直接證明和間接證明(4個課時)教案

1、 22直接證明與間接證明 教學(xué)目標(biāo)：（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；（3）能根據(jù)實際題目靈活地選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法；（4）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學(xué)建議：1知識結(jié)構(gòu):（不等式證明三種方法的理解）=（簡單應(yīng)用）=（綜合應(yīng)用）2重點、難點分析重點：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；難點：理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的； 綜合性問題證明方法的選擇（1）不等式證明的意義 不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗證式子是否成立（2）比

2、較法證明不等式的分析在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑由于aba-b0，因此，證明ab，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價的a-b0這種證法就是求差比較法由于當(dāng)b0時,ab(ab)1，因此，證明ab(b0),可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價的(ab)1(b0)這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b0)這一前提條件求差比較法的基本步驟是：“作差變形斷號”其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負(fù)的數(shù)(或式子)即可.作商比較法的基本步驟是：“作商變形判斷

3、商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側(cè)的式子同號的不等式（3）綜合法證明不等式的分析利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列已知條件推導(dǎo)變換，推導(dǎo)出求證的不等式綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：（已知）=（逐步推演不等式成立的必要條件）=（結(jié)論）（4）分析法證明不等式的分析從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立

4、的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立這也是用分析法，注意應(yīng)強調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：（已知）=（逐步推演不等式成立的必要條件）0,b0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(4)當(dāng)a,b同號時有2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(5) (a0,b0,c0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.(6)a3+b3+c33abc(a0,b0,c0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.教學(xué)難點“由因?qū)Ч睍r

5、,從哪個不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點.教學(xué)過程1.課題導(dǎo)入師同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片6.3.3 a,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片6.3.3 a)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a20,或(ab)20;(2)a2+b22ab,a2+b2-2ab,即a2+b22|ab|;(3),(a,br+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(4)ab,(a,br);ab()2,(a,br+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(5)2,(ab0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號；（6）,(a,b,cr+),

6、當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號；（7)a3+b3+c33abc,(a,b,cr+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“比較法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法綜合法.2.講授新課一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.例1已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運用基本不等式：

7、a2+b22ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運用重要不等式：a3+b3+c33abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）證法一：a0,b2+c22bc由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)2abc. 同理b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 因為a,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b22ab三式不能全取“=”號，從而,三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，,三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b

8、2)6abc.證法二：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)a,b,c為不全相等的正數(shù).a2b+b2c+c2a3=3abcab2+bc2+ca23=3abc由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創(chuàng)設(shè)條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形

9、的重要技巧.特點:“由因?qū)Ч眲t綜合法用框圖表示為:用p表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,q表示所要證明的結(jié)論.例2：在中，三個內(nèi)角、對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且、成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證為等邊三角形3、 課堂練習(xí) 1、在abc中，三個內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等差數(shù)列，求證：4、 課后作業(yè)1abbcdb2a22a,br+，m=，則m、a、g、h間的大小關(guān)系是（ ）amaghbmhag cagmhdaghm30a1,0b1，且ab，則下式中最大的是（ ）aa2+b2ba+bc2abd24、已知a2b2c21，求證： abbcca1. 第三課時 分

10、析法教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實質(zhì)執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學(xué)生認(rèn)識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.教學(xué)重點分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證

11、“若a則b”這個命題的模式是:欲證命題b為真,只需證明命題b1為真,從而又只需證明命題b2為真,從而又只需證明命題a為真,今已知a真,故b必真.簡寫為:bb1b2bna.教學(xué)難點1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定成立”等.教學(xué)過程1.課題導(dǎo)入師隨著我們對不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達(dá)到證明不等式的

12、目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法分析法.2.講授新課證明不等式時,有時可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.說明：證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“140，b0，且a+b=1，求證：.34 第4課時 反證法教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點 1.反證法的概念. 2.反證法證題的基本方法. (二)能力訓(xùn)練要求 1.初步掌握反證法的概念. 2.理解反證法證題的基本方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能. (三)德育滲透目標(biāo) 培養(yǎng)學(xué)生通過事物的結(jié)論的反面出發(fā)，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結(jié)論成立的簡單推理能力與思維能力. 教學(xué)重點 1.理解反證法的推理依據(jù). 2.掌握反證法證明命題的方法. 3.反證法證題的步驟. 教學(xué)難點 理解反證法的推理依據(jù)及方法. 教學(xué)過程1.復(fù)習(xí)：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課反證法:先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點,結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理,定義