人教版高中《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（下）《三角函數(shù)線》說(shuō)課稿

1、4.3 任意角的三角函數(shù)（二）三角函數(shù)線教材：人教版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）第四章第三節(jié)教學(xué)背景： 1教材地位分析：三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線的概念及其應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué).借助三角函數(shù)線可以推出三角函數(shù)公式，求解三角函數(shù)不等式，探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以說(shuō),三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的有利工具. 2學(xué)生現(xiàn)實(shí)分析：學(xué)習(xí)本節(jié)前,學(xué)生已經(jīng)掌握任意角三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),以及誘導(dǎo)公式一,為三角函數(shù)線的尋找做好了知識(shí)準(zhǔn)備.高一上學(xué)期研究指、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像時(shí),已帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)了幾何畫(huà)板的基礎(chǔ)知識(shí)，現(xiàn)在他們已經(jīng)具備初步的幾何畫(huà)板應(yīng)用能

2、力，能夠制作簡(jiǎn)單的動(dòng)畫(huà)，開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)目標(biāo): 使學(xué)生掌握如何利用單位圓中的有向線段分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值,并能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題.2能力目標(biāo): 借助幾何畫(huà)板讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，提高學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力；在論壇上開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)，讓學(xué)生借助所學(xué)知識(shí)自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，并加以解決，提高學(xué)生抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力.3情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神；通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流合作，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境.教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：1重點(diǎn)：三角函數(shù)線的作法

3、及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.2難點(diǎn)：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來(lái).教學(xué)方法與教學(xué)手段：1教法選擇：“設(shè)置問(wèn)題，探索辨析，歸納應(yīng)用，延伸拓展”科研式教學(xué).2學(xué)法指導(dǎo)：類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程；猜想、求證，達(dá)到知識(shí)的延展.3教學(xué)手段：本節(jié)課地點(diǎn)選在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件探討數(shù)學(xué)問(wèn)題，做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn); 借助網(wǎng)絡(luò)論壇交流各自的觀點(diǎn),展示自己的才能.教學(xué)過(guò)程：一、設(shè)置疑問(wèn),實(shí)驗(yàn)探索（17分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖設(shè)置疑問(wèn),點(diǎn)明主題前面我們學(xué)習(xí)了角的弧度制，角弧度數(shù)的絕對(duì)值，其中是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓

4、的半徑.特別地, 當(dāng)r =1時(shí)，,此時(shí)的圓稱為單位圓，這樣就可以用單位圓中弧的長(zhǎng)度表示所對(duì)圓心角弧度數(shù)的絕對(duì)值，那么能否用幾何圖形來(lái)表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值呢？這就是我們今天一起要研究的問(wèn)題.既可以引出單位圓，又可以使學(xué)生通過(guò)類比聯(lián)想主動(dòng)、快速的探索出三角函數(shù)值的幾何形式.概念學(xué)習(xí),分散難點(diǎn)有向線段：帶有方向的線段.（1）方向：按書(shū)寫(xiě)順序，前者為起點(diǎn)，后者為終點(diǎn)，由起點(diǎn)指向終點(diǎn).如：有向線段om,o為起點(diǎn)，m為終點(diǎn)，由o點(diǎn)指向m點(diǎn).om （動(dòng)態(tài)演示）(2) 數(shù)值：（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段）絕對(duì)值等于線段的長(zhǎng)度，若方向與坐標(biāo)軸同向，取正值;與坐標(biāo)軸反向，取負(fù)值.如：

5、om= 1, on= -1, ap = 相關(guān)概念的學(xué)習(xí)分散了教學(xué)難點(diǎn),使學(xué)生能夠更多的圍繞重點(diǎn)展開(kāi)探索和研究.實(shí)驗(yàn)探 索,辨析研討1.(復(fù)習(xí)提問(wèn))任意角的正弦如何定義?角的終邊上任意一點(diǎn)p(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)是（），它與原點(diǎn)的距離是r, 比值叫做的正弦.思考:能否用幾何圖形表示出角的正弦呢?學(xué)生聯(lián)想角的弧度數(shù)與弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化, 類比猜測(cè):若令r=1，則.取角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p,過(guò)點(diǎn)p作軸的垂線，設(shè)垂足為m，則有向線段mp=.(學(xué)生分析的同時(shí),教師用幾何畫(huà)板演示)請(qǐng)學(xué)生利用幾何畫(huà)板作出垂線段mp,并改變角的終邊位置,觀察終邊在各個(gè)位置的情形,注意有向線段的方向和正弦值正負(fù)的對(duì)應(yīng).特別地,當(dāng)角的終

