工程力學(xué)—第四章平面一般力系

1、第四章第四章 平面一般力系平面一般力系 4-5 平面平行力系的平衡條件平面平行力系的平衡條件 4-6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 4-3 分布荷載分布荷載 4-4 平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件 4-2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 4-1 力線平移定理力線平移定理 前前 言言 位于同一平面內(nèi)的諸力其作用線既不匯位于同一平面內(nèi)的諸力其作用線既不匯 交于一點(diǎn)，也不互相平行的力系，稱為交于一點(diǎn)，也不互相平行的力系，稱為平面平面 一般力系一般力系。 定義：定義： 前前 言言 工程計(jì)算中的很多實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為工程計(jì)算中的很多實(shí)際問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為 平面一般力系

2、來(lái)處理。平面一般力系來(lái)處理。 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？ 各力的作用線各力的作用線 不匯交于一點(diǎn)不匯交于一點(diǎn) 平面一般力系各力的作用線都在同一平面內(nèi)，但既 不匯交于一點(diǎn)，也不平行。 F1，F(xiàn)2 ， Fn 平面匯交力系和平面力偶系是平平面匯交力系和平面力偶系是平 面一般力系的特例。平面一般力系是面一般力系的特例。平面一般力系是 工程中最常見(jiàn)的力系。工程中最常見(jiàn)的力系。 作用在剛體上的力作用在剛體上的力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)O， 但必須但必須同時(shí)增加一附加力偶同時(shí)增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩，附加力偶的力偶矩 M 等于原力等于原力F 對(duì)新作用點(diǎn)對(duì)新作用點(diǎn)O

3、之矩。這就是之矩。這就是。 F F d M F F F O OO AA A 這就相當(dāng)于把力這就相當(dāng)于把力F F 移到移到 了了O O點(diǎn)，同時(shí)增加了一個(gè)點(diǎn)，同時(shí)增加了一個(gè) 附加力偶，其力偶矩為：附加力偶，其力偶矩為： M M= =M MO O ( ( F F )=)=FdFd 把把F F 由原來(lái)的由原來(lái)的A A點(diǎn)平點(diǎn)平 移到移到O O點(diǎn)，可以嗎？點(diǎn)，可以嗎？ 根據(jù)加減平衡力系公理，在根據(jù)加減平衡力系公理，在O O點(diǎn)加上點(diǎn)加上 一對(duì)與一對(duì)與F F 平行且等值、反向力平行且等值、反向力FF和和 F”,F”, 使使F=F=F”,F=F=F”,則則F F 和和F”F”構(gòu)成了構(gòu)成了 一個(gè)力偶，其附加力偶矩

4、為：一個(gè)力偶，其附加力偶矩為：M M =Fd=Fd 力的平移定理由此得證力的平移定理由此得證 4-1 力線平移定理力線平移定理 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：力力F 對(duì)齒輪和軸各有什么作用？對(duì)齒輪和軸各有什么作用？ r 動(dòng)畫動(dòng)畫 力的平移定理應(yīng)用力的平移定理應(yīng)用 F F M M F F 暈！暈！ 錘子砸偏了錘子砸偏了 力的平移定理應(yīng)用力的平移定理應(yīng)用 M M F F 力的平移定理應(yīng)用力的平移定理應(yīng)用 平衡力系平衡力系 M F 力的平移定理應(yīng)用力的平移定理應(yīng)用 力不平衡力不平衡 問(wèn)題問(wèn)題1：圖中的平面一般力系對(duì)剛體的作用效果是怎樣的？圖中的平面一般力系對(duì)剛體的作用效果是怎樣的？ 問(wèn)題問(wèn)題2：能否將平面一般力系能否

5、將平面一般力系F1，F(xiàn)2 Fn中各力都向剛體的某點(diǎn)平移？中各力都向剛體的某點(diǎn)平移？ 假如可以的話，就能夠像平面匯交力系那樣，對(duì)各力進(jìn)行合成了。假如可以的話，就能夠像平面匯交力系那樣，對(duì)各力進(jìn)行合成了。 剛體平衡嗎？剛體平衡嗎？ 不知道！不知道！ 平面一般力系可以直接合成嗎？平面一般力系可以直接合成嗎？ 平面一般力系不是匯交力系，平面一般力系不是匯交力系，不可以不可以直接合成！直接合成！ O A B N 力的平移定理應(yīng)用力的平移定理應(yīng)用 （簡(jiǎn)化中心）（簡(jiǎn)化中心） F1，F(xiàn)2 Fn （一）平面一般力系的主矢與主矩（一）平面一般力系的主矢與主矩 設(shè)在剛體上作用有一平面一般力系設(shè)在剛體上作用有一平面一

