第十二章 大跨度橋梁的穩(wěn)定理論

1、第十二章第十二章 大跨度橋梁的穩(wěn)定理論大跨度橋梁的穩(wěn)定理論 u12.1 12.1 概概 述述 u12.2 12.2 第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析 u12.3 12.3 拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng) u12.4 12.4 材料非線性問題材料非線性問題 u12.5 12.5 橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力及其全橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力及其全 過(guò)程分析過(guò)程分析 u12.6 12.6 小結(jié)小結(jié) 12.1.1 12.1.1 穩(wěn)定理論的發(fā)展歷程穩(wěn)定理論的發(fā)展歷程 穩(wěn)定問題是力學(xué)中一個(gè)重要分支，是橋梁工 程中經(jīng)常遇到的問題，與強(qiáng)度問題有著同等重要的 意義。隨著橋梁跨徑的不斷

2、增大，橋塔高聳化、箱 梁薄壁化以及高強(qiáng)材料的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)整體和局部的 剛度下降，使得穩(wěn)定問題顯得比以往更為重要。 12.1 12.1 概述概述 橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)或局部 失穩(wěn)。局部失穩(wěn)是指部分子結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或個(gè)別構(gòu)件的失 穩(wěn)，局部失穩(wěn)常常導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的失穩(wěn)。 歷史上有過(guò)許多因橋梁失穩(wěn)而造成事故的例子。例 如，俄羅斯的克夫達(dá)(K ea)敞開式橋，于1875年因上 弦壓桿失穩(wěn)而引起全橋破壞；加拿大的魁北克(Quebec) 橋于1907年在架設(shè)過(guò)程中由于懸臂端下弦桿的腹版翹曲 而引起嚴(yán)重破壞事故；蘇聯(lián)的莫茲爾(M)橋，于 1925年試車時(shí)由于壓桿失穩(wěn)而發(fā)生事故；澳大利亞墨爾 本附

3、近的西門(West Gate)橋，于1970年在架設(shè)拼攏整 孔左右兩半(截面)鋼箱梁時(shí)，上翼板在跨中央失穩(wěn)，導(dǎo)致 112m的整跨倒塌。 橋梁失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展。早在 1744年，歐拉(L.Eular)就提出了壓桿穩(wěn)定的著名公式。此 后彭加瑞(A.Poincare,1885)明確了穩(wěn)定概念，并推廣到流 體力學(xué)的層流穩(wěn)定問題中，即穩(wěn)定分支點(diǎn)的概念。恩格塞 (Engesser)和卡門(Karman)等根據(jù)大量中長(zhǎng)壓桿在壓曲前已 超出彈性極限的事實(shí)，分別提出了切線模量理論和折算模量 理論。普蘭特爾和米歇爾幾乎同時(shí)發(fā)表了關(guān)于梁側(cè)傾問題的 研究成果。近代橋梁工程中由于采用了薄壁輕型結(jié)構(gòu)

4、，又為 穩(wěn)定問題提出了一系列新的實(shí)際課題。瓦格納 (H.Wagner,1929)及符拉索夫(.COB,1940)等人關(guān) 于薄壁桿件的彎扭失穩(wěn)理論，證明其臨界荷載值大大低于歐 拉理論的臨界值，同時(shí)又不能用分支點(diǎn)的概念來(lái)解釋。因而 引入了極值點(diǎn)失穩(wěn)的觀點(diǎn)以及跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定理論。隨著科 學(xué)技術(shù)的發(fā)展，穩(wěn)定理論與非線性理論的聯(lián)系越來(lái)越密不可 分。研究表明，只有通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)幾何非線性關(guān)系以及材料非 線性本構(gòu)關(guān)系的研究，才能深入揭示復(fù)雜穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)。 12.1.212.1.2兩類穩(wěn)定問題兩類穩(wěn)定問題 物體的平衡可能是穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的或者是隨遇的。 物體從一種平衡狀態(tài)稍微偏至鄰近狀態(tài)之后，如果仍能回 復(fù)到原

5、來(lái)的狀態(tài)，則原來(lái)的平衡狀態(tài)為穩(wěn)定的；如果不能 回復(fù)到原來(lái)的狀態(tài)而將繼續(xù)離去，則原來(lái)的平衡狀態(tài)為不 穩(wěn)定的；如果可以在任意新的位置上保持平衡，則為隨遇 平衡。 以剛性小球在不同曲面上的平衡狀態(tài)為例，小球在凹面 的最低位置為穩(wěn)定平衡，在凸面的最高位置為不穩(wěn)定平衡， 在水平面上為隨遇平衡。在一般情況下，平衡的性質(zhì)可隨物 體的偏移方向而異。如小球在雙曲拋物面中點(diǎn)，其平衡狀態(tài) 在一個(gè)方向是穩(wěn)定的，而在其它方向則是不穩(wěn)定的。在橋梁 結(jié)構(gòu)中，總是要求其保持穩(wěn)定平衡，也即沿各個(gè)方向都是穩(wěn) 定的。隨遇平衡可認(rèn)為是穩(wěn)定與不穩(wěn)定的過(guò)渡狀態(tài)，也屬于 不穩(wěn)定的范疇。 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平 衡

