數(shù)值分析期末論文[沐風文苑]

1、數(shù)值分析論文班 級 思源1101 學 號 11274019 姓 名 廖 仁 國 將數(shù)值分析應用到數(shù)學建模上前言 為了滿足科技發(fā)展對科學研究和工程技術人員用數(shù)學理論解決實際的能力的要求，討論了數(shù)值分析在數(shù)學建模中的應用。數(shù)值分析不僅應用模型求解的過程中，它對模型的建立也具有較強的指導性。研究數(shù)值分析中插值擬合，解線性方程組，數(shù)值積分等方法在模型建立、求解以及誤差分析中的應用，使數(shù)值分析作為一種工具更好的解決實際問題。數(shù)值分析主要介紹現(xiàn)代科學計算中常用的數(shù)值計算方法及其基本原理，研究并解決數(shù)值問題的近似解，是數(shù)學理論與計算機和實際問題的有機結合1。隨著科學技術的迅速發(fā)展，運用數(shù)學方法解決科學研究和

2、工程技術領域中的實際問題，已經得到普遍重視。數(shù)學建模是數(shù)值分析聯(lián)系實際的橋梁。在數(shù)學建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、擬合法等，那么如何在數(shù)學建模中正確的應用數(shù)值分析內容，就成了解決實際問題的關鍵。一、數(shù)值分析在模型建立中的應用在實際中，許多問題所研究的變量都是離散的形式，所建立的模型也是離散的。例如，對經濟進行動態(tài)的分析時，一般總是根據(jù)一些計劃的周期期末的指標值判斷某經濟計劃執(zhí)行的如何。有些實際問題即可建立連續(xù)模型，也可建立離散模型，但在研究中，并不能時時刻刻統(tǒng)計它，而是在某些特定時刻獲得統(tǒng)計數(shù)據(jù)。例如，人口普查統(tǒng)計是一個時

3、段的人口增長量，通過這個時段人口數(shù)量變化規(guī)律建立離散模型來預測未來人口。另一方面，對常見的微分方程、積分方程為了求解，往往需要將連續(xù)模型轉化成離散模型。將連續(xù)模型轉化成離散模型，最常用的方法就是建立差分方程。以非負整數(shù)表示時間，記為變量在時刻的取值，則稱為的一階差分，稱為的二階差分。類似課求出的階差分。由，及的差分給出的方程稱為差分方程2。例如在研究節(jié)食與運動模型時，發(fā)現(xiàn)人們往往采取節(jié)食與運動方式消耗體內存儲的脂肪，引起體重下降，達到減肥目的。通常制定減肥計劃以周為時間單位比較方便，所以采用差分方程模型進行討論。記第周末體重為，第周吸收熱量為，熱量轉換系數(shù)，代謝消耗系數(shù)，在不考慮運動情況下體重

4、變化的模型為2，增加運動時只需將改為，由運動的形式和時間決定。此外，在研究經濟變化趨勢，人口增長等問題時，都要按照一定的周期建立差分模型。這樣，連續(xù)模型就通過數(shù)值分析中研究的對象差分方程，轉化成離散模型，簡化了求解過程。二、數(shù)值分析在模型求解中的應用插值法和擬合法在模型求解中的應用1、1）擬合法求解在數(shù)學建模中，我們常常建立了模型，也測量了（或收集了）一些已知數(shù)據(jù)，但是模型中的某些參數(shù)是未知的，此時需要利用已知數(shù)據(jù)去確定有關參數(shù)，這個過程通常通過數(shù)據(jù)擬合來完成。最小二乘法是數(shù)據(jù)擬合的基本方法。其基本思想就是：尋找最適合的模型參數(shù)，使得由模型給出的計算數(shù)據(jù)與已知數(shù)據(jù)的整體誤差最小。假設已建立了數(shù)

5、學模型，其中，是模型參數(shù)。已有一組已知數(shù)據(jù)，用最小二乘確定參數(shù)，使最小。函數(shù)稱為數(shù)據(jù)的最小二乘擬合函數(shù)。如果模型函數(shù)具有足夠的可微性，則可用微分方程法解出。最合適的應滿足必要條件。 2）插值法求解在實際問題中，我們經常會遇到求經驗公式的問題，即不知道某函數(shù)的具體表達式，只能通過實驗測量得到該函數(shù)在一些點的函數(shù)值，即已知一部分精確的函數(shù)值數(shù)據(jù)，。要求一個函數(shù) ， （2）這就是插值問題。函數(shù)稱為的插值函數(shù)。稱為插值節(jié)點，式（2）稱為插值條件2。多項式插值是最常用的插值方法，在工程計算中樣條插值是非常重要的方法。2、模型求解中的解線性方程組問題在線性規(guī)劃模型的求解過程中，常遇到線性方程組求解問題。線

