畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）關(guān)于矩陣相似的若干討論

1、關(guān)于矩陣相似的若干討論 (陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)教專業(yè)11級1班,陜西 漢中 723000)指導(dǎo)教師:摘要 本文首先歸納總結(jié)了矩陣相似的簡單性質(zhì),其次討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關(guān)應(yīng)用.關(guān)鍵詞 矩陣;相似;特征向量;特征值1引言線性變換是線性空間到自身的特殊映射,當(dāng)所考慮的線性空間是有限維時,線性變換與矩陣之間有一一對應(yīng)的關(guān)系,而線性變換的矩陣是研究線性變換的重要基礎(chǔ).同一線性變換在不同基下的矩陣有相似關(guān)系,且矩陣相似對于線性變換的化簡有著重要作用.同時,在整個代數(shù)學(xué)中,矩陣的相似占有著非常重要的地位,因此深入的掌握矩陣相似的相關(guān)內(nèi)容,體會矩陣相

2、似在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,對整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究,將會產(chǎn)生非常重要的作用.本文是在文獻(xiàn)1-6的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)了矩陣相似的簡單性質(zhì),討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關(guān)應(yīng)用.2 預(yù)備知識定義2.11 由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣,簡記為=.定義2.22 主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的矩陣稱為n級單位矩陣,記為或者在不致引起含混的時候簡單寫為.定義2.31 設(shè)，=,如果都成立，則稱與相等，記作.定義2.41 設(shè)，= ,則矩陣=稱為與的和,記為.矩陣的加法運(yùn)算滿足以下規(guī)律：結(jié)合律：交換律：定義2.52 設(shè) ,那么矩陣,其中,稱為與的乘積,記為.矩陣的乘法適合結(jié)合律

3、，但不適合交換律.定義2.62 矩陣稱為矩陣與數(shù)的數(shù)量乘積,記為,即用數(shù)乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上.定義2.73 設(shè),稱為的轉(zhuǎn)置,記作，即.顯然矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣.定理2.13 設(shè)是數(shù)域上的矩陣,那么，即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定義2.84 設(shè)為任一階矩陣,稱中不等于零的子式的最高階數(shù)為該矩陣的秩.零矩陣的秩為零.定義2.91 級方陣稱為可逆的,如果有級方陣,使得,稱為的逆矩陣.定義2.104 設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,矩陣=稱為的伴隨矩陣.定理2.25 設(shè)為矩陣,為可逆矩陣,為可逆矩陣,則秩（）=秩（）=秩（）定義2.115 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為

4、初等矩陣.引理2.36 對一個矩陣作一初等行變換就相當(dāng)于在的左邊乘上相應(yīng)的初等矩陣;對作一初等列變換就相當(dāng)于在的右邊乘上相應(yīng)的的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的,它們的逆矩陣還是初等矩陣.定義2.121 矩陣與稱為等價(jià)的,如果可以由經(jīng)過一系列初等變換得到.定理2.44 任意一個矩陣都與一形式為的矩陣等價(jià),它稱為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形,主對角線上1的個數(shù)等于的秩（1的個數(shù)可以是零）.定理2.51 級矩陣為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積,即推論2.66 矩陣,等價(jià)的充分必要條件為存在可逆的級矩陣與可逆的級矩陣使.推論2.71 可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣.3矩陣相似的概念及其性

5、質(zhì)定義3.12 設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一組基,是中的一個線性變換.基向量的像可以被基線性表出:用矩陣來表示就是（ =（其中=,矩陣稱為在基下的矩陣.定理3.12 設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一組基,在這組基下,每個線性變換按定義3.12對應(yīng)一個矩陣,這個對應(yīng)具有以下性質(zhì):(1)線性變換的和對應(yīng)于矩陣的和;(2)線性變換的乘積對應(yīng)于矩陣的乘積;(3)線性變換的數(shù)量乘積對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積;(4)可逆的線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，且逆變換對應(yīng)于逆矩陣.定理3.27 設(shè)線性變換在基，下的矩陣是,向量在基下的坐標(biāo)是,則在基下的坐標(biāo)可以按以下公式計(jì)算定義3.27 設(shè),為數(shù)域上兩個級矩陣,如果可以找到數(shù)域上的級可逆

6、矩陣,使得就說相似于,記作.相似是矩陣之間的一種關(guān)系,這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì):(1)反身性:.(2)對稱性:如果,那么.如果,那么有使.令，就有所以.(3)傳遞性:如果,那么.已知有,使,.令,就有,故.定理3.38 設(shè)線性空間中線性變換在兩組基（1） （2）下的矩陣分別為和，從基（1）到（2）的過渡矩陣是,于是,即于相似.定理3.48 線性變換在不同基下所對應(yīng)的矩陣相似;反過來,如果兩個矩陣相似,那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應(yīng)的矩陣.定義3.39 設(shè)是數(shù)域上線性空間上的一個線性變換,如果對于數(shù)域中一數(shù),存在一個非零向量,使得,那么稱為的一個特征值,而稱為的屬于特征值的一個特