6、般力系 F1 , F2 , Fn （如圖（如圖a）。在該力）。在該力 系所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)系所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，該點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心。應(yīng)用力的平移定理，將力，該點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心。應(yīng)用力的平移定理，將力 系中的各力都平移到系中的各力都平移到O點(diǎn)，于是就得到一個(gè)匯交于點(diǎn)，于是就得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系點(diǎn)的平面匯交力系 F1, F2 , Fn 和一個(gè)力偶矩分別為和一個(gè)力偶矩分別為 M1 , M2 , Mn 的附加力偶系（如圖的附加力偶系（如圖b）。）。 將各力和各力偶矩分別合成，可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶（如圖將各力和各力偶矩分別合成，可得到一個(gè)力和一個(gè)力偶（如圖c）。 O為任為任 意點(diǎn)意點(diǎn) 圖

7、圖a圖圖b圖圖c 4-2 平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 平面一般力系的簡(jiǎn)化過(guò)程平面一般力系的簡(jiǎn)化過(guò)程 F O為任為任 意點(diǎn)意點(diǎn) 平面一般力系平面一般力系 （未知力系）（未知力系） 向一點(diǎn)簡(jiǎn)化向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 平面匯交力系平面匯交力系+ +平面力偶系平面力偶系 （可知力系）（可知力系） 平面匯交力系平面匯交力系合力合力FF ， 作用于簡(jiǎn)化中心作用于簡(jiǎn)化中心O O； 平平 面面 力力 偶偶 系系 合力偶，其力偶矩合力偶，其力偶矩M MO O ，作用于剛體平面。，作用于剛體平面。 F1 , F2 , FnF1, F2 , Fn + M1 , M2 , Mn 合成合成 合成合成 所得平面匯交

8、力系（所得平面匯交力系（F1 , F2 , Fn ）可以合成為一個(gè)作用于）可以合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的合點(diǎn)的合 矢量矢量F： F=Fi =Fi 合矢量合矢量FF稱為原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心稱為原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O O的的主矢主矢（如圖（如圖c）。）。 所得的平面附加力偶系（所得的平面附加力偶系（M1 , M2 , Mn）可以合成為一個(gè)的力偶）可以合成為一個(gè)的力偶,其力其力 偶矩偶矩MO 等于各力對(duì)簡(jiǎn)化中心等于各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O之矩的代數(shù)和：之矩的代數(shù)和： MO=MO (Fi )=Fidi 力偶矩力偶矩MOMO稱為原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心稱為原平面一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O O的的主矩主矩。 圖圖a

9、圖圖b圖圖c 思考：思考：平面一般力系的主矢是否就是該力系簡(jiǎn)化后的合力？平面一般力系的主矢是否就是該力系簡(jiǎn)化后的合力？ 主矢和合力有何區(qū)別？主矢和合力有何區(qū)別？ 是原是原力系力系F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n中各中各力的矢量和。力的矢量和。主矢是主矢是 自由矢量，自由矢量，只有大小、方向，只有大小、方向，而不涉及作用點(diǎn)，是一個(gè)自由矢而不涉及作用點(diǎn)，是一個(gè)自由矢 量，量，與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。 為作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心為作用點(diǎn)在簡(jiǎn)化中心O的力矢量。的力矢量。 合力合力的大小、方向的大小、方向 與主矢一致，與主矢一致，與原力系等效，有大小、方向、作用點(diǎn)，是滑移與原力系等效，有大小、方向、作用點(diǎn)，是滑移 矢量

10、。矢量。 平面一般力系簡(jiǎn)化的結(jié)論 1、平面一般力系向作用平面內(nèi)任一點(diǎn)平面一般力系向作用平面內(nèi)任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化后，可得到簡(jiǎn)化后，可得到 一個(gè)力和一個(gè)力偶。一個(gè)力和一個(gè)力偶。 2、這個(gè)力的大小和方向與原力系的主矢相同，作用于簡(jiǎn)、這個(gè)力的大小和方向與原力系的主矢相同，作用于簡(jiǎn) 化中心化中心O點(diǎn)；點(diǎn)； 3、這個(gè)力偶的力偶矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心、這個(gè)力偶的力偶矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的主矩，點(diǎn)的主矩， 大小為原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心大小為原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)之矩的代數(shù)和；點(diǎn)之矩的代數(shù)和； 4、主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。但一般情況下，平面力、主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。但一般情況下，平面力 系的主矩與簡(jiǎn)化

11、中心的選擇有關(guān)。系的主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。 力的平移定理的性質(zhì)：力的平移定理的性質(zhì)： 問(wèn)題問(wèn)題1：為什么平面一般力系的主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)為什么平面一般力系的主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú) 關(guān)，而主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)？關(guān)，而主矩與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)？ 答：這就要看，答：這就要看，把作用在剛體上把作用在剛體上某點(diǎn)的力某點(diǎn)的力F 平行移到平行移到 其它點(diǎn)，所得的力和附加力偶是否相同？其它點(diǎn)，所得的力和附加力偶是否相同？ 當(dāng)力當(dāng)力F 平移時(shí)，平移時(shí)， 力的大小、方向都不改變；力的大小、方向都不改變； 一般情況下，附加力偶的力偶矩的大小、正負(fù)都要隨一般情況下，附加力偶的力偶矩的大小、正負(fù)都要隨 新指

