用EXP函數(shù)法求（2+1）維CD方程的精確解畢業(yè)論文

1、2010年度本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）用exp-函數(shù)法求（2+1）維cd方程的精確解院 系: 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí): 2006級(jí) 學(xué)生姓名: 學(xué) 號(hào): 200605050248 導(dǎo)師及職稱: 2010年6月2010 annual graduation thesis (project) of the college undergraduate exp-function method for solving exact solution of cd equationdepartment: college of mathematicsmajor: mathematics and a

2、pplied mathematicsgrade: 2006students name: jiang wei liangstudent no.:200605050248tutor: ding yu min（professor）june, 2010畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）原創(chuàng)性聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果.據(jù)我所知,除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外,本論文（設(shè)計(jì)）不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果.對(duì)本論文（設(shè)計(jì)）的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體,均已在文中作了明確說明并表示謝意. 作者簽名: 日期: 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）授權(quán)使用說明本論文（設(shè)計(jì)）作者完全了解

3、紅河學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）的規(guī)定,學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計(jì)）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計(jì)）的電子版和紙質(zhì)版.有權(quán)將論文（設(shè)計(jì)）用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文（設(shè)計(jì)）進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱.學(xué)?？梢怨颊撐模ㄔO(shè)計(jì)）的全部或部分內(nèi)容.保密的論文（設(shè)計(jì)）在解密后適用本規(guī)定. 作者簽名: 指導(dǎo)教師簽名: 日期: 日期: 摘要 利用指數(shù)函數(shù)展開法并借助maple軟件，簡捷地獲得了(2+1)維cd方程的許多的新的行波解，包括各種類型的孤立波解和三角函數(shù)周期解,并用maple畫出幾種典型的波形圖.關(guān)鍵詞: (2+1)維cd方程；指數(shù)函數(shù)法；行波解；孤立波解；三角函數(shù)周期解.abstractin t

4、his paper, with the aids of the mathematic software-maple ,we briefly obtained many new travalling wave solutions of the (2+1)dimentional cd equation by utilizing exp-function expansion method. all of these solutions include all kinds of soliton-travelling solutions and periodic solutions of trigono

5、metric functions. as a result,we acquied many typical waveform pictures with the software-maple.keywords: (2+1)dimentional cd equation; exp-function expansion method; travalling wave solutions; soliton-travelling solutions; periodic solutions of trigonometric functions目錄 第一章 引言4第二章（2+1）維cd方程的精確解22.1

6、指數(shù)函數(shù)法的基本思想32.2 （2+1）維cd方程的求解及對(duì)解的變換分析32.2.1（2+1）維cd方程的一般解32.2.2（2+1）維cd方程的精確解4第三章 結(jié)論26參考文獻(xiàn)27致謝28 第一章 引言 以物理及其他學(xué)科為背景的微分方程的研究是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分.目前，微分方程研究的主體是非線性偏微分方程，很多自然科學(xué)和工程技術(shù)問題，最終都?xì)w結(jié)為非線性偏微分方程的研究.近幾十年來，對(duì)某些非線性偏微分方程的精確求解獲得了許多有效的方法，如齊次平衡法1、雙曲正切函數(shù)展開法2、試探函數(shù)法3、非線性變換法4、 sine-cosine法5、 jacobi橢圓函數(shù)展開法6、混合指數(shù)法7等.然而非

7、線性方程(尤其是非線性偏微分方程)的求解非常困難,而且求解非線性方程沒有也不可能有統(tǒng)一而普遍適用的方法,以上一些方法也只能具體應(yīng)用于某些非線性方程的求解, 因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法仍是一項(xiàng)十分重要的工作. 方程介紹:由calogero和degasperis首先提出的cd方程（破裂孤立子方程） （1-1）是一個(gè)重要的非線性偏微分方程，它描述了（2+1）維非線性波方程的長波沿著x軸傳播，黎曼波沿y軸傳播的相互作用.在文獻(xiàn)8中張解放等用齊次平衡法和推廣的hirota雙曲線方法獲得了破裂孤立子方程一些孤子解，在文獻(xiàn)9中鄭斌用直接約化法得到了方程(1-1)的backlund變換公式，從而獲得了該方

