難點(diǎn)22軌跡方程的求法

1、本資料從網(wǎng)上收集整理難點(diǎn) 22 軌跡方程的求法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義， 方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力， 難點(diǎn) .難點(diǎn)磁場(chǎng)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握， 還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)， 也是同學(xué)們的一大( )已知 A、 B 為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) 方程，并注明軌跡是什么曲線 .M到A與到 B的距離比為常數(shù) ,求點(diǎn) M 的軌跡案例探究例 1如圖所示，已知 P(4， 0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點(diǎn)， A、B 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)

2、，且滿足 APB=90，求矩形 APBQ 的頂點(diǎn) Q 的軌跡 方程 .命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方 程，屬級(jí)題目 .知識(shí)依托： 利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段 AB 中點(diǎn)的軌跡方程錯(cuò)解分析：欲求 Q 的軌跡方程，應(yīng)先求 R 的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了 問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題 .技巧與方法： 對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題， 可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌 跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程 .解：設(shè) AB 的中點(diǎn)為 R，坐標(biāo)為 (x,y)，則在 RtABP 中， |AR|=|PR|.又因?yàn)?R是弦 A

3、B的中點(diǎn)，依垂徑定理： 在 RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又 |AR|=|PR|= (x 4)2 y2所以有 (x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x 10=0因此點(diǎn) R在一個(gè)圓上，而當(dāng) R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， Q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) .設(shè) Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)?R是 PQ 的中點(diǎn)，所以 x1= x 4, y1 y 0,22 代入方程 x2+y2 4x 10=0,得x 4 2 y 2 x 4 ( 2 )2 (2)2 4 2 10=0 整理得： x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 .例 2設(shè)點(diǎn) A 和 B 為拋物線 y2=4

4、px(p 0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA OB，OMAB，求點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000 年北京、安徽春招 )命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬級(jí)題目 . 知識(shí)依托：直線與拋物線的位置關(guān)系 .錯(cuò)解分析：當(dāng)設(shè) A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“ x1=x2”的討論 . 技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x、 y 用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而 就建立了關(guān)于 x、 y 的關(guān)系 .解法一：設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依題意，有第1 頁共7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理2 y14px12 y24p

5、x2y1y2 1x1x2yy1 y21xx1 x2y1y2 y y1x1 x2 x x1得 (y1 y2)(y1+y2)=4p(x1 x2)若 x1x2,則有 y1 y24p x1 x2 y1 y2 3 ,得 y122 y22=16p2x1x2代入上式有 y1y2= 16p2代入，得 4p x y1 y2 y代入，得 4p y y1 y y12 y1 y2 x x1y12x 4p所以 4p 4p(y y1) y1 y2 4px y1222即 4pxy12=y(y1+y2) y12 y1y2 、代入上式，得 x2+y2 4px=0(x 0)當(dāng) x1=x2時(shí)，ABx 軸，易得 M(4p,0)仍滿足

6、方程 .故點(diǎn) M 的軌跡方程為 x2+y24px=0(x0)它表示以 (2p,0)為圓心，以 2p 為半徑的圓，去 掉坐標(biāo)原點(diǎn) .解法二：設(shè) M(x,y)，直線 AB 的方程為 y=kx+bx由 OM AB，得 k=y由 y2=4px 及 y=kx+b，消去 y,得 k2x2+(2kb 4p)x+b2=0b2 2所以 x1x2= kb2 ,消 x,得 ky24py+4pb=0第2 頁共7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理所以 y1y2= 4pb ，由 OAOB，得 y1y2=x1x2 k所以 4kpk =kb2 ,b=4kp故 y=kx+b=k(x4p),用 k= x 代入，得 x2+y2 4px=0(

7、 x 0)y故動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡方程為 x2+y24px=0(x0)，它表示以 (2p,0)為圓心，以 2p 為半徑的圓， 去掉坐標(biāo)原點(diǎn) .例 3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為 2 cm 和一個(gè)直徑為 1 cm 的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直 徑為 3 cm 的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 圓柱的直徑為多少？命題意圖： 本題考查 “定義法” 求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能 力，屬級(jí)題目 .知識(shí)依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn) . 錯(cuò)解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)鍵.技巧與方法：研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)?/p>

8、坐標(biāo)系，找到動(dòng) 圓圓心的軌跡方程 .解：設(shè)直徑為 3,2,1 的三圓圓心分別為 O、A 、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩 等圓 P、Q,使它們與 O相內(nèi)切，與 A、 B相外切 .建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè) P 的半徑為 r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點(diǎn) P 在以 A、O 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2.5 的橢圓上，其方程為16(x 1)242y225 3=1同理 P 也在以 O、 B 為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 的橢圓上，其方程為(x 1 )2+ 4y2=123由、可解得P(9 ,12),Q( 9 , 12)14 14 14 143 r=2(194)2 (1142)214 14故所求圓柱的直徑為 6 c

9、m.7錦囊妙計(jì) 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法 .(1) 直接法 直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化 簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 .(2) 定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等) ，可用定義直接探求 .(3) 相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 .(4) 參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) (x,y)中的 x,y 分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè) 變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程 .第3 頁共7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“

10、軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念 .殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.( ) 已知橢圓的焦點(diǎn)是 F1、 使得|PQ|=|PF 2|，那么動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡是 (A.圓C. 雙曲線的一支F2，)P 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P 到 Q ，B. 橢圓D.拋物線22.( )設(shè) A1、A2 是橢圓 x y2=194 的端點(diǎn)，則直線 A1P1與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程為 22A. x2 y2 194 x2 y2C. 194二、填空題的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)， P1、P2 是垂直于 A1A2的弦( )22B. y2 x2 1 94 y2 x2D. 194aa3. ( )ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)， B( ,0),C(