6、狀態(tài)開始喪失，稍有擾動(dòng)，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失 去正常工作能力的現(xiàn)象。研究穩(wěn)定可以從小范圍內(nèi)觀察，即 在鄰近原始狀態(tài)的微小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行研究。為揭示失穩(wěn)的真諦， 也可從大范圍內(nèi)進(jìn)行研究。前者以小位移理論為基礎(chǔ)，而后 者建立在大位移非線性理論的基礎(chǔ)上。引出了研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 問題的兩種形式： 第一類穩(wěn)定：分支點(diǎn)失穩(wěn)問題 如圖12.1(a)所示中心受壓的理想直桿。當(dāng)載荷P低于特 定的臨界值Pcr時(shí)，如果施加微小干擾使之彎曲，卸去干擾 后桿件仍回到原始直線狀態(tài)。這時(shí)，稱壓桿的直線平衡形式 是穩(wěn)定的。以中點(diǎn)撓度f(wàn)為橫坐標(biāo)，載荷P為縱坐標(biāo)，如圖 12.1(b)所示，則OA上任一點(diǎn)表示一種直線平衡狀態(tài)。稱 O

7、A為原始平衡路徑(Primary equilibrium path)。當(dāng)P超 過(guò)Pcr時(shí)，壓桿可能處于直線平衡狀態(tài)，也可能處于彎曲平 衡狀態(tài)。但直線平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，稍有干擾，壓桿就失 去平衡而發(fā)生彎曲至B點(diǎn)。曲線AB稱為第二平衡路徑，A點(diǎn) 稱為分支點(diǎn)。這種具有分支點(diǎn)的平衡問題稱為第一類平衡問 題。分支點(diǎn)A處第二路徑的切線是水平的，因此在一階無(wú)窮 小鄰域內(nèi)，撓度為不定值。結(jié)構(gòu)分支點(diǎn)失穩(wěn)是理想力學(xué)模型 和小位移理論的產(chǎn)物。 圖 12.1 中心受壓的理想直桿 第二類穩(wěn)定：極值點(diǎn)失穩(wěn)問題 一般結(jié)構(gòu)體系并不存在分支點(diǎn)，這樣就不能以平衡形式 發(fā)生分支現(xiàn)象來(lái)定義失穩(wěn)特征。但是，在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)過(guò)程中， 其荷載

8、、變形曲線常具有極值點(diǎn)，如圖12.1(b)所示。在OA 段內(nèi)，結(jié)構(gòu)始終處在彎曲平衡狀態(tài)，更大可能是出現(xiàn)部分塑 性變形。當(dāng)荷載達(dá)到極大值Pcr時(shí)，即使外力不再增加，結(jié) 構(gòu)位移也可能急速增大，結(jié)構(gòu)呈不穩(wěn)定現(xiàn)象，這就是第二類 穩(wěn)定：極值點(diǎn)失穩(wěn)問題。 實(shí)際工程中的穩(wěn)定問題一般都表現(xiàn)為第二類失穩(wěn)。但是， 由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況 下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定問題 仍有著重要的工程意義。 12.1.3 12.1.3 穩(wěn)定問題求解方法的評(píng)述穩(wěn)定問題求解方法的評(píng)述 研究壓桿屈曲穩(wěn)定問題常用的方法有靜力平衡法(Eular 方法)、能量法(Timoshenko方法)

9、、缺陷法和振動(dòng)法 。 靜力平衡法是從平衡狀態(tài)來(lái)研究壓桿屈曲特征的，即研 究載荷達(dá)到多大時(shí)，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)，其 實(shí)質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的載 荷值(臨界載荷)。能量法則是求彈性系統(tǒng)的總勢(shì)能不再是正 定時(shí)的載荷值。缺陷法認(rèn)為：完善而無(wú)缺陷的理想中心受壓 直桿是不存在的。由于缺陷的影響，桿件開始受力時(shí)即產(chǎn)生 彎曲變形，其值要視缺陷程度而定。在一般條件下缺陷總是 很小的，彎曲變形并不顯著，只是當(dāng)荷載接近完善系統(tǒng)的臨 界值時(shí)，變形才迅速增至很大，由此確定其失穩(wěn)條件。振動(dòng) 法以動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)研究壓桿穩(wěn)定問題。當(dāng)壓桿在給定的壓 力下，受到一定的初始擾動(dòng)之后，必將產(chǎn)生

10、自由振動(dòng)，如果 振動(dòng)隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。 以上四種方法對(duì)于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載 值是相同的。如果仔細(xì)研究一下，可以發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論并 不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)靜力平衡法的結(jié)論只能指出，當(dāng)P=P1、P2.、 Pn時(shí)壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最可能，并無(wú)抉擇 的條件。同時(shí)在PP1、P2.、Pn時(shí)，屈曲的變形形式 根本不能平衡，因此無(wú)法回答直線形式的平衡是不穩(wěn)定的 問題。 (2)缺陷法的結(jié)論也只能指出當(dāng)P=P1、P2.、Pn， 桿件將發(fā)生無(wú)限變形，所以是不穩(wěn)定的。但對(duì)于P在P1、 P2.、Pn各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問題也不能解釋。 (3)能量法和振動(dòng)法

11、都指出，PP1之后不論P(yáng)值多大， 壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個(gè)結(jié)論和事實(shí)完全 一致。 由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來(lái)解決 其穩(wěn)定問題。大量使用的是穩(wěn)定問題的近似求解方法，歸 結(jié)起來(lái)主要有兩種類型：一類是從微分方程出發(fā)，通過(guò)數(shù) 學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸近法。另一類是基于 能量變分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成 是Ritz法的特殊形式。當(dāng)今非線性力學(xué)將有限元與計(jì)算機(jī) 結(jié)合，得以將穩(wěn)定問題當(dāng)作非線性力學(xué)的特殊問題，用計(jì) 算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了具大的成功。 12.2 12.2 第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析 12.2.1 12.2.1

