連續(xù)時(shí)間傅立葉變換

1、信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)四 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換4.1連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的數(shù)字近似1 求ctft的解析表達(dá)式?？蓪⒖醋?，。g=sym(exp(-2*t)*heaviside(t);g2=subs(g,-t,t);x=g+g2;fx=fourier(x);2 創(chuàng)建一個(gè)向量，它包含了在區(qū)間t=0:tau:t-tau 上（其中和），信號(hào)的樣本。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);plot(t,y);3 鍵入y=fftshift(tau*fft(y)計(jì)算樣本。因?yàn)?/p>

2、對(duì)于基本上為零，就能近似用個(gè)樣本分析中計(jì)算出信號(hào)的ctft。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);y=abs(y);plot(t,y);axis(4,6,-0.1,1.2);4.構(gòu)造一個(gè)頻率樣本向量w，它按照 w=-(pi/tau)+(0:n-1)*(2*pi/(n*tau);與存在向量y中的值相對(duì)應(yīng)。5.因?yàn)槭峭ㄟ^時(shí)移與相聯(lián)系的，所以ctft就以線性相移項(xiàng)與相聯(lián)系。利用頻率向量w直接由y計(jì)算的樣本，并將結(jié)果

3、存入x中。clc;t=0:0.01:10-0.01;tau=0.01;n=10/0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:n-1)*(2*pi/(n*tau);x=exp(j*5*w).*y;6.利用abs和angle畫出在w標(biāo)定的頻率范圍內(nèi)x的幅值和相位。對(duì)于相同的值，也畫出在1中所導(dǎo)出的解析式表達(dá)式的幅值和相位。ctft的近似值與解析導(dǎo)得的相符嗎?若想在一張對(duì)數(shù)坐標(biāo)上畫出幅值，可以用semilogy，這是會(huì)注意

4、到，在較高的頻率上近似不如在較低的頻率上好。因?yàn)橛昧藰颖窘疲栽跁r(shí)間段長(zhǎng)度內(nèi)，信號(hào)變化不大的那些信號(hào)的頻率分量近似程度會(huì)更好一些。clc;tau=0.01;t=10;t=0:tau:t-tau;n=t/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:n-1)*(2*pi/(n*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)plot(t,xp);subplo

5、t(212)plot(t,xf);7.利用abs和angle畫出y的幅值和相位，它們與x的圖比較后怎樣？能估計(jì)到這一結(jié)果嗎？clcsyms s w;g=sym(exp(-2*s)*heaviside(s);g2=subs(g,-s,s);y=g+g2;fw=fourier(y,s,w);ff=atan(imag(fw)/real(fw);fp=abs(fw);tau=0.01;t=10;t=0:tau:t-tau;n=t/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01

6、.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:n-1)*(2*pi/(n*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)hold onplot(t,xp);ezplot(fp,-10:10)hold offsubplot(212)hold onplot(t,xf);ezplot(ff,-10:10)hold off4.2連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)1鍵入y=fftshift(fft(y)，計(jì)算向量y的傅立葉變換。鍵入 w=-pi:2*pi/n:pi-pi/n*fs;將對(duì)應(yīng)的頻率值存入向量w中。利用w和y在區(qū)間內(nèi)畫出該連續(xù)時(shí)間傅立葉變換

7、的幅值。 函數(shù)ifft是fft的逆運(yùn)算。對(duì)于偶數(shù)長(zhǎng)度的向量，fftshift就是它本身的逆。對(duì)于向量y，n=8192，這個(gè)逆傅立葉變換能用鍵入以下命令而求得 y=ifft(fftshift(y); y=real(y);由于原時(shí)域信號(hào)已知是實(shí)的，所以這里用了函數(shù)real。然而，在fft和ifft中的數(shù)值舍入誤差都會(huì)在y中引入一個(gè)很小的非零虛部分量。一般說(shuō)來(lái)，逆ctft不必是一個(gè)實(shí)信號(hào)，而虛部可以包含有顯著的能量。當(dāng)已知所得信號(hào)一定是實(shí)信號(hào)時(shí)，并且已經(jīng)證實(shí)所除掉的虛部分量是沒有意義的，real函數(shù)才能用于ifft的輸出上load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;y=

