 和明確知道極限是一種“變化狀態(tài)”

5、的描述，變量 y 有不斷地努力靠近 m 點(diǎn)的趨勢(shì)。 此時(shí)，變量 y 永遠(yuǎn)趨近的值 m 就叫做“極限值”。極限作為微積分、數(shù)學(xué)分析等重要內(nèi)容的基礎(chǔ)，可以說是初等數(shù)學(xué)邁入高等 數(shù)學(xué)一個(gè)關(guān)鍵門檻。正如所有的數(shù)學(xué)知識(shí)概念出現(xiàn)的背景一樣，極限也是屬于社 會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)之間產(chǎn)生的“矛盾”產(chǎn)物。在早期 16 世紀(jì)的歐洲，一些國(guó)家開始進(jìn)入資本主義萌芽階段，整個(gè)社會(huì)處 于快速變革狀態(tài)，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，出現(xiàn)一些最基本的工業(yè)化。人們?cè)诎l(fā) 展過程中，發(fā)現(xiàn)很多生產(chǎn)技術(shù)都出現(xiàn)問題，跟不上社會(huì)發(fā)展的速度，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué) 知識(shí)已經(jīng)無法順利解決一些“變化的量”，如運(yùn)動(dòng)變化、天文學(xué)、機(jī)械化、航海、 采礦、大壩建造等，都需

6、要新的數(shù)學(xué)知識(shí)才能解決。初等數(shù)學(xué)很多時(shí)候只能解決一些相對(duì)“穩(wěn)定”的量，但在現(xiàn)實(shí)工作生活中，充 滿了大量“變化的量”，這就要求數(shù)學(xué)必須突破現(xiàn)有的知識(shí)壁壘，能夠找到一種可 以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過程的新數(shù)學(xué)知識(shí)，最終解決這些“變量”問題。基于當(dāng) 時(shí)這樣的社會(huì)發(fā)展背景，數(shù)學(xué)家都努力嘗試突破傳統(tǒng)的思維模式，直接促進(jìn) “ 極 限”思維的形成和發(fā)展，從而建立微積分等重要數(shù)學(xué)分支。最早的時(shí)候，牛頓和萊布尼茨在各自的領(lǐng)域創(chuàng)立了微積分，讓“極限”的發(fā)展 擁有了正是展開拳腳的舞臺(tái)。在當(dāng)時(shí)，微積分一經(jīng)創(chuàng)立誕生，就幫助很多人順利 解決了以往在運(yùn)動(dòng)變化、力學(xué)、天文學(xué)等中認(rèn)為束手無策的難題，數(shù)學(xué)也迎來了 新的發(fā)展。不過，

7、牛頓和萊布尼茨所創(chuàng)立的微積分并不是十分完善，特別是在一些關(guān)鍵 疑難點(diǎn)沒有講清楚，如“無窮小量”的解釋，邏輯上存在著很多混亂，盡管當(dāng)時(shí)的 “初始微積分”已經(jīng)能輕而易舉解決一些實(shí)際工作中的難題。就像牛頓的瞬和流數(shù)或是萊布尼茨的 dx 和 dy，都需要解決和講清楚“無窮 小量”這一特殊概念，但這兩位偉人都沒有給出明確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。為什么“無窮小量”會(huì)這么重要呢？我們都知道，在微積分的推導(dǎo)或運(yùn)算過程中，常常需要先用“無窮小量”作為 分母進(jìn)行除法，然后又把“無窮小量”當(dāng)作零來處理，以消除那些包含有它的項(xiàng)。那么問題就來了，“無窮小量”究竟是零還是非零呢？因?yàn)槿绻橇?，怎么能用它去作除?shù)呢？如果它不是零，

8、又怎么能把包含 它的那些項(xiàng)消除掉呢？這種邏輯上的矛盾，直接或間接影響微積分的發(fā)展，更讓 所有數(shù)學(xué)家不僅意識(shí)到“極限”這一概念的重要性，更明白極限思想的進(jìn)一步發(fā)展 是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。當(dāng)時(shí)的人們束縛于狹小的觀念里，還是以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方式去看待 “ 極 限”，試圖用“零誤差”去進(jìn)行變量計(jì)算，這樣的思維方式只能導(dǎo)致悖論的發(fā)生，這 就是數(shù)學(xué)史上所說的“無窮小量”悖論產(chǎn)生的原因。牛頓和萊布尼茨在晚期都不同程度地接受了極限思想，也都努力去嘗試解決 這一“神秘”概念，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)。很多可惜，牛頓和萊布尼茨為都無法完整得出極限的嚴(yán)格表述。雖然當(dāng)時(shí)的人們沒有弄清楚“極限”這一概念，

9、但微積分的出現(xiàn)，確實(shí)促進(jìn)社 會(huì)的發(fā)展。隨著微積分應(yīng)用的更加廣泛和深入，大家都意識(shí)到需要解決“極限”這 一問題，要有嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯的數(shù)學(xué)語言對(duì)其進(jìn)行完整描述。加上人類文明不斷向前進(jìn)步，遇到的問題越來越復(fù)雜，這就要求數(shù)學(xué)必須推 出明確的概念、合乎邏輯的推理和運(yùn)算法則。進(jìn)入 19 世紀(jì)之后，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西比較完整地闡述了“極限”的概念， 以及相關(guān)的理論。柯西在分析教程中指出：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨 于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有 其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無限地減小使之收斂到 極限 0，就說這個(gè)變量成為“無窮小量”?？挛靼选盁o窮小

10、量”視為“以 0 為極限的變量”，這就準(zhǔn)確地確立了 “無窮小量” 概念，“無窮小量”就是極限為“0”的變量，在變化過程中，它可以是“非零”，但它 的變化趨向是“0“，無限地接近于“0”，可以人為用等于 0 方式去處理。直白地講，在變量的變化過程中，它的值實(shí)際上不等于 “0”，但它變化的趨 向是向“0”，可以無限地接近于“0”，那么人們就可以用“等于 0”的方式來處理，就 不會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。極限論正是從變化趨向上說明了“無窮小量“與“0“的內(nèi)在聯(lián)系，從而澄清了邏 輯上的混亂，完善了微積分的發(fā)展?？挛髟诜治鼋坛讨?，不僅對(duì)極限概念進(jìn)行基本明確的敘述，并以極限概 念為基礎(chǔ)，對(duì)“無窮小量“、無窮級(jí)數(shù)的“和”等概念給出了比較明確的定義?！皹O限”這一重要理論之后又經(jīng)過波爾察諾、魏爾斯特