12、定點(diǎn)的位置的不同而不同。新指定點(diǎn)的位置的不同而不同。 F1 A F C B F1 F3 F2 A F1 F3 F2 A F3 F2 F A F1 F3 F2 F O1 F1 F3 F2 F O2 F1 F3 F2 F O3 F3 F2 F 有一力系作用 于剛體平面內(nèi) 將各力向A點(diǎn)簡(jiǎn)化 并求出合力 這是求合力的方法 之一 F1 無(wú)論將力系向剛體內(nèi)的哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化，無(wú)論將力系向剛體內(nèi)的哪一點(diǎn)簡(jiǎn)化， 合力的大小、方向都不會(huì)變化。所以合力的大小、方向都不會(huì)變化。所以 說(shuō)主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。說(shuō)主矢與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。 那么，主矩又會(huì)怎樣呢？ 將力系向剛體內(nèi)的另一點(diǎn)簡(jiǎn)化 A F1 F3 F2 F O1

13、 F1 F3 F2 F O2 F1 F3 F2 F O3 F3 F2 F F1 顯然， M1=-Fd1 （順時(shí)針） M2=-Fd2 （順時(shí)針） M3=+Fd3 （逆時(shí)針） 選擇不同的簡(jiǎn)化中心，各力對(duì)A點(diǎn)的 力臂都不同，轉(zhuǎn)向也不同，就是說(shuō) M1M2M3。 因此，在一般情況下，平面力系的 主矩和簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。 d1 d2 d3 A F O1 F O2 F O3 F d1 d2 d3 “在一般情況下” 那么，特殊情況呢？ 當(dāng)O1、 O2、 O3 選在原合力F 的作用線上時(shí)， M1=M2=M3=0 平面一般力系平面一般力系 平面力偶系平面力偶系 平面匯交力系平面匯交力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化向一點(diǎn)簡(jiǎn)化 合成

14、合成 合成合成 FR（合力）（合力） MO（合力偶）（合力偶） 圖圖4-8 平面一般力系的簡(jiǎn)化平面一般力系的簡(jiǎn)化 (a) F1 F2 Fn F1 Fn F2 O d1 d2 dn (b) F2 O F1 Fn M1M2 Mn (c) O y x MO FR (d) FFFFFFFF n21n21R (4-2) 事實(shí)上，可直接用原力系事實(shí)上，可直接用原力系F1，F(xiàn) 2，.F n 的各力的各力 作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱為原力系的主作出力多邊形，力多邊形的封閉邊稱為原力系的主 矢。矢。 FR的大小和方向等于主矢，作用點(diǎn)在的大小和方向等于主矢，作用點(diǎn)在O點(diǎn)。點(diǎn)。 由此可見(jiàn)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置

15、無(wú)關(guān)。由此可見(jiàn)，主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。 )()()()( 21 21 FMFMFMFM MMMM OnOOO nO (4-3) 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，MO一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)，它反一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)，它反 映了原力系中各力的作用線相對(duì)于映了原力系中各力的作用線相對(duì)于O點(diǎn)的分布情況，點(diǎn)的分布情況， 稱為原力系對(duì)稱為原力系對(duì)O點(diǎn)的主矩。點(diǎn)的主矩。 i R F 根據(jù)合力投影定理，R在 坐標(biāo)軸上的投影分別為 xix yiy RF RF R的大小和方向?yàn)椋?22 22 ()() arctanarctan xyixiy iy y xix R RRFF FR RF 平面一般力系的主矢是原力系中各

16、 力的矢量和，與簡(jiǎn)化中心選取無(wú)關(guān) 其中：為R與x 軸正向間的夾角 主矩一般與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，其值等于原 力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。 )(Fi OOmM w若 ：原力系簡(jiǎn)化成一對(duì)力偶且力偶矩與 簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)； 0,0 OM R w若 ：原力系與通過(guò)簡(jiǎn)化中心的力等效；0,0 OM R w若 ：原力系與一個(gè)大小和方向與R相同、 作用線與簡(jiǎn)化中心的距離 的合力等效，合力作 用線與簡(jiǎn)化中心的位置關(guān)系由MO的符號(hào)確定。 0,0 OM R O dR M 力系合成為一力偶，所以主矩與簡(jiǎn)化中心的位置力系合成為一力偶，所以主矩與簡(jiǎn)化中心的位置 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。0, 0 R O MF 平面一般力系的三種簡(jiǎn)化結(jié)果平

