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文檔簡介
1、關于矩陣相似的若干討論 (陜西理工學院數學與計算機科學學院數教專業(yè)11級1班,陜西 漢中 723000)指導教師:摘要 本文首先歸納總結了矩陣相似的簡單性質,其次討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關應用.關鍵詞 矩陣;相似;特征向量;特征值1引言線性變換是線性空間到自身的特殊映射,當所考慮的線性空間是有限維時,線性變換與矩陣之間有一一對應的關系,而線性變換的矩陣是研究線性變換的重要基礎.同一線性變換在不同基下的矩陣有相似關系,且矩陣相似對于線性變換的化簡有著重要作用.同時,在整個代數學中,矩陣的相似占有著非常重要的地位,因此深入的掌握矩陣相似的相關內容,體會矩陣相
2、似在數學中的應用,對整個數學的學習和研究,將會產生非常重要的作用.本文是在文獻1-6的基礎上,歸納總結了矩陣相似的簡單性質,討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關應用.2 預備知識定義2.11 由個數排成的行列的數表稱為矩陣,簡記為=.定義2.22 主對角線上的元素全是1,其余元素全是0的矩陣稱為n級單位矩陣,記為或者在不致引起含混的時候簡單寫為.定義2.31 設,=,如果都成立,則稱與相等,記作.定義2.41 設,= ,則矩陣=稱為與的和,記為.矩陣的加法運算滿足以下規(guī)律:結合律:交換律:定義2.52 設 ,那么矩陣,其中,稱為與的乘積,記為.矩陣的乘法適合結合律
3、,但不適合交換律.定義2.62 矩陣稱為矩陣與數的數量乘積,記為,即用數乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上.定義2.73 設,稱為的轉置,記作,即.顯然矩陣的轉置是矩陣.定理2.13 設是數域上的矩陣,那么,即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定義2.84 設為任一階矩陣,稱中不等于零的子式的最高階數為該矩陣的秩.零矩陣的秩為零.定義2.91 級方陣稱為可逆的,如果有級方陣,使得,稱為的逆矩陣.定義2.104 設是矩陣中元素的代數余子式,矩陣=稱為的伴隨矩陣.定理2.25 設為矩陣,為可逆矩陣,為可逆矩陣,則秩()=秩()=秩()定義2.115 由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為
4、初等矩陣.引理2.36 對一個矩陣作一初等行變換就相當于在的左邊乘上相應的初等矩陣;對作一初等列變換就相當于在的右邊乘上相應的的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的,它們的逆矩陣還是初等矩陣.定義2.121 矩陣與稱為等價的,如果可以由經過一系列初等變換得到.定理2.44 任意一個矩陣都與一形式為的矩陣等價,它稱為矩陣的標準形,主對角線上1的個數等于的秩(1的個數可以是零).定理2.51 級矩陣為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積,即推論2.66 矩陣,等價的充分必要條件為存在可逆的級矩陣與可逆的級矩陣使.推論2.71 可逆矩陣總可以經過一系列初等行變換化成單位矩陣.3矩陣相似的概念及其性
5、質定義3.12 設是數域上維線性空間的一組基,是中的一個線性變換.基向量的像可以被基線性表出:用矩陣來表示就是( =(其中=,矩陣稱為在基下的矩陣.定理3.12 設是數域上維線性空間的一組基,在這組基下,每個線性變換按定義3.12對應一個矩陣,這個對應具有以下性質:(1)線性變換的和對應于矩陣的和;(2)線性變換的乘積對應于矩陣的乘積;(3)線性變換的數量乘積對應于矩陣的數量乘積;(4)可逆的線性變換與可逆矩陣對應,且逆變換對應于逆矩陣.定理3.27 設線性變換在基,下的矩陣是,向量在基下的坐標是,則在基下的坐標可以按以下公式計算定義3.27 設,為數域上兩個級矩陣,如果可以找到數域上的級可逆