12、 第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析 下面用有限元平衡方程來(lái)表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。T.L 列式下，結(jié)構(gòu)增量形式的平衡方程為： () 0 0 000 KKKuKuR L T (121) U.L列式下，結(jié)構(gòu)的平衡方程為： () ttt T KKuKuR 0 (122) 在發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)處于初始構(gòu)形線性平衡狀態(tài)，因 此，式(121)中大位移矩陣0KL應(yīng)該為零。在U.L列式中 不再考慮每個(gè)載荷增量步引起的構(gòu)形變化，所以，不論T.L 還是U.L列式，其表達(dá)形式是統(tǒng)一的。即： ()KKuR (123) 在結(jié)構(gòu)處在臨界狀態(tài)下，即使R0，u也有非零解， 按線性代數(shù)理論，

13、必有： KK 0(124) 在小變形情況下，K與應(yīng)力水平成正比。由于發(fā)生第一 類失穩(wěn)前滿足線性假設(shè)，多數(shù)情況下應(yīng)力與外荷載也為線 性關(guān)系，因此，若某種參考荷載 P對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度 陣為 K ，臨界荷載為 ，那么在臨界荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾 何剛度陣為： KK (125) 于是式(124)可寫成: KK 0 (126) 式(126)就是第一類線彈性穩(wěn)定問題的控制方程。穩(wěn) 定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題。 一般來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定是相對(duì)于某種特定荷載而言的， 在大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)內(nèi)力一般由施工過(guò)程確定的恒載 內(nèi)力(這部分必須按施工過(guò)程逐階段計(jì)算)和后期荷載(如二期 恒載、活載、風(fēng)載等)引起的內(nèi)力

14、兩部分組成。因此， 也 可以分成一期恒載的初內(nèi)力剛度陣 K 1 K 和后期荷載的初 內(nèi)力剛度陣 2 K兩部分，當(dāng)計(jì)算的是一期恒載穩(wěn)定問題， 則 K20 K ， 可直接用恒載來(lái)計(jì)算，這樣通過(guò)式(126) 算出的就是恒載的穩(wěn)定安全系數(shù)。若計(jì)算的是后期荷載的 穩(wěn)定問題，則恒載 K1 可近似為一常量，式(126)改寫成： KKK 12 0 (127) 形成和求解式(127)的步驟可簡(jiǎn)單歸結(jié)為： K1 K2 按施工過(guò)程，計(jì)算結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力和恒載幾何剛度陣 用后期荷載對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，求出結(jié)構(gòu)初應(yīng)力(內(nèi)力); 形成結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣 計(jì)算式(127)的最小特征值問題； 和式(127)； 這樣，求得的最小特征

15、值就是后期荷載的安全系數(shù)， 相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)。 12.2.2 12.2.2 第一類穩(wěn)定的非線性有限元分析第一類穩(wěn)定的非線性有限元分析 工程中經(jīng)常會(huì)遇到如下兩種情況： 1. 隨著荷載的增加，在結(jié)構(gòu)發(fā)生彈性失穩(wěn)之前，部分構(gòu)件 已經(jīng)進(jìn)入了塑性變形。 2. 結(jié)構(gòu)比較柔軟，當(dāng)荷載不斷增加時(shí)，參考荷載的 _ K 與臨界荷載的 K失去了線性關(guān)系。 在解決這類穩(wěn)定問題時(shí)，為了利用第一類穩(wěn)定求解的方 便性，同時(shí)又要考慮上述兩方面因素影響對(duì)線性穩(wěn)定求解的 失真度，可以將特征值問題與非線性分析結(jié)合起來(lái)求解。這 就是第一類穩(wěn)定的非線性有限元分析方法?；舅悸肥牵河?考慮幾何非線性和材料非線性的有限元方法，將

16、荷載逐級(jí)施 加到 0 P ，P為參考荷載， 0 為期望的最小穩(wěn)定安全系 數(shù)， 求出結(jié)構(gòu)的幾何剛度陣作為 K1 ，在變形后的構(gòu)形， 由參考 a a 荷載按線性化穩(wěn)定問題求出后期荷載的屈曲安全系數(shù) ，檢 驗(yàn)結(jié)構(gòu)在后期屈曲荷載作用下是否出現(xiàn)新的彈塑性單元，如果 ，最后較精確的臨界荷載為： a 出現(xiàn)則作迭代修正重新計(jì)算 a ()PPP cra 0 (128) 式中：為結(jié)構(gòu)在荷載P作用下較精確的穩(wěn)定安全系數(shù)。 對(duì)于結(jié)構(gòu)失穩(wěn) 前位移不大的剛性 結(jié)構(gòu)，往往忽略其 大位移影響，于是 問題就轉(zhuǎn)化為第一 類穩(wěn)定的彈塑性問 題，可以直接用圖 12.2所示的框圖 計(jì)算。 圖 12.2 第一類彈塑性穩(wěn)定計(jì)算流程圖 12

17、.3 12.3 拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng) 本節(jié)以解析法來(lái)闡述拱橋的第一類穩(wěn)定計(jì)算。與數(shù) 值法相比，雖然解析法引入了一些近似假定，應(yīng)用也受 到一定的限制，但通過(guò)解析法，可以直接將結(jié)構(gòu)的臨界 荷載用結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)來(lái)表達(dá)，這對(duì)于直觀研究設(shè)計(jì)參數(shù) 與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的關(guān)系，優(yōu)化結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，估算結(jié)構(gòu)穩(wěn)定 安全系數(shù)，驗(yàn)證數(shù)值分析結(jié)果的正確性等都具有十分重 要的意義。 研究拱橋屈曲問題可用靜力平衡法(Eular方法)、能 量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振動(dòng)法。為方便討 論，常將拱橋的穩(wěn)定問題分解成面內(nèi)穩(wěn)定和側(cè)向穩(wěn)定兩 類問題來(lái)分別研究。 12.3.112.3.1圓弧拱平面屈曲