7、征向量.定義3.410 設(shè)是數(shù)域上一級矩陣,是一個文字.矩陣的行列式稱為的特征多項(xiàng)式,這是數(shù)域上的一個次多項(xiàng)式.確定一個線性變換的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步:（1）在線性空間中取一組基，寫出在這組基下的矩陣;（2）求出的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中全部的根,它們也就是線性變換的全部特征值;（3）把所求的特征值逐個地代入方程組對于每一個特征值,解此方程,求出一組基礎(chǔ)解系,它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo),這樣,我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關(guān)的特征向量.定理3.54 相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.定理3.610 設(shè)是維線性空間的一個線性變換,的矩陣可以在某一

8、組基下為對角矩陣的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.定理3.71 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的.推論3.87 如果在維線性空間中,線性變換的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中有個不同的根,即有個不同的特征值,那么在某組基下的矩陣是對角形的.推論3.95 在復(fù)數(shù)域上的線性空間中,如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根,那么在某組基下的矩陣是對角形的.定理3.1010 如果是線性變化的不同的特征值,而是屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量,那么向量組,也線性無關(guān).4矩陣相似的條件引理4.111 如果有階矩陣使,則與相似.證明 因它又與相等,進(jìn)行比較后應(yīng)有.由此,而.故與相似.引理4.212 對于任何不為零的數(shù)字矩

9、陣和-矩陣,一定存在矩陣以及數(shù)字矩陣和使 證明 把改寫成這里都是數(shù)字矩陣,而且如,則令及,它們顯然滿足引理4.212要求.設(shè),令這里都是待定的數(shù)字矩陣.于是要想使成立,只需取就行了,用完全相同的方法可以求得和.定理4.312 設(shè)是數(shù)域上兩個矩陣,與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣與等價(jià).證明 與等價(jià)就是存在可逆的矩陣和，使 先證必要性:設(shè)與相似,即存在可逆矩陣,使,于是,從而與等價(jià). 再證充分性:設(shè)與等價(jià),即存在可逆的矩陣,使成立.由引理4.212存在矩陣以及數(shù)字矩陣使成立.把改寫成式中的用代入,再移項(xiàng),得右端次數(shù)等于1或,因此 是一個數(shù)字矩陣,記作，即 現(xiàn)在來證明是可逆的.由的第一式有等式

10、右端的第二項(xiàng)必須為零,否則它的次數(shù)至少是1,由于和都是數(shù)字矩陣,等式不可能成立.因此,這就是說,是可逆的.由的第二式得再由引理4.111,與相似.矩陣的特征矩陣的不變因子以后就簡稱為的不變因子，因?yàn)閮蓚€矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的不變因子，所以由定理4.31即得.推論4.412矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子.接下來我們給出矩陣與對角矩陣相似的條件.首先討論矩陣可對角化的充分必要條件.定理4.51n階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量.證明 先證必要性:若，則存在階可逆矩陣，使得.設(shè),顯然,且線性無關(guān).于是即,即再證充分性: 設(shè)有個線性無關(guān)的特征向量：他們

11、所對應(yīng)的特征值依次為：則有 令，由于線性無關(guān),故可逆.于是即,所以相似于對角矩陣.推論4.61若有個線性無關(guān)的特征向量,則與對角矩陣相似,且其中,是的個特征值,是的屬于的特征向量.若階矩陣有個互不相同的特征值,則一定相似于一個對角矩陣.最后,我們將給出一些利用相似矩陣解決問題是例子.例1 已知，求.解 ,因?yàn)榕c相似,有特征值-1,所以.例2 設(shè)矩陣，求.解 由于矩陣相似,所以特征值相同, 由于的特征值是2，.再由，得出.參考文獻(xiàn)1 王萼芳,石生明.高等代數(shù)（第三版）m.北京:高等教育出版社. 1978. 339-341.2 易偉明,王平平,楊淑玲.線性代數(shù)m.北京:科學(xué)出版社. 2007.15

12、5-185.3 張慎語,周厚隆.線性代數(shù)m.北京:高等教育出版社. 2002. 91-1084 史榮昌,魏豐.矩陣分析（第二版）m.北京:北京理工大學(xué)出版社. 2005. 93-95.5 郭聿琦,岑嘉評,徐貴桐.線性代數(shù)導(dǎo)引m.北京:科學(xué)出版社. 2001. 252-255.6 魏增濤等.矩陣?yán)碚撆c方法m.北京:電子工業(yè)出版社. 2006. 46-49.7 戴華.矩陣論m.北京:科學(xué)出版社. 2001. 106-104.8 龍幼娟,李茂生.線性代數(shù)m.北京:北京郵電大學(xué)出版社. 2000. 149-152.9 廉慶榮等.線性代數(shù)與解析幾何m.北京:高等教育出版社. 2000.160-163.1

13、0 johnson hr,an inequality for matrices whose symmetric part is positivej. linear alg appl,1973, 6(8):13-15.11 劉建平等.線性代數(shù)精析與精煉m.上海:華東理工大學(xué)出版社. 2004. 178-179.12 盧樹銘,郭敏學(xué).矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用m.沈陽:遼寧科學(xué)技術(shù)出版社. 1989. 15-20.some discussions onmattixsimilarityyao liang(grade11,class1, major in mathematics education speciality, school of mathematics and computerscience, shaanxi university of technology, hanzhong 723000,shaanxi) tutor:hongmei zhengabstract:the properties of matrix similarity are discussed in this paper.als