17、面一般力系的三種簡(jiǎn)化結(jié)果： 1. 力系簡(jiǎn)化為力偶力系簡(jiǎn)化為力偶 2. 力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 0, 0 R O MF FR就是原力系的合力，合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化就是原力系的合力，合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化 中心。中心。 O MO FR 圖圖 4-9 (1) 力系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，但合力的作用線不通力系仍可簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，但合力的作用線不通 過(guò)簡(jiǎn)化中心。過(guò)簡(jiǎn)化中心。 MO O O (a) FR (b) O O FR d FR FR 圖圖4-10 力系簡(jiǎn)化為合力力系簡(jiǎn)化為合力 (2)0, 0 R O MF (c) O O d FR 3. 力系平衡力系平衡 MO O O FR 0, 0 R O M

18、F 平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系平面一般力系如果有合力，則合力對(duì)該力系 作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各分力對(duì)該點(diǎn)之 矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。 合力矩定理合力矩定理 )()( ),( ,)( R RR FMFM FMM MdFFM OO OO OO 如下圖所示，顯然有如下圖所示，顯然有 圖圖4-11 合力矩定理證明圖示合力矩定理證明圖示 證明：證明： MO O O (a) FR (b) O O FR d FR FR 當(dāng)平面力系可以合成一個(gè)合力時(shí)，合力R對(duì)作用面內(nèi)任 一點(diǎn)O之矩等于各分力Fi對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即： )()( F R iOOmM

19、 【證明】由上圖知： Rd MO )(R Rdm MO ),(RR 故 )(RM MO O 因 )(Fi OOmM故 )()( F R iOOmM 分力可以是集中力、分布力或力偶。 顯然， ，故該定理可用于由分力矩求合力矩故該定理可用于由分力矩求合力矩 以及求合力作用線的位置以及求合力作用線的位置等。 R M d O )(R 圖示一塔示起重機(jī)。機(jī)架圖示一塔示起重機(jī)。機(jī)架m1=50 t,重重 心在心在O點(diǎn)。點(diǎn)。已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量m2=25 t,欲使起欲使起 重機(jī)在空載與滿載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量重機(jī)在空載與滿載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量m3 應(yīng)應(yīng) 如何？如何？圖

20、中圖中 a =3 m , b =1.5 m, c =6 m, l =10 m。 解：機(jī)架重量、起吊重量及平解：機(jī)架重量、起吊重量及平 衡錘重量分別為衡錘重量分別為m1g 、m2g、 m3g，這是一個(gè)平面一般力系，這是一個(gè)平面一般力系 的特例的特例平面平行力系。平面平行力系。 例題例題 4-1 cb x y R x a L W1 圖4-10 例題4-1圖 o gmmmF gmgmgmFF FF yy xx )( , 0 321R 321R R FR 的方向鉛垂向下。的方向鉛垂向下。 取坐標(biāo)如圖，可知合力取坐標(biāo)如圖，可知合力FR的投影為的投影為 A B m1 g m2 g m3 g c b l x

21、 y a x FR 例例4-1 題圖題圖 O 合力的作用線與合力的作用線與x 軸的交軸的交 點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為x，由合力矩定，由合力矩定 理有理有 )()( R FMFM AA 例題例題 4-1 式中式中x隨隨 m2、m3 而變，其他各量而變，其他各量 都是不變的。都是不變的。 321 321 321R )()( )()( mmm cmlambam x cgmlagmbagmxF 即：即： (a) A B m1 g m2 g m3 g c b l x y a x FR 例例4-1 題圖題圖 O 欲使起重機(jī)不翻倒應(yīng)有：欲使起重機(jī)不翻倒應(yīng)有： 0 x 0, 由由 (a) 式得式得 m1(a+

22、b)-m3c0 例題例題 4-1 t5 .37 6 )5 . 13(50 )( 1 3 c bam m A B m1 g m2 g m3 g c b l x y a x FR 例例4-1 題圖題圖 O (2) 滿載時(shí)滿載時(shí), m2=25 t , x a, 由由(a) 式得式得 t11.36 36 10255 . 150 )()()( 21 3 3321 321321 ac lmbm m amcmlmbm mmmacmlambam 欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有 36.11 tm337.5 t 為了保證安全，可取為了保證安全，可取m3=36.537 t 。 例題例題 4-1 4

23、-3 分布荷載分布荷載 集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小 或與整個(gè)構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認(rèn)為集中作用或與整個(gè)構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認(rèn)為集中作用 在一點(diǎn)上。在一點(diǎn)上。 例如，道路給輪子的力等。例如，道路給輪子的力等。 FN 幾種分布荷載：幾種分布荷載： 體分布荷載：體分布荷載：荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部荷載（力）分布在整個(gè)構(gòu)件內(nèi)部 各點(diǎn)上。例如，構(gòu)件的自重等。各點(diǎn)上。例如，構(gòu)件的自重等。 面分布荷載：面分布荷載：分布在構(gòu)件表面上。例如，風(fēng)分布在構(gòu)件表面上。例如，風(fēng) 壓力、雪壓力等。壓力、雪壓力等。 線分布荷載：線分布荷載：荷載分布在狹長(zhǎng)范圍內(nèi)