18、微分方程圓弧拱平面屈曲微分方程 受徑向荷載的圓弧拱，在矢跨比不大的情況下，可以近 似地代表工程中受鉛垂荷載的非圓形拱。圓弧拱的屈曲易于 獲得解析解，我們可以利用它來(lái)分析端支承情況和矢跨比對(duì) 拱橋臨界荷載值的影響。 如圖12.3所示的圓弧拱， 在均布徑向荷載q作用下，開 始只有沿拱軸方向的彈性壓縮 變形。若忽略軸向變形的影響， 拱軸線與壓力線完全吻合，拱 處于無(wú)彎矩狀態(tài)。當(dāng)荷載達(dá)到 臨界值時(shí)，拱發(fā)生微小的彎曲 變形v，在這一變形狀態(tài)下來(lái)建 立它的屈曲微分方程。 12.3 均勻徑向荷載作用下的圓弧拱 1. 平衡方程 從圓弧拱中取出微元 ds mn，在拱彎曲前只承受軸力 NqR 0 ，彎曲后移至新的

19、位置 m n (圖 12.4)。 圖 12.4 圓弧拱彎曲前后的受力情況 RN 這時(shí)半徑和軸力的增量分別為 和： RR NNN 0 (129) 彎曲后的內(nèi)力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡 方程： dN ds Q dQ ds N q dM ds Q (1210) 將式(129)代入式(1210)，并注意到 dsR d R ,1，得： dN d R QQ dQ d R NqRNqR dM ds Q R () () (1211) 由式(1211)的第二式，可得 N dQ d qR . (1212) 將(1212)代入式(1211)的第一式，得 d Q d q dR d Q 2 2 . () (1213) 再利用式(

20、1211)的第三式，即得： 0 )( 3 3 d Rd Rq d dM d Md (1214) 2. 幾何方程 微元ds=mn在拱彎曲后的變形情況如圖12.5所示， m點(diǎn)發(fā)生了徑向位移v和切向位移w，n點(diǎn)發(fā)生了徑向位移 v+dv和切向位移w+dw。為了便于理解，將微元ds的變位 分解成徑向和切向二部分。 圖12.5 圓弧拱平面變形的幾何關(guān)系 由圖12.5可看出，m和n點(diǎn)的相對(duì)徑 向位移引起的轉(zhuǎn)角為： sin)(cos)( 1 vddwwddvv ds 由于 d很小， dddsin, 1cos。略去高階微小量 dwd并注意 dsR d, 則上 式簡(jiǎn)化為 R w ds dv m和n點(diǎn)的相對(duì)切向位移

21、將引起拱軸伸縮： (1215) R v ds dw wddvvddww ds sin)(cos)( 1 (1216) 由于彎曲時(shí)拱軸壓力只有高次微小量的變化，因而拱軸可視 為無(wú)伸縮（ ） 0，即： 0 R v ds dw (1217) 將式(1215)微分一次后代入式(1217)消去w，得圓弧拱 平面變形的幾何方程，即撓曲率： 22 2 R v ds vd ds d xx (1218) 3、物理方程 曲率半徑增量 R與彎矩M之間的關(guān)系為： 11 RRR M E I x (1219) 由此可得： 2 x MR R E I (1220) 式中， 為拱平面內(nèi)的抗彎剛度。 彎矩與曲率間的關(guān)系可寫為 x

22、 M E I x x (1221) x EI 4、屈曲微分方程 將式(1220)代入式(1214)，得到用彎矩M表示的屈 曲微方程 0 )1( 3 3 3 d M EI qR d d Md x 對(duì)于等截面圓弧拱，式(1222)簡(jiǎn)化為 (1222) d M d qR EI dM d x 3 3 3 10 ()(1223) 將式(1218)代入式(1221)，得： x EI M R v ds vd 22 2 x EI MR v d vd 2 2 2 (1224) (1225) 利用式(1224)消去式(1223)中的M，得到用位移表 示的等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲微分方程 0)(1 (

23、 3 33 3 3 5 5 d dv d vd EI qR d vd d vd x (1226) 由式(1222)，或者式(1224、25)，或者式(1226) 都可求得圓弧拱的屈曲臨界荷載，但通常用式(1224、25) 最方便。 12.3.212.3.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下 的屈曲臨界荷載的屈曲臨界荷載 下面就兩種不同邊界條件討論受均布徑向荷載的等截面 圓弧拱的屈曲臨界力的計(jì)算。 1) 雙鉸拱 雙鉸圓弧拱在徑向荷載q作用下(圖12.6)， 圖12.6 受均布徑向荷載的等截面雙鉸圓弧拱 其拱截面彎矩 MN vqRv (1227) 代入式(1224)，

24、即得 d v d k v 2 2 2 0 (1228) 其中: k qR EI x 2 3 1 (1229) 這個(gè)常系數(shù)齊次方程的解為 vckck 12 sincos(1230) 邊界條件: 00,v得 c2 0 20,v得 c k 1 20sin c1不能為零，則必須有 sin20k (1231) 由此得到 21 2 3knn,(, , ,.) 由于拱的兩端不能移動(dòng)，圓弧拱軸也假定不發(fā)生伸縮。 因此n=1相應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)是沒有意義的。要求最小特征值 時(shí)n=2，拱的屈曲模態(tài)為: sin)( 1 cv (1232) 臨界荷載值為： q EI R K EI R cr Xx 3 2 2 1 3 1()