8、程一些孤子解，在文獻(xiàn)10中高正暉用行波變換和截?cái)嗾归_法，獲得了方程(1-1)的許多的新行波解。本文利將用指數(shù)函數(shù)方法11-14求(2+1)維cd方程新的精確解.第二章（2+1）維cd方程的精確解2.1指數(shù)函數(shù)法的基本思想對(duì)于給定的一個(gè)非線性偏微分方程(pde) （2-1）為求方程的精確解,作變換 （2-2）其中為待定常數(shù).將代入方程,可將式行波約化為的常微分方程(ode) （2-3）設(shè)可表示為的有限冪級(jí)數(shù),即 （2-4）其中是待定正整數(shù),是待定常數(shù).和的關(guān)系的確定,可以通過平衡方程的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)來進(jìn)行.同理,平衡方程的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最低次數(shù),可以得到和的關(guān)系.

9、再把和及和取一些特定的值,可將方程的左邊化為的多項(xiàng)式.令的系數(shù)為零,得到相應(yīng)的代數(shù)方程組,求解這些代數(shù)方程,并將這些結(jié)果代入式便得到方程用表示的行波解的一般形式.2.2 （2+1）維cd方程的求解及對(duì)解的變換分析2.2.1（2+1）維cd方程的一般解為了求出（1-1）的行波解，作變換,， （2-5）其中為待定常數(shù).將（2-5）代入（1-1）得： （2-6）在方程（2-6）兩邊對(duì)進(jìn)行積分并化簡得： （2-7)設(shè)（2-7）的解可表示為的有限冪級(jí)數(shù)，即 ， （2-8）其中是待定正整數(shù)，是待定常數(shù).為了確定和的關(guān)系,平衡方程（2-7）中的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)：= （2-9） （2-10）

10、其中是系數(shù).由（2-9）和（2-10）得,即.同樣,為了得到和的關(guān)系,平衡方程（2-7）中的非線性項(xiàng)和最高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的最低次數(shù)：= (2-11) (2-12)其中是系數(shù).由（2-11）和（2-12）式，得,得：. 于是，得到（2+1）維cd方程的一般解為： (2-13)2.2.2（2+1）維cd方程的精確解情形i 當(dāng)和時(shí)，由（2-13）式得： = （2-14） 將（2-14）式代入方程（2-7），并借助maple計(jì)算得到： （2-15）其中 ； ；.令的系數(shù)為零，從而得到關(guān)于的代數(shù)方程組： 借助maple, 解上述代數(shù)方程得下列4組參數(shù)值： （2-16） （2-17） （2-18） （2-19

11、）(1) 將（2-16）代入（2-14）得到方程的一組行波解：，其中:.當(dāng)時(shí)，則變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：，其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(2) 將（2-17）代入（2-14）得到方程的一組行波解：，其中:.當(dāng)時(shí)，可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(3) 將（2-18）代入（2-14）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.又令為任意實(shí)數(shù)，則可化為：.(4) 將（2-19）代入（2-14）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.為了使解更形象

12、直觀，能看出解的性態(tài)，利用數(shù)學(xué)軟件maple將幾個(gè)典型的波形圖繪制如下： 圖是行波：圖是孤立波：，圖是三角函數(shù)周期解：,.情形 當(dāng)和時(shí)，由（2-13）式得： （2-20）借助maple,由同樣的方法得到14組參數(shù)值：； （2-21） （2-22） （2-23）； （2-24） (2-25） （2-26） （2-27） （2-28） （2-29） （2-30） （2-31）（2-32） （2-33） （2-34）(5) 將（2-21）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(6) 將（2-22）代入（2-20）

13、得到方程的一組行波解：,其中:.令,則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(7) 將（2-23）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：，其中:.又令為實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(8) 將（2-24）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(9) 將（2-25）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.(10) 將（2-26）代入（2-20）得到方程的一組行波解： .其中:.(11) 將（2-27）代入（2-20）得到方程的

14、一組行波解：，其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(12) 將（2-28）代入（2-20）得到方程的一組行波解：， 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù),則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(13) 將（2-29）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.(14) 將（2-30）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令,則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(15) 將（2-31）代入（2-20）得到方程的一組行波解：, 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：, 其中:.令為任意

