【word】 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用考點(diǎn)聚焦橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用唐啟偉課本上對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是依據(jù)定義:lpfli+ipf2一2a,即v/(+f)0+y+/(+c).+y.一2a,經(jīng)過(guò)兩次平方推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程+寺一1(n>6>1),過(guò)程繁瑣,計(jì)算量大.以下介紹三種比較簡(jiǎn)潔的推導(dǎo)方法,并對(duì)其推導(dǎo)方法在解題中的應(yīng)用予以舉例說(shuō)明,供同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中參考.方法一,等差數(shù)列法由(z+f).+.+v/(zc).+一2a可知,/(zc)+y,n,/(z+c)+y.成等差數(shù)列,令其公差為d,則有/(z+c)+y一0+d,l(zf).+一n.一.,得4cx=4ad,即一z.”把代入,得(z+c)+一n+

2、z.將式兩邊平方,并設(shè)a一f=b2,即可推得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+一1(n>6>1).評(píng)注:此法不僅使推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔,而且從式易得橢圓的左焦半徑公式lpfln+z,用同樣的”方法不難得到右焦半徑公式ipf2ln一z.方法二,三角代換法由j(x+c)2+.+v/(c)+.=2a,可設(shè)j(z+f)+一2acosd,l(x-c)+一2asin2口.一.,得4cz4a(cosasin4口)4cx一4a(2cos口一1),即cza(2cos.a一1),故有2acosa一口+,代入式得”/(+f).+.一n+z,兩邊平方,并設(shè)n.一c一.2b,即可推得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+告一1(口>6>1).

3、評(píng)注:三角代換法是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意感悟和體會(huì).方法三,分子有理化法由+呵=2a,將左式分子有理化得4cx一,即二一2a,下同方法二.評(píng)注:用分子有理化法化簡(jiǎn)根式,可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而提高運(yùn)算速度和解題效率.【例】解方程一4+5+v/+4x+55.解法1:/x2-4x+5,要,/x2+4x+5成等差數(shù)列,令其公差為d,則有i-4x+5一號(hào)一,:l一+.一,得一z.,把代入,并兩邊平方得36x一125,故一寺.經(jīng)檢驗(yàn)z一苦均為原方程的解.解法2:由一+5+55,可設(shè)j-z-4x+55cosa,i/z+4z+55sin2口.一,得8x=25(sin4a-cos口)8x一25(12cos2a).故有5cosza5一4,代入式得u/x2-4x+5b一4-z.兩邊平方,得36x=125,故一.經(jīng)檢驗(yàn)z一5均為原方程的解.解法3:對(duì)方程式,/2+5+55將左式分子有理化,得8x/x.2.-.4.x.+.5-/x.2.+.4.x.+.5一5,即一+5一+4x+5一一半z.j一一【:a+,得/-4x+5一昔一,jc下同解法2即可得方程的解為一5.評(píng)注:上面三種解法是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的不同推導(dǎo)方法的具體應(yīng)用.所謂一題多解,其實(shí)就是要求我們要善于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行觀察和分析