6、邊在軸上時(shí),有向線段mp變成一個(gè)點(diǎn),記數(shù)值為0.這條與單位圓有關(guān)的有向線段mp叫做角的正弦線.2.思考:用哪條有向線段表示角的余弦比較合適?并說(shuō)明理由.請(qǐng)學(xué)生用幾何畫(huà)板演示說(shuō)明.有向線段om叫做角的余弦線.3. 如何用有向線段表示？討論焦點(diǎn)：的終邊mpoxyt的終邊at a-11(t)若令=1, 則=at，但是第二、三象限角的終邊上沒(méi)有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，若此時(shí)取=-1的點(diǎn)t，tan=-=ta,有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一.引導(dǎo)觀察：當(dāng)角的終邊互為反向延長(zhǎng)線時(shí)，它們的正切值有什么關(guān)系？統(tǒng)一認(rèn)識(shí)：方案1：在象限角的終邊或其反向延長(zhǎng)線上取=1的點(diǎn)t，則tan=at；方案2：借助正弦線、余弦線以及相似三

7、角形知識(shí)得到=.幾何畫(huà)板演示驗(yàn)證:當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，tan與有向線段at的對(duì)應(yīng).這條與單位圓有關(guān)的有向線段at叫做角的正切線.美國(guó)華盛頓一所大學(xué)有句名言:“我聽(tīng)見(jiàn)了,就忘記了;我看見(jiàn)了,就記住了;我做過(guò)了,就理解了.”要想讓學(xué)生深刻理解三角函數(shù)線的概念，就應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)去探索，大膽去實(shí)踐，親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程.教學(xué)已經(jīng)不再是把教師或?qū)W生看成孤立的個(gè)體，而是把他們的教和學(xué)看成是相互影響的辯證發(fā)展過(guò)程.在和諧的氛圍中，教師和學(xué)生都處在自由狀態(tài)，可以不受框框的束縛，充分表達(dá)各自的意見(jiàn)，在自己積極思維的同時(shí)又能感受他人不同的思維方式，從而打破自己的封閉狀態(tài)，進(jìn)入更加廣闊的領(lǐng)域.二、作法

8、總結(jié),變式演練（13分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖作法總結(jié)正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數(shù)線.請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,并用幾何畫(huà)板演示(一學(xué)生描述,同時(shí)用電腦演示)：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)p；第二步：過(guò)點(diǎn)p作軸的垂線，設(shè)垂足為m，得正弦線mp、余弦線om；第三步：過(guò)點(diǎn)a(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)設(shè)為t，得角的正切線at.特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，在用字母表示這些線段時(shí)，要注意它們的方向，分清起點(diǎn)和終點(diǎn)，書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒.余弦線以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)a為定點(diǎn)（1，0）.及時(shí)歸納總結(jié)，加深

9、知識(shí)的理解和記憶.變式演練,提高能力練習(xí)：利用幾何畫(huà)板畫(huà)出下列各角的正弦線、余弦線、正切線： （1）; （2）.學(xué)生先做,然后投影展示一學(xué)生的作品,并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.例1 利用幾何畫(huà)板畫(huà)出適合下列條件的角的終邊：（1）； （2）； （3）.共同分析（1），設(shè)角的終邊與單位圓交于p(),則=,所以要作出滿足的角的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標(biāo)為的點(diǎn)p，則射線op即為的終邊.（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）請(qǐng)學(xué)生分析（2）、(3),同時(shí)用幾何畫(huà)板演示. 例2 利用幾何畫(huà)板畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合：（1） ; （2）- . 分析：先作出滿足 ，的角的終邊(例1已做)，然后

10、根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍.（幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）答案：（1）.（2）.延伸：通過(guò)（1）、（2）兩圖形的復(fù)合又可以得出不等式組的解集：. 鞏固練習(xí),準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)線的作法.逆向思維,靈活運(yùn)用三角函數(shù)線,并為利用三角函數(shù)線求解三角函數(shù)不等式(組)作鋪墊.數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面.將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來(lái)體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用.三、思維拓展,論壇交流（10分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖思維拓展,論壇交流觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識(shí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律,得出哪些結(jié)論？請(qǐng)