25、 (1233) 式中 K1 2 2 1 (1234) 稱為拱的臨界荷載系數(shù)(或穩(wěn)定系數(shù))，與夾角有關(guān)。 1 K 式(1233)也可寫成中心受壓直桿的歐拉公式的標(biāo)準(zhǔn)形式 Nq R EI R EI s crcr Xx 2 22 2 2 2 0 2 1() (1235) 式中，拱的屈曲長(zhǎng)度 S RS S R S 0 22 1 2 1 2 2 () / () (1236) 其中： 1 1 2 2 () S R 為拱度影響系數(shù) 上式表示，我們可以把拱看成當(dāng)量的直桿來(lái)驗(yàn)算穩(wěn)定，其 自由長(zhǎng)度等于半個(gè)拱弧長(zhǎng)乘以拱度影響系數(shù)。 2) 無(wú)鉸拱 如圖12.7所示為一兩端固定的圓弧拱。對(duì)應(yīng)于最小臨 界荷載的面內(nèi)屈曲模

26、態(tài)也是反對(duì)稱形式。與雙鉸拱受力狀態(tài) 不同之處在于當(dāng)拱發(fā)生面內(nèi)屈曲時(shí)，在兩個(gè)固端支座上作用 了力矩M。從而，在任一截面上較前增添了一個(gè)彎矩： 圖 12.7 兩端固定的圓弧拱 sin sin2 00 M l x MM (1237) 這樣，任一截面由于屈曲變形 所產(chǎn)生的總彎矩為 MqRvM 0 sin sin (1238) 將上式代入式(1224)，得 d v d k vc 2 2 2 sin(1239) 式中： k qR EI c M R EI xX 2 3 0 3 1, sin (1240) 方程式(1239)的一般解為 vAkBk c k sincossin 2 1 (1241) 上式中包含三

27、個(gè)常數(shù)，利用如下三個(gè)已知邊界條件： 當(dāng) 0時(shí)，v=0,當(dāng) 時(shí)， v dv d 00, 由第一個(gè)條件得B0，由另兩個(gè)條件得： Ak c k Akk c k sinsin coscos 2 2 1 0 1 0 (1242) 將式(1240)代入(1242)式，則有 sin () cos () k R EIk kk R EIktg A M x x 2 2 2 2 0 1 1 1 0 (1243) 要使以上齊次方程有非零解，必須使其分母行列式為零， 由此可得下列穩(wěn)定方程式 ktgtgk (1244) 由此可求出無(wú)鉸拱的臨界荷載: qn EI R K EI R cr xx () 2 3 2 3 1(12

28、45) 上式中的穩(wěn)定系數(shù) Kn 2 2 1()與拱的開角 2 有關(guān)， 并可通過(guò)系數(shù)n算出。n 與 2 之間的關(guān)系見表121。 2 n 8.6214.375312.304 12.066 2 30o60o90o120o150o180o 用相似的方法還可討論三鉸拱的屈曲面內(nèi)穩(wěn)定性，其臨界 荷載可寫成： qK EI R cr x 3 3 (1246) 式中，穩(wěn)定系數(shù) 隨的變化列于表122 3 K 2 K108.00 27.00 112.006.754.32 3.00 30o60o90o120o150o180o 12.3.3 12.3.3 圓拱的面外穩(wěn)定圓拱的面外穩(wěn)定 平面拱軸側(cè)傾后是一條空間曲線，其位

29、移與幾何關(guān)系用 曲線坐標(biāo)來(lái)描述。 圖 12.8 側(cè)傾變形后的拱 拱側(cè)傾變形后(圖 12.8)，任意截面s在垂直于 拱平面x軸，指向拱軸法向 的y軸和同拱軸切線重合的z 軸三個(gè)方向分別發(fā)生了線位 移u、v、w,并繞這三個(gè)軸 發(fā)生了轉(zhuǎn)角位移、。 截面主軸x、y、z 也隨著拱 的側(cè)傾產(chǎn)生了變位。研究相 距ds截面的變形，可得拱繞 y、z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的曲率關(guān)系： y z R d u dS d dSR du dS 2 2 1 (1247) 下面用能量法研究?jī)啥斯探Y(jié)拱軸線長(zhǎng)度為L(zhǎng)的園拱的側(cè)向 穩(wěn)定問題。 圓拱側(cè)傾時(shí)，拱肋側(cè)向彎曲變形能為： V EI ds B y y L L 2 2 2 2 / / 拱肋扭轉(zhuǎn)變形

30、能為： (1248) V GJ ds TZ L L 2 2 2 2 / / (1249) 拱肋軸力在側(cè)傾時(shí)所作外力功為： 2/ 2/ 2 )( L L D ds ds du qRV (1250) 結(jié)構(gòu)勢(shì)能為： VVV BTD (1251) 設(shè)失穩(wěn)模態(tài)為： uA S L B S L a a (cos) (cos) 1 2 1 2 (1252) 將式(1247)(1250)、(1252)代入式(1251)，由 AB 00 (1253) 易得： q EI R cr y 3 22 2 222 4 4 () (1254) 其中： EI GJ y 為彎、扭剛度比例系數(shù)。 當(dāng)式(1254)確定的qcr比相應(yīng)

