衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文C題

1、衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控摘要 對于問題一：我們根據(jù)已知問題一條件的假設(shè)和測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，可以畫出衛(wèi)星的軌道圖以及測控站的測控范圍，同時(shí)測控站的測控范圍可由其圓心角來表示，則測控站的數(shù)量可由與其圓心角的商得到。根據(jù)正弦定理，可得到軌道半徑與測控范圍的關(guān)系，繼而得到測控站的數(shù)量個(gè)數(shù)，其個(gè)數(shù)至少為3個(gè)。對于問題二：由問題二的假設(shè)，而且假設(shè)每個(gè)測控站的測控范圍都相同的條件下，我們想到把對衛(wèi)星或飛船進(jìn)行測控的測控站的個(gè)數(shù)問題看成在一個(gè)大的球殼（或部分球殼）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。我們把球殼沿著一個(gè)平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來

2、的順序鋪在一個(gè)平面上，中點(diǎn)在y軸上，即成一個(gè)橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋。又因?yàn)樵谥荛L相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個(gè)平面時(shí)，將會(huì)存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個(gè)固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓即可得出所需的測控站最少個(gè)數(shù)，其最少個(gè)數(shù)應(yīng)為個(gè)。對于問題三：由于問題三是求實(shí)際測控站的測控范圍，由于各測控站的位置都不是很均勻，因而難以直接計(jì)算出來，于是我們把飛船的球帶軌道近似成一個(gè)矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域?yàn)椤Ｔ俑鶕?jù)經(jīng)

3、緯度將各個(gè)站添加上去，求出每個(gè)站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。關(guān)鍵詞： 測控站 跟蹤測控 測控率一、問題的提出1.1背景 隨著科學(xué)技術(shù)的提高，衛(wèi)星和飛船的應(yīng)用越來越廣泛，同時(shí)衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)中有著重要的作用。對它們的發(fā)射和運(yùn)行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進(jìn)行全程跟蹤測控，然而在現(xiàn)實(shí)生活中，我們以現(xiàn)在的技術(shù)還不能達(dá)到，所以在衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過程中，往往采取以多個(gè)測控站聯(lián)合來完成測控任務(wù)，因此，測控站的選取也決定了能否對衛(wèi)星和飛船進(jìn)行全程跟蹤測控。1.2問題重述 衛(wèi)

4、星和飛船在國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)中有著重要的作用，對它們的發(fā)射和運(yùn)行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進(jìn)行全程跟蹤測控。測控設(shè)備只能觀測到所在點(diǎn)切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測控效果不好，實(shí)際上每個(gè)測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個(gè)衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運(yùn)行過程中，往往有多個(gè)測控站聯(lián)合完成測控任務(wù)，如神州七號飛船發(fā)射和運(yùn)行過程中測控站的分布如下圖所示：因此我們需要建立模型去分析衛(wèi)星或飛船的測控情況，需要解決的問題是：問題一：在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個(gè)測控站才能對其進(jìn)行全程跟蹤

5、測控？問題二：如果一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為h的球面s上運(yùn)行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時(shí)該衛(wèi)星或飛船在運(yùn)行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個(gè)測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測控的目的？問題三：收集我國一個(gè)衛(wèi)星或飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測控站點(diǎn)的分布信息，分析這些測控站點(diǎn)對該衛(wèi)星所能測控的范圍。1.3問題分析對于問題一：我們根據(jù)已知條件的假設(shè)，和測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，可以畫出衛(wèi)星的軌道圖以及測控站的測控范圍，同時(shí)測控站的測控范圍可由其圓心角來表示，則測控站的數(shù)量可由與其圓心角的商得到。根

6、據(jù)正弦定理，可得到軌道半徑與測控范圍的關(guān)系，繼而得到測控站的數(shù)量個(gè)數(shù)。對于問題二：由問題二的假設(shè)，而且假設(shè)每個(gè)測控站的測控范圍都相同的條件下，我們想到把對衛(wèi)星或飛船進(jìn)行測控的測控站的個(gè)數(shù)問題看成在一個(gè)大的球殼（或部分球殼）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。我們把球殼沿著一個(gè)平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來的順序鋪在一個(gè)平面上，中點(diǎn)在y軸上，即成一個(gè)橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋。又因?yàn)樵谥荛L相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個(gè)平面時(shí)，將會(huì)存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個(gè)固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可