11、 ,0)，且滿足條件 sinC 221 sin B= sinA,則動(dòng)點(diǎn) A 的軌跡方程為 .24. ( )高為 5 m和 3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為 A( 5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方 程是 .三、解答題5. ( )已知 A、B、C是直線 l上的三點(diǎn)，且 |AB|=|BC|=6，O切直線 l于點(diǎn) A， 又過 B、C 作 O異于 l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn) P，求點(diǎn) P 的軌跡方程 .226. ( )雙曲線 x2 y2 =1的實(shí)軸為 A1A2，點(diǎn) P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， a2 b2引 A1Q A1P，A

12、2QA2P，A1Q與 A2Q的交點(diǎn)為 Q，求 Q點(diǎn)的軌跡方程 .22xy7. ( )已知雙曲線22 =1(m 0,n 0)的頂點(diǎn)為 A1、A2，與 y 軸平行的直線mnl 交雙曲線于點(diǎn) P、 Q.(1)求直線 A1P 與 A2Q 交點(diǎn) M 的軌跡方程；(2)當(dāng) mn 時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率第4 頁共7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理228.( )已知橢圓xy2 2 =1(a b 0),點(diǎn) P 為其上一點(diǎn)， abF1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，R 形成的軌跡方程；F 1PF 2的外角平分線為 l，點(diǎn) F2關(guān)于 l的對(duì)稱點(diǎn)為 Q，F(xiàn)2Q交 l于點(diǎn) R.(1)當(dāng) P 點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求(2

13、)設(shè)點(diǎn) R 形成的曲線為 C，直線 l：y=k(x+ 2 a)與曲線 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，當(dāng) AOB 的面積取得最大值時(shí)，求 k 的值 .參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng)解：建立坐標(biāo)系如圖所示， 設(shè) |AB|=2a,則 A(a,0) ,B(a,0). 設(shè) M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn) .則由題設(shè)， 得|MMBA |=,坐標(biāo)代入，得 (xx aa)2 yy2 =,化簡(jiǎn)得2 2 2 2 2 2 2 (12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1 時(shí)，即 |MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡方程是 x=0，點(diǎn) M 的軌跡是直線 (y軸).(2)當(dāng)1時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡方程是x2+y

14、2+2a(1 2)122x+a2=0. 點(diǎn) M 的軌跡是以2(a(11 2 ) ，0)為圓心，2a2a 2 為半徑的圓 .|1 2 |殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、 1.解析： |PF1|+|PF 2|=2a,|PQ|=|PF2|, |PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即 |F1Q|=2a, 動(dòng)點(diǎn) Q 到定點(diǎn) F1 的距離等于定 長(zhǎng) 2a, 故動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡是圓 答案： A2.解析：設(shè)交點(diǎn) P(x,y) ,A1( 3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0, y0) A1、P1、P 共線，y y0 yx x0 x 3 A2、P2、P 共線，y y0yx x0 x 3第5 頁共

15、7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理2 2 2 2解得 x0= 9,y0 3y,代入得 x0y0 1,即 xy 10 x 0 x 9 4 9 4 答案： C11、 3.解析：由 sinC sinB= sinA,得 c b= a,22應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為aa ,故方程為216x216y23a21(x a4) .答案：16x2 16y2 aa2 3a2 1(x 44.解析：設(shè) P(x,y)，依題意有,化簡(jiǎn)得 P 點(diǎn)軌跡方程為解析：設(shè) )，依題意有 (x 5)2 y2(x 5)2 y2 化簡(jiǎn)得 點(diǎn)軌跡方程為4x2 +4 y2 85x+100=0.答案： 4x2+4y2 85x+100=0三、5.解：設(shè)過

16、 B、C異于 l 的兩切線分別切 O于 D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn) P.由切方程為812y272=1(y 0)線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn) P的軌跡是以 B、C 為兩焦點(diǎn) 的橢圓，以 l 所在的直線為 x 軸，以 BC 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡6.解：設(shè) P(x0,y0)(x a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).yy0x a x0 a 由條件 0y

17、 y0x a x0 ax0x(x0 a)得x2 a2y00y而點(diǎn) P(x0,y0)在雙曲線上， b2x02 a2y02=a2b2.222 2 2 x a 2 2 2 即 b ( x ) a () =a by化簡(jiǎn)得 Q 點(diǎn)的軌跡方程為： a2x2 b2y2=a4(x a).7.解： (1)設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x1,y1)，則 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1, y1),又有 A1(m,0),A2(m,0),則 A1P 的方程為： y= y1 (x m)x1 my1A2Q 的方程為： y=1 (x m)x1 m23得：y2=2y1 2 (x2 m2) x1m第6 頁共7 頁本資料從網(wǎng)上收集整理又因點(diǎn) P 在

18、雙曲線上，2 故 x12 m22 y12n21,即y12 n 2 (x12 m2).m22代入并整理得 x 2m22y2 =1.此即為n2M 的軌跡方程 .(2)當(dāng) mn 時(shí)， M 的軌跡方程是橢圓()當(dāng) m n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( m2 n2 ,0) ，準(zhǔn)線方程為m2x= 2 2mn,離心率m2 n2 e= ； m( ) 當(dāng) m n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (0, m2 n2 ),準(zhǔn)線方程為2ny=22nm,離心率22nm e=n8.解： (1)點(diǎn) F2PR=QPR， |F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)?l 為 F1PF2 外角 的平分 線，故點(diǎn) F1、P、Q R(x0,y0) ,Q(x1,y1),F1( c,0),F2(c,0).2 2 2|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF 2|=2a,則(x1+c)2+y12