31、面內(nèi)失穩(wěn)臨界荷載 為小時(shí)，圓拱先出現(xiàn)側(cè)傾失穩(wěn)。 對(duì)于寬跨比較小的拱橋，側(cè)向剛度相對(duì)較小和單承 重面拱橋，都有可能發(fā)生側(cè)傾彎扭失穩(wěn)，在設(shè)計(jì)時(shí)必 須對(duì)這類結(jié)構(gòu)進(jìn)行側(cè)穩(wěn)驗(yàn)算。 12.3.4 12.3.4 拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng) 1)1)拱橋的穩(wěn)定問題 前面討論的是拱圈的穩(wěn)定問題，實(shí)際拱橋都帶有拱上 建筑，拱圈軸線形狀各異，都受有豎向荷載，研究拱橋的 穩(wěn)定問題可以抓住以下三點(diǎn)： a) 確定拱軸線時(shí)，都力求拱肋受力以軸向受壓為主， 因此，可以將各類拱肋的穩(wěn)定問題通過(guò)一定的等代關(guān)系轉(zhuǎn) 換成圓拱的穩(wěn)定問題來(lái)研究。 b) 拱上建筑多以連續(xù)梁為主，梁的剛度增加了拱的穩(wěn) 定性，用能量法計(jì)算這

32、類結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性比較方便。 c) 用解析法計(jì)算拱橋穩(wěn)定問題比較復(fù)雜，一般都采用 數(shù)值計(jì)算，可以從大量數(shù)值計(jì)算結(jié)果的規(guī)律中總結(jié)出常用 拱橋的穩(wěn)定計(jì)算近似公式。 比如拱橋的立柱剛度遠(yuǎn)比拱圈和梁的剛度小，為簡(jiǎn)化計(jì) 算，可以假定各立柱上下端均系鉸結(jié)。通過(guò)數(shù)值計(jì)算，可把 這種簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)的臨界荷載近似地寫成： a b a cr I I l f l f KK l EI Kq 2 3 7 . 095. 01 (1255) 式中： K為只有拱肋時(shí)的臨界荷載系數(shù)； 加勁梁的抗彎剛度； 拱平面抗彎剛度。 b I a I 對(duì)于上承式柔拱剛梁組合體系，臨界荷載可仿上式寫成： 3 2 7 . 095. 0 l EI l f

33、l f q b cr (1256) 2)2)非保向力效應(yīng) 研究拱橋的穩(wěn)定問題，立柱、吊桿等傳力構(gòu)件的工作 狀態(tài)對(duì)穩(wěn)定的影響不容忽略?？疾靾D12.9情況，圖12.9a) 是上承式拱橋的面內(nèi)失穩(wěn)，由于橋面抗彎剛度較小，當(dāng)拱 發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，立柱受到梁施加的水平約束而變成傾斜，有 加速拱肋失穩(wěn)的趨勢(shì)。上承式拱橋側(cè)傾失穩(wěn)時(shí)，立柱受到 梁施加的側(cè)向約束而變成傾斜，產(chǎn)生的水平分力有加速其 側(cè)傾的趨勢(shì)。圖12.9b)是系桿拱側(cè)傾失穩(wěn)時(shí)，吊桿受到梁 施加的水平約束而變成傾斜，產(chǎn)生的水平分力有減緩其發(fā) 生失穩(wěn)的趨勢(shì)。 圖12.9 非保向力系對(duì)拱穩(wěn)定的影響 以上情況，有一個(gè)共同點(diǎn)，那就是傳力構(gòu)件隨著結(jié)構(gòu)的 失穩(wěn)而改變

34、其傳力方向，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，若 將拱肋作為研究對(duì)象，傳力構(gòu)件的作用就成了外力系，它們 跟隨結(jié)構(gòu)變形而改變其方向，這種力系稱為非保向力系。非 保向力系對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有正面效應(yīng)，也有負(fù)面效應(yīng)。 下面以單承重面系桿拱為例來(lái)討論非保向力系對(duì)其側(cè)向 穩(wěn)定的影響。 圖12.10所示單承重面系桿拱，作用了均布荷載q，設(shè) 吊桿的布置滿足膜張力假定，則吊桿拉力為： 圖12.10 單承重面系桿拱 Tqa (1257) 式中： a 吊桿間距。 拱肋側(cè)傾后，吊桿發(fā)生傾斜，其 拉力T對(duì)橋面產(chǎn)生了一個(gè)向外的 水平分力，使之發(fā)生側(cè)向彎曲變 形 ，而對(duì)拱肋產(chǎn)生了一個(gè) 向內(nèi)的水平分力 ，這個(gè)恢 復(fù)力就是非保向力效應(yīng)，

35、相當(dāng)于 一個(gè)側(cè)向水平彈簧支承效應(yīng)。由 圖12.10易得： ( ) b ux ( )H x H xT uu y x k x u ab a ( ) ( ) ( ) (1258) 式中： 考慮到橋面?zhèn)认騽偠认鄬?duì)于拱肋要大得多，近似地取 a ba u uu xy qa xk )( )( (1259) by EI 則式(1259)簡(jiǎn)化成 )( )( xy qa xk(1260) 當(dāng)系桿拱發(fā)生側(cè)傾時(shí)，其總勢(shì)能除了前面式(12 48)(1250)列出的三項(xiàng)外，還增加了考慮非保向力效應(yīng)的 虛擬彈簧支承變形能 ： k V 2 2 2 )( 2 1 L Lak dsu a xk V (1261) 將式(1261)