6、性方程組求解是科學計算中用的最多的，很多計算問題都歸結為解線性方程組，利用計算機求解線性方程組的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是將線性方程組轉化為便于求解的三角線性方程組，再求三角線性方程組，理論上直接在有限步內求得方程的精確解，但由于數(shù)值運算有舍入誤差，因此實際計算求出的解仍然是近似解，仍需對解進行誤差分析。直接法不適用求解的線性方程組，因此當時，可以采用迭代法進行求解。迭代法先要構造迭代公式，它與方程求根迭代法相似，可將線性方程組改寫成便于迭代的形式。迭代計算公式簡單，易于編制計算程序，通常都用于解大型稀疏線性方程組。求解線性方程組的一般設計思想如下，假設建立一個線性規(guī)劃模型其中，即

7、，可將改寫為迭代的形式并由此構造迭代法其中,稱為迭代矩陣。將按不同方式分解，就得到不同的迭代矩陣,也就的帶不同的迭代法，例如Jacobi迭代法 5、高斯-賽德爾迭代法5、超松弛迭代法等。由于計算過程中有舍入誤差，為防止誤差增大，就要求所使用的迭代法具有穩(wěn)定性，即迭代收斂，收斂速度越快，誤差越小。若中，1，則認為此迭代法收斂。超松弛迭代法是利用松弛技術加快收斂的典型，它有重要的實際價值，但必須選擇較佳的松弛因子，雖有求最佳松弛因子的理論公式，但通常還要依賴于實際經驗。3、數(shù)值積分在模型求解中的應用模型求解過程中可能遇到積分求解問題，用求積公式，使定積分計算變得簡單，但在實際應用中很多被積函數(shù)找不

8、到用解析時表示的原函數(shù)，例如，或者即使找到表達式也極其復雜。另外，當被積函數(shù)是列函數(shù)，其原函數(shù)沒有意義，因此又將計算積分歸結為積函數(shù)值的加權平均值。假設，則積分的計算公式5為，稱其為機械求積公式，其中（）稱為求積節(jié)點，與無關，稱為求積系數(shù)或權數(shù)，機械求積公式是將計算積分歸結為計算節(jié)點函數(shù)值的加權平均，即取得到的。由于這類公式計算極其便捷，是計算機計算積分的主要方法，構造機械求積公式就轉化為求參數(shù)及的代數(shù)問題。4、數(shù)值分析在求解微分方程中的應用在數(shù)學建模中，所建立的模型很多時候是常微分方程或者偏微分方程，這些方程求解析解是很困難的，而且即使能夠求得解析解，由于所用數(shù)據(jù)的誤差得到的解也是近似值，所

9、以大部分情況下會采取數(shù)值的方法進行求解。例如在常微分方程求解中，將原方程離散后，用迭代的方法求解；在偏微分方程的求解中，常常利用有限差分方法和有限元方法對方程進行離散，進而求得方程的數(shù)值解。四、誤差分析誤差分析使數(shù)學建模的結果更加準確。數(shù)學模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差稱為模型誤差。在數(shù)學模型中往往包含了若干參變量，這些量往往是通過觀察得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差稱為觀察誤差4。這些誤差是不可避免的，所以我們只能在模型建立和模型求解中避免誤差擴大。目前已經提出的誤差分析方法有向前誤差分析法與向后誤差分析，區(qū)間分析法，及概率分析，但在實際誤差估計中均不可行。不能定量的估計誤差，因此在建模過程

10、中更著重誤差的定性分析，也就是算法的穩(wěn)定性分析。一個算法如果原始數(shù)據(jù)有誤差，而計算過程舍入誤差不增長，則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則，若誤差增長，則稱算法是不穩(wěn)定的。在誤差分析中，首先要分清問題是否病態(tài)和算法是否穩(wěn)定，計算時還要盡量避免誤差危害。為了防止有效數(shù)字的損失，應該注意下面若干原則：一是避免用絕對值小的數(shù)作除數(shù)；二是避免數(shù)值接近相等的兩個近似值相減，這樣會導致有效數(shù)字嚴重損失；三是注意運算次序，防止“大數(shù)”吃“小數(shù)”，如多個數(shù)相加減，應按照絕對值由小到大的次序運算；四是簡化步驟，減少算術運算的次數(shù)。五、結論隨著電子計算機的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值軟件的不斷開發(fā),數(shù)值分析的理論和方法無論是在高科技領域還是在傳統(tǒng)學科領域，其作用和影響都越來越大，實際上它已成為科學工作者和工程技術人員必備的知識和工具，所以把數(shù)值分析的知識正確的應用到數(shù)學建模中去不僅是一種趨勢，更是用數(shù)學的理論解決實際問題的關鍵。參考文獻：1鄭慧嬈,陳紹林,莫忠息,等.