24、，如沿構(gòu)荷載分布在狹長(zhǎng)范圍內(nèi)，如沿構(gòu) 件的軸線分布。件的軸線分布。 (1) 集中荷載的單位，即力的單位集中荷載的單位，即力的單位 (N，kN)。 分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。分布荷載的大小用集度表示，指密集程度。 1 1、荷載的單位、荷載的單位 (2) 體分布荷載的單位：體分布荷載的單位： N/m3 ， (3) 面分布荷載的單位：面分布荷載的單位： N/m2 ， (4) 線分布荷載的單位：線分布荷載的單位： N/m 。 均布荷載均布荷載：集度為常數(shù)的分布荷載。：集度為常數(shù)的分布荷載。 例如圖中的均布荷載的合力為：例如圖中的均布荷載的合力為： kN,6 .1741691.10 lqF

25、其作用線通過(guò)梁的中點(diǎn)。其作用線通過(guò)梁的中點(diǎn)。 F q=10.91 kN/m FBFA l=16 m 1、分布荷載的計(jì)算方法、分布荷載的計(jì)算方法 4-4 平面一般力系的平衡條件平面一般力系的平衡條件 平面一般力系平衡的充分必要條件平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的是：力系的 主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩都為零。主矢和對(duì)任意一點(diǎn)的主矩都為零。 0,0 R O MF MO O O FR 平面一般力系的平衡方程為：平面一般力系的平衡方程為： . 0)( , 0 , 0 FM F F O y x 圖示一懸臂式起重機(jī)簡(jiǎn)圖，圖示一懸臂式起重機(jī)簡(jiǎn)圖，A、B、 C處處均為光滑鉸鏈。水平梁均為光滑鉸鏈。水平梁AB

26、自重自重 P = 4 kN,荷載荷載 F =10 kN,有關(guān)尺寸如圖所示，有關(guān)尺寸如圖所示，BC桿自重不計(jì)。求桿自重不計(jì)。求BC 桿所受的拉力和鉸鏈桿所受的拉力和鉸鏈A給梁的約束力。給梁的約束力。 A B DE PF 0 30 (a) C 2m 1m1m C 例題例題 4-4 解：解：(1) 取取AB梁為研究對(duì)象。梁為研究對(duì)象。 (2) 畫受力圖。畫受力圖。 未知量三個(gè)：未知量三個(gè)：FAx、FAy、FT ， 獨(dú)立的平衡方程數(shù)也是三個(gè)。獨(dú)立的平衡方程數(shù)也是三個(gè)。 (3) 列平衡方程，選坐標(biāo)如圖所示。列平衡方程，選坐標(biāo)如圖所示。 )1(030cos 0 0 T FF F xA x )2(030si

27、n 0 0 T FPFF F yA y A B DE PF FT 0 30 (b) x y FAx FAy 例題例題 4-4 )3(030sin 0)( 0 T AEFADPABF FM A 由由(3)解得解得 kN19 5 . 04 10342 30sin4 32 0 T FP F 以以FT之值代入之值代入(1)、(2)，可得：，可得： A B DE PF FT 0 30 (b) x y FAx FAy FAx=16.5 kN, FAy=4.5 kN。 例題例題 4-4 即鉸鏈即鉸鏈A的反力及與的反力及與x軸正向的夾軸正向的夾 角角為：為： 0 22 3 .15arctan kN1 .17

28、xA yA yAxAA F F FFF A B DE PF FT 0 30 (b) x y FAx FA y 例題例題 4-4 平面一般力系平衡方程的其他形式：平面一般力系平衡方程的其他形式： 1. 二矩式二矩式 0 0)( 0)( x B A F FM FM 注意：注意：A、B兩點(diǎn)連線不垂直于兩點(diǎn)連線不垂直于x軸。軸。 A B FR x B 由由MA(F )=0，MB(F )=0可知，力可知，力F 的作用線同時(shí)通過(guò)的作用線同時(shí)通過(guò)A、B兩點(diǎn)，所以該兩點(diǎn)，所以該 力系不可能被簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)力系不可能被簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，只能簡(jiǎn)化為過(guò)A、B兩點(diǎn)連線的合力或者處于平衡兩點(diǎn)連線的合力或者處