36、增添到式(1251)中，由能量駐值原理可 得系桿拱側(cè)傾臨界荷載： crcrcra q C qq 1 1 (1262) cr q 式中： 非保向力效應(yīng)系數(shù),由式(12-57)給出。 C V V k D (1263) 對(duì)圓弧拱，偏安全地取y(x)=f，則C的下限為： C R f 3 4 2 () (1264) 根據(jù)不同的矢跨比f(wàn)/l，可算得c和值，列于表123。表 123表明說(shuō)明非保向力效應(yīng)系數(shù)一般在2.53.5之間。 不同矢跨比f(wàn)/l時(shí)的c和值 表123 f/l 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 C 0.684 0.653 0.638 0.630 0.623 0.621 近似值 3

37、.16 2.88 2.76 2.70 2.65 2.64 精確值 3.50 3.31 3.22 3.17 3.14 3.12 427 427 0111. 1/104 . 1 4798. 0/102 . 3765.51 522. 11035. 179.78 5 1 28.144 .71 mJmkNG mImkNER l L L l f mfml y 例121 某下承式無(wú)風(fēng)架鋼筋砼雙肋拱橋，基本參數(shù)如下： 由式(1254)易得： )4( 4 222 2 22 3 R EI q y cro =1571.2 kN/m =0.638 C R f 3 4 2 () qq c q crcrocro 1 1

38、=2.761571.2=4336.5KN/m 與有限元數(shù)值解 =4276.0KN/m十分接近。 cx q 12.4 12.4 材料非線性問題材料非線性問題 12.4.1 12.4.1 概述概述 橋梁結(jié)構(gòu)在經(jīng)受超載作用時(shí)，會(huì)出現(xiàn)部分構(gòu)件應(yīng)力超 過(guò)材料彈性極限的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象雖然往往是局域性的， 但破壞與損傷卻由這些區(qū)域開始，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。應(yīng)力超 過(guò)彈性極限后，材料彈性模量E成為應(yīng)力的函數(shù)，導(dǎo)致基 本控制方程的非線性，即材料非線性問題。研究材料非線 性問題，對(duì)于分析結(jié)構(gòu)極限承載能力，解決橋梁非線性穩(wěn) 定問題有著十分重要的意義 。 凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線性關(guān)系假定的理論，均 屬材料非線性范疇。根

39、據(jù)不同的材料性態(tài)，又可以分成表 12.4給出的幾種不同的材料非線性問題。 幾種材料非線性問題 表12.4 材料非線性問題 特 征 非線性彈性 1.本構(gòu)方程僅有應(yīng)力、應(yīng)變兩參數(shù) 2.卸載后無(wú)殘余應(yīng)變存在 非線性塑性 1.本構(gòu)方程僅有應(yīng)力、應(yīng)變兩參數(shù) 2.卸載后有殘余應(yīng)變存在 金屬蠕變與砼徐變 即使荷載不變，隨著時(shí)間的變化， 結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生明顯的變形 粘彈性 1.應(yīng)力.應(yīng)變關(guān)系為彈性性質(zhì) 2.應(yīng)力.應(yīng)變關(guān)系與加載速率有關(guān) 粘塑性 1.超過(guò)屈服應(yīng)力時(shí)，材料呈彈塑性性質(zhì)； 2.應(yīng)力.應(yīng)變與應(yīng)變率有關(guān) 橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和砼作為主要建材，因此，涉及的材料 非線性主要是非線性彈塑性問題和砼徐變問題。 12.4.2

40、 12.4.2 彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與曲服準(zhǔn)則彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與曲服準(zhǔn)則 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系如圖 12.11所示，可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)： 圖12.11 單軸應(yīng)力下材料的 應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系 1)應(yīng)力在達(dá)到比例極限前， 材料為線彈性；應(yīng)力在比例 極限和彈性極限之間，材料 為非線性彈性。 2)應(yīng)力超過(guò)屈服點(diǎn)，材料應(yīng) 變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變: 應(yīng)力和應(yīng)變間為非線性關(guān)系： pe (1265) ( ) (1266) 3)應(yīng)力在某一應(yīng)力 ),( 00 為材料的屈服點(diǎn)。 ss 則應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽恐g存在線性關(guān)系，即： 下卸載， dEd (1267) 為了判斷是加載還是卸載，用如下

41、加載準(zhǔn)則： 當(dāng) 當(dāng) d 0 時(shí)為加載，滿足 (12-66) d 0 時(shí)為卸載，滿足 (12-67) 4)在卸載后某應(yīng)力下重新加載，則： 0 時(shí)， dEd(1268) 為卸載前材料曾經(jīng)受到過(guò)的最大應(yīng)力值，稱后屈服應(yīng) 力，若： 0 材料稱為理想塑性的； 稱材料為硬化的。 0s 0s 5)從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)依式(12- 67)或(12-68)，一直到反向屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判 斷材料是否屈服，可以用應(yīng)力的某種函數(shù)表示： F ij () 0 (1269) 若以 為坐標(biāo)軸建立一坐標(biāo)空間，則式(12-69)的幾何 意義為空間超曲面。任一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一個(gè) 點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈

42、服面之內(nèi)時(shí)： ij F ij () 0，材料呈彈性 狀態(tài)； F ij () 0時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性。 各向同性材料的屈服條件與坐標(biāo)軸選取無(wú)關(guān)，屈服函 數(shù)常以主應(yīng)力函數(shù)形式表示： F (,) 123 0 (1270) 常用的屈服條件有： (1) 屈雷斯卡(Tresca)屈服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)到某 一極限值時(shí)，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng) 度理論。 (2) 密賽斯(Von Mises)屈服條件：假定偏應(yīng)力張量的第 二不變量達(dá)到某一極限時(shí)，材料開始屈服, 相當(dāng)于材料力學(xué) 中的第四強(qiáng)度理論。 此外還有Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則，Zienkiewicz- Pande屈服準(zhǔn)則等。