11、說(shuō)明你的觀點(diǎn)和理由,并發(fā)表于焦作一中教育論壇 ().學(xué)生得出的結(jié)論有以下幾種：(1) sin2 + cos2 = 1;(2)sin + cos 1;(3) -1sin1, -1cos1, tanr;(4) 若兩角終邊互為反向延長(zhǎng)線，則兩角的正切值相等,正弦、余弦值互為相反數(shù);(5) 當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;(6) 當(dāng)角的終邊在直線的右下方時(shí), sincos ;當(dāng)角的終邊在直線的左上方時(shí), sincos ;給學(xué)生建設(shè)一個(gè)開(kāi)放的、有活力、有個(gè)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.論壇交流既能展示個(gè)人才華,又能照顧到各個(gè)層次的學(xué)生.來(lái)自他人的信息為自己所吸收，自己的既有知

12、識(shí)又被他人的視點(diǎn)喚起，產(chǎn)生新的思想.這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生在輕松達(dá)成一個(gè)個(gè)階段目標(biāo)之后，順利到達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界.四、歸納小結(jié),課堂延展（5分鐘）教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)意圖歸納小結(jié)1.回顧三角函數(shù)線作法.2.三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)問(wèn)題的重要工具，自從著名數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，現(xiàn)在仍然是我們解三角不等式、比較大小、以及今后研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ).回顧三角函數(shù)線作法,再次加深理解和記憶.點(diǎn)明三角函數(shù)線在其他方面的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想,便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中更深入的思考,更廣泛的研究.鞏固創(chuàng)新,課堂延展鞏固作業(yè):習(xí)題4.3 1,2

13、提升練習(xí)：1. 已知：，那么下列命題成立的是（ ）a若、是第一象限的角，則coscos.b. 若、是第二象限的角，則tantan.c. 若、是第三象限的角，則coscos.d. 若、是第四象限的角，則tantan.2求下列函數(shù)的定義域：（1） y = ; (2) y = lg(34sin2x) .延展作業(yè):1. 類比正切線的作法，你能作出余切線嗎？2.結(jié)合三角函數(shù)線我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些很有價(jià)值的結(jié)論,你還能得出哪些結(jié)論？請(qǐng)大家繼續(xù)在論壇上交流.3.查閱數(shù)學(xué)家歐拉的生平事跡,了解他在數(shù)學(xué)方面的突出貢獻(xiàn),談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)感受,并發(fā)表于論壇交流. 既能保證全體學(xué)生的鞏固應(yīng)用，又兼顧學(xué)有余力的學(xué)生，同時(shí)將探

14、究的空間由課堂延伸到課外.教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明:1.讓計(jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)真正走入數(shù)學(xué)課堂,發(fā)揮它們的輔助作用.“讓計(jì)算機(jī)軟件和網(wǎng)絡(luò)走入數(shù)學(xué)課堂”是提出了多年的口號(hào)，但是如何真正讓多媒體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用卻是我們一直在探索的問(wèn)題.本節(jié)課有較廣的延展面，是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索、創(chuàng)新能力的很好素材，但是要在一節(jié)課45分鐘時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)構(gòu)想，對(duì)課的安排提出了非常高的要求.幾何畫(huà)板軟件的動(dòng)畫(huà)演示功能正好可以幫助學(xué)生做數(shù)學(xué)試驗(yàn)，探討數(shù)學(xué)問(wèn)題；網(wǎng)絡(luò)論壇可以讓他們充分交流，相互學(xué)習(xí).為此，我把授課地點(diǎn)放在多媒體網(wǎng)絡(luò)教室，充分發(fā)揮多媒體的優(yōu)勢(shì)，既豐富了三角函數(shù)線的概念，又培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，探索精神、創(chuàng)新意識(shí)也有了相應(yīng)的提高.2.不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研究方法. 課堂教學(xué)最終是為了讓學(xué)生擺脫課堂,獨(dú)立學(xué)習(xí),所以不僅要讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),更要讓他們領(lǐng)悟科學(xué)的研