量子力學(xué)試題

1、填空題1玻爾的量子化條件為。2德布羅意關(guān)系為3用來解釋光電效應(yīng)的愛因斯坦公式為4波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋： 5 為歸一化波函數(shù)，粒子在 方向、立體角 內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 ，在半徑為 ，厚度為 的球殼內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾 率為 。6波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 為。7 ， 為單位矩陣，則算符的本征值為 。8自由粒子體系， 守恒；中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子守恒。9力學(xué)量算符應(yīng)滿足的兩個(gè)性質(zhì)是 。 10厄密算符的本征函數(shù)具有。11設(shè)為歸一化的動(dòng)量表象下的波函數(shù)，則 的物理意義為 。12. ; ; 。28如兩力學(xué)量算符有共同本征函數(shù)完全系，則_ 。13坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是 。14在定態(tài)條件下，守恒的力學(xué)量是 。15隧道效應(yīng)是指 。1

2、6量子力學(xué)中，原子的軌道半徑實(shí)際是指 。17為氫原子的波函數(shù)， 的取值范圍分別為18對(duì)氫原子，不考慮電子的自旋，能級(jí)的簡并度為，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動(dòng)量的耦合時(shí)，能級(jí)的簡并度為 ，如再考慮自旋與軌道角動(dòng)量的 耦合，能級(jí)的簡并度為 。19設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為，如在該狀態(tài)下測(cè)量力學(xué)量 有確定的值 ，則力學(xué)量算符與態(tài)矢量 的關(guān)系為 。20力學(xué)量算符在態(tài) 下的平均值可寫為 的條件為21量子力學(xué)中的態(tài)是希爾伯特空間的 ；算符是希爾伯特空間的 21設(shè)粒子處于態(tài)， 為歸一化波函數(shù)， 為球諧函數(shù)，則系數(shù) c 的取值為 ， 的可能值為， 本征值為 出現(xiàn)的幾率為 。22原子躍遷的選擇定則 為。23自旋角動(dòng)

3、量與自旋磁矩的關(guān)系為24 為泡利算符，則 ， ，。25 為自旋算符，則 ， ，。26烏倫貝克和哥德斯密脫關(guān)于自旋的兩個(gè)基本假設(shè)是 ， 。27軌道磁矩與軌道角動(dòng)量的關(guān)系是 ; 自旋磁矩與自旋角動(dòng)量的關(guān)系是 。27費(fèi)米子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有 ,玻色子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有27 考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為已歸一化），則在態(tài)下，自旋算符 對(duì)自旋的平均可表示為 ；對(duì)坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均（已歸一化），則的結(jié)果可表示為 。27 考慮自旋后，波函數(shù)在自旋空間表示為的意義為 二、 問答題1 電子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)， 哈密頓量為 ，試判斷 各量中哪些是守恒量，為什么？2 經(jīng)典的波和量子

4、力學(xué)中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？3 量子力學(xué)中的力學(xué)量用什么算符表示？為什么？力學(xué)量算符在自身表象中的矩陣是什么形 式？4 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么關(guān)系？5 表明電子有自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)有哪些？自旋有什么特征？6 烏倫貝克關(guān)于自旋的的基本假設(shè)是什么？7 什么是塞曼效應(yīng)，對(duì)簡單塞曼效應(yīng)，沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在外磁場(chǎng)中分裂為幾條？8 什么是光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因是什么？考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)后能級(jí)的簡并度是多 少？9 什么是斯塔克效應(yīng)？10 不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？11 量子力學(xué)中如何判斷一個(gè)力學(xué)量是否是守恒量，量子力學(xué)中的守恒量和經(jīng)典力學(xué)的

5、守恒量 定義有什么不同？12 什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？13 量子力學(xué)中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)？14 簡述力學(xué)量與力學(xué)量算符的關(guān)系？15 軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量有什么區(qū)別和聯(lián)系？16 簡述量子力學(xué)的五個(gè)基本假設(shè)。17 簡述量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？18 什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有什么規(guī)律？19 什么是光電效應(yīng)？愛因斯坦是如何解釋光電效應(yīng)的。20 簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的。21 簡述波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，為什么說波函數(shù)可以完全描述微觀體系的狀態(tài)。22 能量的本征態(tài)的疊加還是能量本征態(tài)嗎？為什么？23 原子的軌道半徑在量子力學(xué)中是如何解釋

6、的？三、 計(jì)算題1在 和 的共同表象中，算符和 的矩陣分別為求它們的本征值和歸一化本征函數(shù)，并將矩陣 和 對(duì)角化2 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是其中 ，求1 ） 粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（ 2）粒子的平均動(dòng)量利用公式3 設(shè)在表象中， 的矩陣表示為其中 ，試用微擾論求能級(jí)二級(jí)修正。（ 10 分）4在自旋態(tài)中，求 。（10 分）5各是厄密算符。試證明， 也是厄密算符的條件是 對(duì)易。6在動(dòng)量表象中角動(dòng)量 的矩陣元和 的矩陣元。7求自旋角動(dòng)量在方向的投影的本征值和所屬的本征函數(shù)。8轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，電偶極矩為 的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場(chǎng)中，如果電場(chǎng)很小，用微擾論求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正。（10 分）基態(tài)波函數(shù) ，利用公

7、式13.9證明下列關(guān)系式：2.4.（ 其中 為角動(dòng)量算符， 為泡利算符， 為動(dòng)量算符 ）10 設(shè)均動(dòng)能。時(shí)，粒子的狀態(tài)為，求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平為單位算符） ，。（ 1）求算符的矩陣表示。11為厄密算符，的本征值；（ 2）在 A 表象下求算符12 已知體系的哈密頓量一化本征矢量。（，試求出（ 1）體系能量本征值及相應(yīng)的歸2）將 H 對(duì)角化，并給出對(duì)角化的么正變換矩陣。13一質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)， b 為小量，用微擾法求粒子的能級(jí)（近似到一級(jí)）。14證明下列算符的對(duì)易關(guān)系。2.1()3.設(shè)算符 與它們的對(duì)易式 對(duì)易，即： ，證明：15設(shè)有兩個(gè)電子，自旋態(tài)分別，證明兩個(gè)電子處于自旋單態(tài)（ ）及三重態(tài)（20 分）。的幾率分別為：方向的投影16求自旋角動(dòng)量在的本征值和所屬的本征函數(shù)（ 20 分）。17由任意一對(duì)已歸一化的共軛右矢和左矢構(gòu)成的投影算符；（ 3） 的本征值為 0 和 1（ 20 分）。是厄密算符；（ 2）有。試證明1）18 設(shè)在表象中， 的矩陣表示為論求能級(jí)二級(jí)修正（ 14 分）。，其中 ，試用微擾19證明下列算符的對(duì)易關(guān)系（24 分）：12. ( )3. 設(shè)算符 與它們的對(duì)易式對(duì)易，即： ，證明：20一體系由三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。