29、于平衡 狀態(tài)。狀態(tài)。 （注：當(dāng)方程組中為（注：當(dāng)方程組中為Fy=0時(shí)，時(shí)， A、B連線不能垂直于連線不能垂直于 y 軸）軸） 若力系向若力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化，假設(shè)合力點(diǎn)簡(jiǎn)化，假設(shè)合力F 的作用線不通過(guò)的作用線不通過(guò)A、B連線（如左圖）：連線（如左圖）： MA(F)=0：當(dāng)：當(dāng)F 對(duì)對(duì)A點(diǎn)取矩時(shí)，點(diǎn)取矩時(shí)， MA0， MA(F )=0 成立；成立； MB(F)=0：當(dāng)：當(dāng)F 對(duì)對(duì)B點(diǎn)取矩時(shí)，點(diǎn)取矩時(shí)， MBF d 0， MB(F )=0不成立。不成立。 要使要使MB=0，只有使，只有使F 的作用線通過(guò)的作用線通過(guò)A、B連線或者連線或者F =0 ； Fx=0： 即即Fx=F cos=0，只有當(dāng)，只有當(dāng)c

30、os0時(shí)，才能肯定時(shí)，才能肯定 F =0。 因此必須因此必須90 ，即 ，即A、B連線不能垂直于連線不能垂直于 x 軸軸(如右圖如右圖)。 3. 三矩式三矩式 0)( 0)( 0)( FM FM FM C B A 注意：注意：A、B、C三點(diǎn)不在一條線上。三點(diǎn)不在一條線上。 A B FR C 三矩式平衡方程：三矩式平衡方程： MA(Fi)=0 MB(Fi)=0 MC(Fi)=0 A、B、C三點(diǎn)不能在同一直線上。 由前兩式可知，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶，由前兩式可知，力系不可能簡(jiǎn)化為一力偶， 只能簡(jiǎn)化為作用線過(guò)只能簡(jiǎn)化為作用線過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)合力或兩點(diǎn)的一個(gè)合力或 處于平衡狀態(tài)，再如果處于平衡狀態(tài)

31、，再如果MC(Fi)=0，力系只能，力系只能 簡(jiǎn)化為過(guò)簡(jiǎn)化為過(guò)A、B、C三點(diǎn)的一個(gè)合力三點(diǎn)的一個(gè)合力F 或處于或處于 平衡狀態(tài)，若三點(diǎn)不在同一直線上，則唯一的平衡狀態(tài)，若三點(diǎn)不在同一直線上，則唯一的 可能就是力系平衡（合力可能就是力系平衡（合力F =0），如圖。），如圖。 如果如果A A、B B、C C三點(diǎn)共線，顯然三點(diǎn)共線，顯然M MA A( (F Fi i)=0)=0， M MB B( (F Fi i)=0)=0，M MC C( (F Fi i)=0)=0，但是否，但是否F F =0=0， 無(wú)法判斷無(wú)法判斷! !即不能肯定剛體是否平衡。即不能肯定剛體是否平衡。 w 平面一般力系的平衡方程只

32、有三個(gè)獨(dú)立方程，最多平面一般力系的平衡方程只有三個(gè)獨(dú)立方程，最多 只能求解三個(gè)未知數(shù)；只能求解三個(gè)未知數(shù)； w 在求解具體問(wèn)題時(shí)，可酌情選擇一矩式、二矩式或在求解具體問(wèn)題時(shí)，可酌情選擇一矩式、二矩式或 三矩式方程組且不一定要全部列出平衡方程；三矩式方程組且不一定要全部列出平衡方程； w 力矩平衡方程矩心選擇原則上是任意的，可以在物力矩平衡方程矩心選擇原則上是任意的，可以在物 體上或物體外，盡可能選擇未知而又不必要的力的作體上或物體外，盡可能選擇未知而又不必要的力的作 用點(diǎn)或未知而又不必要的力的作用線與某些已知力的用點(diǎn)或未知而又不必要的力的作用線與某些已知力的 作用線的交點(diǎn)為矩心；作用線的交點(diǎn)為

33、矩心； w 力平衡方程投影軸的選取原則上是任意的，但盡可力平衡方程投影軸的選取原則上是任意的，但盡可 能使投影軸與未知而又不必要的力垂直。能使投影軸與未知而又不必要的力垂直。 由右圖所示的受力圖，可由右圖所示的受力圖，可 否列出下列四個(gè)獨(dú)立的平否列出下列四個(gè)獨(dú)立的平 衡方程？衡方程？ 0)( 0)( 0)( FM FM FM C B A 0 x F 為什么其中必有一個(gè)是從屬的？為什么其中必有一個(gè)是從屬的？ A B DE PQ FT 0 30 (b) x FAx FAy 例例4-4 題受力圖題受力圖 C 思考題思考題 4-7 圖示簡(jiǎn)支梁圖示簡(jiǎn)支梁AB。梁的自重及各處摩。梁的自重及各處摩 擦均不計(jì)

34、。試求擦均不計(jì)。試求A和和B處的支座約束力。處的支座約束力。 y (b) q A C B D Me 2aa 4a FAx FAyFNB x (a) q A C B D Me 2aa 4a 例例 4-5的圖的圖 解：解：(1) 選選AB梁為研究對(duì)象。梁為研究對(duì)象。 (2) 畫受力圖如右圖所示。畫受力圖如右圖所示。 (3) 取坐標(biāo)如圖。取坐標(biāo)如圖。 例題例題 4-5 (4) 列平衡方程列平衡方程 . 02,0 , 0,0 , 024 0)( N eN ByAy Axx B A FaqFF FF aaqMaF FM 解得解得 . 42 3 , 42 1 , 0 e N a M aqF a M aqF