8、fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;subplot(211)plot(w,y);title(y);y=ifft(fftshift(y);y=real(y);subplot(212)plot(w,y);title(y);2 置y1=conj(y)并將y1的逆傅立葉變換存入y1中，用real(y1)以確保y1是實(shí)的，用sound(y1,fs)將y1放出。已知的逆傅立葉變換是如何與聯(lián)系的，能解釋剛才聽到的是什么嗎？load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;y=fftshift(fft(y);y1=

9、conj(y);y1=ifft(fftshift(y1);sound(y1,fs);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;plot(w,y1);答：剛才聽到的是y信號(hào)反過來(lái)放的聲音。 的ctft可以用它的幅值和相位寫成 式中。對(duì)于許多信號(hào)，單獨(dú)用相位或幅值都能構(gòu)造出一個(gè)有用的信號(hào)的近似。例如，考慮信號(hào)和，其ctft為 3.只要是實(shí)信號(hào)，用解析方法說(shuō)明和一定是實(shí)的。解：因?yàn)榧磞(t)=又因?yàn)槭菍?shí)信號(hào)故和一定是實(shí)的。4.構(gòu)造一個(gè)向量y2等于y的幅值，并將y2的逆傅立葉變換存入向量y2中，用sound放出這個(gè)向量。load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192

10、;y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;y2=abs(y);y2=ifft(fftshift(y2);sound(y2,fs);plot(w,y2);5.構(gòu)造一個(gè)向量y3，它有與y相同的相位，但是幅值對(duì)每個(gè)頻率都等于1。并將y3的逆傅立葉變換存入向量y3中，用sound放出這個(gè)向量。load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;y3=y./abs(y);y3=ifft(fftshif

11、t(y3);sound(y3,fs);plot(w,y3);6.根據(jù)剛才聽到的這兩個(gè)信號(hào)，代表一個(gè)聲音信號(hào)你認(rèn)為傅立葉變換的那個(gè)部分是最關(guān)鍵的：幅值或相位？答：相位是最關(guān)鍵的。 7.用向量y創(chuàng)建一個(gè)向量y4，它包含有本該以8192hz從采樣所得到的樣本。load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;w4=(-pi:2*pi/(n/2):pi-pi/(n/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,y);title(y);s

12、ubplot(212)plot(w4,y4);title(y4);8.用y4=sound(y4,fs)放出y4。利用比較y4的傅立葉變換與y的傅立葉變換，能說(shuō)明在高音上的變化嗎？信號(hào)壓縮是如何影響它的傅立葉變換的？load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);y=fftshift(fft(y);y4=fftshift(fft(y4);w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;w4=(-pi:2*pi/(n/2):pi-pi/(n/2)*(fs/2);subplot(211)pl

13、ot(w,y);title(y);subplot(212)plot(w4,y4);title(y4);信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a1）等效于在頻域中擴(kuò)展。9創(chuàng)建向量x，它由下式給出 注意，x是一個(gè)長(zhǎng)度為2*n的向量。load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;end10.利用函數(shù)filter完成在x上的線性內(nèi)插。這里要用到的線性內(nèi)插器的單位沖激響應(yīng)是h=1 2 1/2。load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;soun

14、d(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;endh=1 2 1;a=2;y=filter(h,a,x);11.用sound(y5,fs)放出y5。用比較y5和y的傅立葉變換，能解釋在音調(diào)上的變化嗎？load splaty=y(1:8192);n=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;w=(-pi:2*pi/n:pi-pi/n)*fs;w5=(-pi:2*pi/(n*2):pi-pi/(n*2)*(fs*2);for i=1:2:(2*8192) y5(i)=0; y5(i+1)=y(j); j=j+1