6、矩陣,使得就說相似于,記作.相似是矩陣之間的一種關系,這種關系具有下面三個性質:(1)反身性:.(2)對稱性:如果,那么.如果,那么有使.令,就有所以.(3)傳遞性:如果,那么.已知有,使,.令,就有,故.定理3.38 設線性空間中線性變換在兩組基(1) (2)下的矩陣分別為和,從基(1)到(2)的過渡矩陣是,于是,即于相似.定理3.48 線性變換在不同基下所對應的矩陣相似;反過來,如果兩個矩陣相似,那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應的矩陣.定義3.39 設是數域上線性空間上的一個線性變換,如果對于數域中一數,存在一個非零向量,使得,那么稱為的一個特征值,而稱為的屬于特征值的一個特
7、征向量.定義3.410 設是數域上一級矩陣,是一個文字.矩陣的行列式稱為的特征多項式,這是數域上的一個次多項式.確定一個線性變換的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步:(1)在線性空間中取一組基,寫出在這組基下的矩陣;(2)求出的特征多項式在數域中全部的根,它們也就是線性變換的全部特征值;(3)把所求的特征值逐個地代入方程組對于每一個特征值,解此方程,求出一組基礎解系,它們就是屬于這個特征值的幾個線性無關的特征向量在基下的坐標,這樣,我們也就求出了屬于每個特征值的全部線性無關的特征向量.定理3.54 相似的矩陣有相同的特征多項式.定理3.610 設是維線性空間的一個線性變換,的矩陣可以在某一
8、組基下為對角矩陣的充分必要條件是有個線性無關的特征向量.定理3.71 屬于不同特征值的特征向量是線性無關的.推論3.87 如果在維線性空間中,線性變換的特征多項式在數域中有個不同的根,即有個不同的特征值,那么在某組基下的矩陣是對角形的.推論3.95 在復數域上的線性空間中,如果線性變換的特征多項式沒有重根,那么在某組基下的矩陣是對角形的.定理3.1010 如果是線性變化的不同的特征值,而是屬于特征值的線性無關的特征向量,那么向量組,也線性無關.4矩陣相似的條件引理4.111 如果有階矩陣使,則與相似.證明 因它又與相等,進行比較后應有.由此,而.故與相似.引理4.212 對于任何不為零的數字矩
9、陣和-矩陣,一定存在矩陣以及數字矩陣和使 證明 把改寫成這里都是數字矩陣,而且如,則令及,它們顯然滿足引理4.212要求.設,令這里都是待定的數字矩陣.于是要想使成立,只需取就行了,用完全相同的方法可以求得和.定理4.312 設是數域上兩個矩陣,與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣與等價.證明 與等價就是存在可逆的矩陣和,使 先證必要性:設與相似,即存在可逆矩陣,使,于是,從而與等價. 再證充分性:設與等價,即存在可逆的矩陣,使成立.由引理4.212存在矩陣以及數字矩陣使成立.把改寫成式中的用代入,再移項,得右端次數等于1或,因此 是一個數字矩陣,記作,即 現在來證明是可逆的.由的第一式有等式
10、右端的第二項必須為零,否則它的次數至少是1,由于和都是數字矩陣,等式不可能成立.因此,這就是說,是可逆的.由的第二式得再由引理4.111,與相似.矩陣的特征矩陣的不變因子以后就簡稱為的不變因子,因為兩個矩陣等價的充分必要條件是它們有相同的不變因子,所以由定理4.31即得.推論4.412矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子.接下來我們給出矩陣與對角矩陣相似的條件.首先討論矩陣可對角化的充分必要條件.定理4.51n階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特征向量.證明 先證必要性:若,則存在階可逆矩陣,使得.設,顯然,且線性無關.于是即,即再證充分性: 設有個線性無關的特征向量:他們
11、所對應的特征值依次為:則有 令,由于線性無關,故可逆.于是即,所以相似于對角矩陣.推論4.61若有個線性無關的特征向量,則與對角矩陣相似,且其中,是的個特征值,是的屬于的特征向量.若階矩陣有個互不相同的特征值,則一定相似于一個對角矩陣.最后,我們將給出一些利用相似矩陣解決問題是例子.例1 已知,求.解 ,因為與相似,有特征值-1,所以.例2 設矩陣,求.解 由于矩陣相似,所以特征值相同, 由于的特征值是2,.再由,得出.參考文獻1 王萼芳,石生明.高等代數(第三版)m.北京:高等教育出版社. 1978. 339-341.2 易偉明,王平平,楊淑玲.線性代數m.北京:科學出版社. 2007.15
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