35、 F e Ay B Ax y (b) q A C B D Me 2aa 4a FAx FAyFNB x 例題例題 4-5 在例在例4-5中，試以下中，試以下 列三個(gè)方程求解，看會(huì)有列三個(gè)方程求解，看會(huì)有 什么問(wèn)題，并說(shuō)明原因。什么問(wèn)題，并說(shuō)明原因。 0 0)( 0)( y B A F FM FM y (b) q A C B D Me 2aa 4a FAx FAyFNB x 思考題思考題 4-8 4-5 平面平行力系的平衡條件平面平行力系的平衡條件 平面平行力系：平面平行力系： 0 x F y O x F1 F2 Fn 圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸與圖示一受平面平行力系作用的物體，如選

36、軸與 各力作用線垂直，顯然有：各力作用線垂直，顯然有： 各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。 平面平行力系的平衡條件為：平面平行力系的平衡條件為： 0)( 0 FM F O y 即即平面平行力系平衡的充要條件平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的是：力系中各力的 代數(shù)和以及各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和都為零。代數(shù)和以及各力對(duì)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和都為零。 平面平行力系平衡方程的二矩式平面平行力系平衡方程的二矩式 0)( 0)( FM FM B A y O x F1 F2 Fn 注意：注意：A、B兩點(diǎn)的連線不能與兩點(diǎn)的連線不能與 各力的作用線平行。各力

37、的作用線平行。 在例在例4-1中，設(shè)中，設(shè)m2=20 t,m3=37 t,其他其他數(shù)據(jù)同題數(shù)據(jù)同題4-1。即，。即， a =3 m,b =1.5 m，c =6 m,l =10 m,求求左右兩軌的約束左右兩軌的約束 力。力。 解：畫出起重機(jī)的受力圖。解：畫出起重機(jī)的受力圖。 可見(jiàn)它受到的是一個(gè)平面平可見(jiàn)它受到的是一個(gè)平面平 行力系。行力系。 AB m1 g m2 g m3 g c b l x y a FNA FNB 圖圖4-12 例例4-6的圖的圖 O 取坐標(biāo)如圖，列平衡方程取坐標(biāo)如圖，列平衡方程 gmgmgmF Fgm gmgm FM B B A 321N N3 21 2 8 13 5 . 1

38、 036 135 . 4 0)( AB m1 g m2 g m3 g c b l x y a FNA FNB 圖圖4-12 例例4-6的圖的圖 O gmgmgmF gmgmgmFF F A BA y 321N 321NN 3 3 10 5 . 0 0 0 kN81. 937 kN81. 920 kN81. 950 3 2 1 gm gm gm )kN(860 )kN(8 .189 N B AN F F得得 其中其中 0)( FM B 可用可用 進(jìn)行校核。進(jìn)行校核。 求出的左右軌的約束力均不為負(fù)值，可見(jiàn)所取平求出的左右軌的約束力均不為負(fù)值，可見(jiàn)所取平 衡錘的質(zhì)量可以保證安全。衡錘的質(zhì)量可以保證安

39、全。 AB m1 g m2 g m3 g c b l x y a FNA FNB 圖圖4-12 例例4-6的圖的圖 O )kN(860 )kN(8 .189 N N B A F F q A C B D Me 2aa 4a 思考題思考題4-8的圖的圖 F 4a 圖示的連續(xù)梁，約束力有哪幾個(gè)？求解約束力圖示的連續(xù)梁，約束力有哪幾個(gè)？求解約束力 時(shí)有幾個(gè)獨(dú)立的未知量？能夠列幾個(gè)獨(dú)立的平衡方時(shí)有幾個(gè)獨(dú)立的未知量？能夠列幾個(gè)獨(dú)立的平衡方 程？程？ 思考題思考題 4-9 靜定和超靜定的概念：靜定和超靜定的概念： 靜定問(wèn)題：靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù)一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù) 目正好等

40、于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解目正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，單用平衡方程就能解 出這些未知量。出這些未知量。 q A C B D Me 2aa 4a F 4a 超靜定問(wèn)題：超靜定問(wèn)題：一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù)目一個(gè)靜力平衡問(wèn)題，如果未知量的數(shù)目 超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，用超過(guò)獨(dú)立的平衡方程數(shù)目，用剛體靜力學(xué)方法剛體靜力學(xué)方法就不能就不能 解出所有的未知量。解出所有的未知量。 q A C B D Me 2aa 4a F 4a 注意：判斷問(wèn)題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目注意：判斷問(wèn)題是否靜定，不能單純從未知量的數(shù)目 來(lái)考慮，還應(yīng)對(duì)問(wèn)題多作具體分析。來(lái)考慮，還應(yīng)對(duì)問(wèn)題多作具體分析。