15、;endsound(x,fs);y=fftshift(fft(y);y5=fftshift(fft(y5);subplot(211)plot(w,y);subplot(212)plot(w5,y5)4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的符號(hào)計(jì)算1定義符號(hào)表達(dá)式x1和x2代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 需要用函數(shù)heaviside來(lái)表示單位階躍函數(shù)。x1=sym(heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(heaviside(t)*exp(-4*t);2 對(duì)于1中所定義的和，用解析方法計(jì)算它們的ctft在的值，即（不應(yīng)該先求來(lái)作這道題）ctft在的值是怎樣與時(shí)域信號(hào)關(guān)聯(lián)的？clc; syms

16、 tx1=sym(heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(heaviside(t)*exp(-4*t);fx1=simple(int(x1, t, -inf, inf);fx2=simple(int(x2, t, -inf, inf);31所定義的信號(hào)中，哪一個(gè)在時(shí)域衰減得更快？根據(jù)這一點(diǎn)，你能預(yù)期在頻域哪一個(gè)衰減得更快？x1=sym(heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(heaviside(t)*exp(-4*t);subplot(211);ezplot(x1,-1:5);axis(-1,5,-0.1,0.8)subplot(212)

17、;ezplot(x2,-1:5);axis(-1,5,-0.1,1.2)x2在時(shí)域衰減得更快,x1在頻域衰減得更快.4 用函數(shù)fourier計(jì)算和得ctft。定義x1和x2是由fourier產(chǎn)生的符號(hào)表達(dá)式。用ezplot產(chǎn)生和的幅值圖。這些圖能對(duì)2和3中的答案進(jìn)行確認(rèn)嗎？syms t w;x1=sym(heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(heaviside(t)*exp(-4*t);fw1=fourier(x1,t,w);待添加的隱藏文字內(nèi)容2fw2=fourier(x2,t,w);ffw1=maple(convert,fw1,piecewise);ffw2=

18、maple(convert,fw2,piecewise);ffp1=abs(ffw1);ffp2=abs(ffw2);subplot(211);ezplot(ffp1,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x1);subplot(212);ezplot(ffp2,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x2);5定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)1代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 它可以作為兩個(gè)heaviside函數(shù)之差。y1=sym(heaviside(t+2)-heaviside(t-2);6.用解析方法求的ct

19、ft，。syms t w;y=sym(heaviside(t+2)-heaviside(t-2);f=int(y*exp(-1i*w*t),t, -inf, inf);ezplot(f,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 5)title(fourier(y1);7定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)2表示信號(hào)。你能像對(duì)y1那樣用兩個(gè)heaviside函數(shù)之差來(lái)完成，或者恰當(dāng)?shù)貙?duì)y1應(yīng)用subs。syms t w;y1=sym(heaviside(t+2)-heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);fw=fourier(y2,t,w);ffw=maple(conver

20、t,fw,piecewise);ffp=abs(ffw);ezplot(ffp,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 2.5)title(fourier(y2);8利用fourier求y1和y2的ctft，并將它們存入y1和y2中。倘若y1不是你所期望得到的表達(dá)式，那么試試在所得表達(dá)式上用simple以便得出更為熟悉的形式。syms t w;y1=sym(heaviside(t+2)-heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);y1=fourier(y1,t,w);y2=fourier(y2,t,w);9用ezplot產(chǎn)生和的幅值圖。比較這兩張圖情況如何？由這兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域之間的關(guān)系能預(yù)測(cè)到這個(gè)結(jié)果嗎？syms t w;y1=sym(heaviside(t+2)-heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);y1=fourier(y1,t,w);fy1=maple(convert,y1,piecewise);fpy1=abs(fy1);y2=fourier(y2,t,w);fy2=maple(convert,y2,piecewise);fpy2=abs(fy2);hold onezplot(fpy1,-4*pi:4*pi);ezplot(fpy2,-4*pi:4