7、能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓即可得出所需的測控站最少個(gè)數(shù)。對于問題三：由于問題三是求實(shí)際測控站的測控范圍，由于各測控站的位置都不是很均勻，因而難以直接計(jì)算出來，于是我們把飛船的球帶軌道近似成一個(gè)矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域?yàn)?。再根?jù)經(jīng)緯度將各個(gè)站添加上去，求出每個(gè)站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。二、模型假設(shè)（1）假設(shè)地球是一個(gè)理想的球形，不考慮其他影響建站的因素。（2）假設(shè)每個(gè)測控站的測控范圍都相同。 三、符號說明符號說明：h為衛(wèi)星到地球的表面高度。為測

8、控站到地點(diǎn)的圓心角的一半。為測量圓心角。n為測控站的數(shù)量。r為地球的半徑（且取平均半徑6371km）。h為衛(wèi)星的軌道半徑。為正六邊形的邊長為測控站能測到s球面的圓弦長為第個(gè)緯度所在平面分s球面所截平面的圓周長為第個(gè)緯度上的測控站的站點(diǎn)數(shù)t為測控站的總數(shù)為衛(wèi)星或飛船與赤道平面的夾角n相差多少個(gè)緯度四、問題分析五、模型的建立模型一：根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的軌道如圖所示：所以我們根據(jù)正弦定理可得： 模型二：此問題就相當(dāng)于，在一個(gè)大的球殼（或球帶）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。于是我們把球殼沿著一個(gè)平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來的順序鋪在一個(gè)平面上，中點(diǎn)在y軸上，即成一

9、個(gè)橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋又因?yàn)樵谥荛L相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個(gè)平面時(shí)，將會(huì)存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個(gè)固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓，其圖如下：橢圓方程為由問題一可知: 我們由此可得出，在赤道上的測控站的站點(diǎn)數(shù)： 于是，我們可得：相差角度即在緯度上時(shí)建立測控站則 以此類推可得 所以即在緯度上建立測控站的站點(diǎn)數(shù)： 那么在緯度上建立的測控站的站數(shù)為： 離赤道最遠(yuǎn)的緯度應(yīng)為衛(wèi)星或飛船的軌道與赤道平面的夾角，于是可得 ： 即為分布測控站緯度的條數(shù)則總的測控站最

10、少個(gè)數(shù)為 模型三： 把飛船的球帶軌道近似成一個(gè)矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域?yàn)?。再根?jù)經(jīng)緯度將各個(gè)站添加上去，求出每個(gè)站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。五、求解模型模型一： 即=且 且 我們就方程進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，則取最大值為，所以我們由公式，可得，又，所以可得測控站的數(shù)量至少為3個(gè)。而且當(dāng)測控站的數(shù)量為3個(gè)時(shí)，則為，所以由方程可得，h=2.2r , h=1.2r ，所以當(dāng)時(shí)，則測控站的數(shù)量隨h的增大，而增加 。代入神七的數(shù)據(jù)，飛行高度為343km，可計(jì)算得 所以 即應(yīng)該設(shè)立12個(gè)測控站

11、。 模型二：根據(jù)上述模型，我們帶入神七的參數(shù)可得。 模型三： 我們通過網(wǎng)上收集了有關(guān)“神舟七號”載人飛船的運(yùn)行資料和發(fā)射時(shí)測控站點(diǎn)的分布信息如下：“神舟七號”載人飛船的測控站，除了五艘遠(yuǎn)望號測量船外，在國內(nèi)，還有主場站、喀什站、和田站、東風(fēng)站、青島站、渭南站、廈門站等7個(gè)地面測控站；在國外，也有卡拉奇站（巴基斯坦）、馬林迪站、圣地亞哥站（智利）、納米比亞站等4個(gè)地面測控站（其分布圖如下），這16個(gè)測控站組成了一個(gè)監(jiān)控天網(wǎng)，即刻掌握著神舟七號的相關(guān)信息，并給神舟七號發(fā)送指令，全程保護(hù)神舟七號的安全。下表數(shù)據(jù)為神舟七號飛船10個(gè)觀測站所在經(jīng)緯度:站名緯度經(jīng)度東風(fēng)站北緯3941東經(jīng)9830喀什站北緯3924東經(jīng)7606和田站北緯3706東經(jīng)7955青島站北緯3611東經(jīng)12018渭南站北緯3429東經(jīng)10930廈門站北緯2435東經(jīng)11758納米比亞站北緯2240東經(jīng)1431卡拉奇站北緯2451東經(jīng)6700馬林迪站南緯313東經(jīng)4006圣