15、實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(16) 將（2-32）代入（2-20）得到方程的一組行波解：其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意函數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：(17) 將（2-33）代入（2-20）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,.令為任意函數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(18) 將（2-34）代入（2-20）得到方程的一組行波解： , 其中:.同理，用maple將幾個(gè)典型波形圖繪制如下： 圖是行波：，;圖是孤立波：;圖是三角函數(shù)周期波：.情形 令時(shí)，由（2-13）式得： （2-35）為了計(jì)算簡單，令，借助maple,由同樣的方法得到21

16、組參數(shù)值： （2-36） （2-37） （2-38） （2-39） （2-40） （2-41） （2-42）（2-43） （2-44） （2-45） （2-46） （2-47） （2-48） （2-49） （2-50） （2-51） (2-52) (2-53） （2-54） (2-55) （2-56）(19) 將（2-36）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(20) 將（2-37）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ，其中:.令則可變?yōu)楣铝⒉ń猓海渲?.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(21) 將（2-38）代入（2-35）得到方程的一組行波解：，其中:.令則可

17、變?yōu)楣铝⒉ń猓?其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：(22) 將（2-39）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ， 其中:.令則可變?yōu)楣铝⒉ń猓?，其?.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(23) 將（2-40）代入（2-35）得到方程的一組行波解：其中:.(24) 將（2-41）代入（2-35）得到方程的一組行波解：，其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：, 其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(25) 將（2-42）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：, 其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(26

18、) 將（2-43）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.(27) 將（2-44）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(28) 將（2-45）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(29) 將（2-46）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ,其中:.(30) 將（2-47）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(31) 將（2-48）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.(32) 將（2-49）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.(33) 將（2-50）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其

19、中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(34) 將（2-51）代入（2-35）得到方程的一組行波解： , 其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(35) 將（2-52）代入（2-35）得到方程的一組行波解：/ 其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解： , 其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：(36) 將（2-53）代入（2-35）得到方程的一組行波解：,其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解： ,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(37) 將（2-54）代入（2-35）得到方程的一組行波解：其中:.令，則可變?yōu)橐粋€(gè)孤

20、立波解：,其中:令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解： (38) 將（2-55）代入（2-35）得到方程的一組行波解： 其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：.(39) 將（2-56）代入（2-35）得到方程的一組行波解： ,其中:.令則可變?yōu)橐粋€(gè)孤立波解：,其中:.令為任意實(shí)數(shù)，則可變?yōu)橐粋€(gè)三角函數(shù)周期解：同理，用maple將幾個(gè)典型波形圖繪制如下： 圖行波：圖孤立波：圖周期波：.第三章 結(jié)論本文利用函數(shù)法,簡捷、方便的得到了方程的行波解，用該方法求出的行波解具有一般性,包括各種孤波解和三角函數(shù)周期解.本文主要結(jié)果如下:1.利用-函數(shù)法得到了(

21、2+1)維cd方程的一般解;2.將所得到的一般解利用三角變換化簡、分析、討論,從而得到了方程的各種精確解;3. 利用軟件畫出了幾種典型的波形圖,這樣更形象直觀地看出本文所得解的性態(tài).本文對(duì)非線性(2+1)維cd方程的解只就文中所列三種情形進(jìn)行了研究.對(duì)cd方程的求解研究還有許多的工作要做，作者擬在今后對(duì)此問題進(jìn)行更深的研究,以期得到非線性(2+1)維cd方程的更豐富、更完美的解. 參考文獻(xiàn)1 丁雙雙，孫維君.累次齊次平衡法及其應(yīng)用j.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(12):127-135.2 王家玉.一類非線性發(fā)展方程的精確解j.濰坊學(xué)院學(xué)報(bào),2008,8(6):8890.3 劉法貴,魏凱.廣義kdv-mkdv方程的精確解j.華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào),2009,30(5):9899.4 楊瓊芬.非線性方程klein-gordon新的行波解j.綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,28(5):1519.5 熊莉,張健.廣義(3+1)維立方schrodinger方程新的精確解j.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)報(bào)），2009,32（1）:3638.6 高娃,長龍.廣義隨機(jī)kp方程的橢圓周期解j.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2008,38(24):219224.7 張善卿.簡化的混合指數(shù)方法及其應(yīng)用j.杭州電子科技大學(xué)報(bào),2007,27(2):454