41、 分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量分析圖中的梁可知，雖然平衡方程數(shù)等于未知量 數(shù)，實(shí)際上它不能平衡。數(shù)，實(shí)際上它不能平衡。 q A C B D Me 2aa 4a F 4a 平面一般力系的平衡方程能否用三個(gè)投影式？平面一般力系的平衡方程能否用三個(gè)投影式？ 為什么？為什么？ F1 F2 Fn 思考題思考題 4-11 平面平行力系的平衡方程能否用兩個(gè)投影式？平面平行力系的平衡方程能否用兩個(gè)投影式？ 為什么？為什么？ y o x F1 F2 Fn 0 0 y x F F ？ 思考題思考題 4-12 平面力偶系的平衡方程能否用投影式？為什么？平面力偶系的平衡方程能否用投影式？為什么？ M=M

42、1+ M2+ + Mn =0 , 或或 M=M=0 M1 M 2 M n 平面力偶系圖式平面力偶系圖式 思考題思考題 4-13 4-6 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題 物體系：物體系：由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式聯(lián)系在一由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式聯(lián)系在一 起的系統(tǒng)。起的系統(tǒng)。 CD 3m1.5m 4.5m 3m AB 20 kN 2m2.5m 1.5m 10 kN E 2 kN/m G 1 1、內(nèi)力和外力、內(nèi)力和外力 外力：外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。 內(nèi)力：內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一個(gè)物體在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一個(gè)物體 的這一

43、部分與另一部分之間，相互作用的力。的這一部分與另一部分之間，相互作用的力。 CD 3m 1.5m4.5m 3m AB 20 kN 2m2.5m1.5m 10 kN E 2 kN/m G A B 20 kN FAx FAy FBC FCy FCx 2 kN/m E G FEy FEx FG 10 kN FCy FCx FD FEy FEx C E 2 2、物體系平衡問(wèn)題的靜定或超靜定、物體系平衡問(wèn)題的靜定或超靜定 物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體 的受力情況，畫出受力圖。的受力情況，畫出受力圖。 若未知量總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)若未知量

44、總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn) 題是題是超靜定超靜定的。的。 總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù)總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù) 相比較。相比較。 根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平 衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程等。衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程等。 若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系 統(tǒng)可能不平衡，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都統(tǒng)可能不平衡，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都 能滿足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些能滿足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件

45、有些 是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。 若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)， 則問(wèn)題是靜定的。則問(wèn)題是靜定的。 注意：注意： (1) 在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng) 中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮 。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè) 系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的 平衡方程推出，因而是不獨(dú)立的。平衡方程推出，因而是不獨(dú)立的

46、。 (2) 在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體，在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體， 還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該 從未知量較少或未知量數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)從未知量較少或未知量數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù) 的受力圖開始，逐步求解。的受力圖開始，逐步求解。 求圖示多跨靜定梁的支座反力。梁求圖示多跨靜定梁的支座反力。梁 重及摩擦均不計(jì)。重及摩擦均不計(jì)。 例例 4-7的圖的圖 CD 3m1.5m 4.5m 3m AB 20 kN 2m2.5m 1.5m 10 kN E 2 kN/m G 例題例題 4-7 CD 3m 1.5m4.5m 3

47、m AB 20 kN 2m2.5m1.5m 10 kN E 2 kN/m G 2 kN/m EG FEy FEx FG 10 kN FCy FCx FD FEy FEx C E 分析：未知量分析：未知量9個(gè)，個(gè)，5個(gè)支座反力，個(gè)支座反力，C、 E處鉸鏈處鉸鏈 反力各反力各2個(gè)，共個(gè)，共9個(gè)未知量?？紤]個(gè)未知量。考慮3個(gè)梁的平衡，共個(gè)梁的平衡，共 有有9個(gè)獨(dú)立的平衡方程。個(gè)獨(dú)立的平衡方程。 解：解：(1) 研究研究EG梁梁 A B 20 kN FAx FAy FBC FCy FCx 例題例題 4-7 x y . 0 , 0 xE x F F 由對(duì)稱關(guān)系得：由對(duì)稱關(guān)系得： ).kN(5 . 4)5 . 42( 2 1 GEy FF 2 kN/m EG FEy FEx FG (2) 研究研究CE梁梁 10 kN FCy FCx FD FEy FEx C E 0 , 0 0 xExC xExC x FF FF F x y 例題例題 4-7 kN44.10 062105 . 4 0)( D EyD C F FF FM kN06. 4 010 0 yC yEDyC y F FFF F 10 kN FCy FCx FD FEy FEx C E x y (3) 研究研究AC梁梁 0 , 0 0 xAxC