43、12.4.3 12.4.3 彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式 由于彈塑性理論中增量理論能反映結(jié)構(gòu)加載歷程，也 可考慮卸載情況，因此，在當(dāng)前有限元分析彈塑性問題時(shí) 廣為采用。研究彈塑性增量理論必須從本構(gòu)矩陣開始。設(shè) 屈服函數(shù)用下式表示： FK ij (,) 0 (1271) 式中： ij 應(yīng)力狀態(tài)； K硬化函數(shù)。 在增量理論中，把材料達(dá)到屈服以后的應(yīng)變?cè)隽糠譃閺?性增量和塑性增量?jī)刹糠?，即?ddd ep (1272) 其中彈性應(yīng)變?cè)隽坎糠峙c應(yīng)力增量之間仍服從虎克定律，即 dDd e e (1273) 其中： 為彈性矩陣。 e D 塑性變形不是唯一確定的，對(duì)應(yīng)于同一應(yīng)力增量，

44、可 以有不同的塑性變形增量。若采用相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，塑 性變形大小雖然不能斷定，但其流動(dòng)方向與屈服面正交。 用數(shù)學(xué)公式表示這一假定，即可得 d F p (1274) 將(12-73)、(12-74 )式代入(12-72 )式，則可得 dDd F e 1 (1275) 對(duì)式(12-71)全微分得： 0 2 2 1 1 dK K F d F d F dF (1276) 或 0 Ad F T (1277) 其中： 1 dK K F A 將 (1278) e T D F 前乘(12-75)式，并利用(12-77)式消去 d 可得： F D F AdD F e T e T (1279) 由此可得 d F

45、 D F A D F e T e T 用De前乘(12-75)式，移項(xiàng)后得 (1280) F DdDd ee (1281) 將(12-80)式代入(12-81)式，即可得 )( dDdDDd F D F A D FF D Dd epPe e T e T e e (1282) 其中: F D F A D FF D DD e T e T e eep (1283) 此即為增量理論的彈塑性矩陣通式。其具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式 將由曲服函數(shù)確定。 例12.2 導(dǎo)出等向強(qiáng)化米賽斯材料增量理論的彈塑性矩陣表達(dá) 式。 解：對(duì)Mises屈服準(zhǔn)則、等向硬化材料，其屈服函數(shù)可寫成： 0 K 式中： 2 13 2 32 2

46、212 )()()( 2 1 3J 設(shè)硬化法則與塑性功有關(guān)，即作功硬化，則： Kdwd p ijij p ()() 由 F SSSSSS xyzxyyzzx T xyzxyyzzx T 3 2 222 得 D FE vv vvv vv v v v v S S S S S S G S x y z xy yz zx 3 2 112 1000 1000 1000 12 2 00 12 2 0 12 2 2 2 2 3 ()() 式中： G E v 2 1() 剪切彈性模量； SSSSSSS xyzxyyzzx T 應(yīng)力偏量向量。 再由 D FF D G S G S G SS T TT 333 2 (

47、) 而 以上結(jié)果代入(12-83)，可得等向強(qiáng)化的米賽斯材料的彈 塑性矩陣表達(dá)式為： F D FG S F G T T 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 21 1 21 21 1 21 21 1 1 zxzxyzzxxyzxzzxyzxx yzyzxyyzzyzyyzx xyxyzxyyxyx zzyyx yyx x ep SSSSSSSSSSS SSSSSSSSS SSSSSSS S v v SS v v SS v v S v v SS v v S v v v E D 式中： 9 23 2 G AG() 12.4.412.4.4彈塑性問題的有限元法彈塑性問題的

48、有限元法 在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。于 是，其應(yīng)變位移幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程相同于線性 問題，不需要作任何變動(dòng)。需要改變的只是在塑性區(qū)范 圍內(nèi)用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣 代替原來(lái)的彈性系 數(shù)矩陣 。因此，可直接得到彈塑性分析有限元平衡 方程： e D e p D t T tt KuR (1284) 式中： v ep T T t dvBDBK(1285) I t c tttt FFTFR(1286) 其中, tF和 tT 分別表示與結(jié)構(gòu)面荷載t及體荷載f 對(duì)應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力增量； t c F 為節(jié)點(diǎn)集中外荷載增量； t I F 為初應(yīng)力或初應(yīng)變?cè)隽恳鸬耐夂奢d增量，它們 在t-t至t

49、時(shí)間的增量為： tTt v FNfdv (1287) tTt v TNt ds (1288) 對(duì)于初應(yīng)力問題： t I T I v FBdv (1289) 對(duì)于初應(yīng)變問題： t I T eI v FBDdv (1290) 公式(12-84)-(12-90)給出了小變形彈塑性分析的有 限元方程，式中 代表了荷載與位移增量的切線剛 度，隨不同加載歷程而變化。求解這一問題的關(guān)鍵是 計(jì)算單元的切線剛度陣和應(yīng)力，由于本構(gòu)關(guān)系 Dep 是當(dāng)前應(yīng)力的函數(shù)，即當(dāng)前位移的隱函數(shù)，所以計(jì)算 時(shí)要引入一個(gè)材料模型的子程序來(lái)處理塑性問題。這 個(gè)子程序的主要計(jì)算內(nèi)容與步驟如下： t K (1) 由前邊迭代結(jié)果的位移計(jì)算

50、應(yīng)變?cè)隽浚?ttttt uu (,) (1291) (2) 暫假定是彈性的，計(jì)算 t ee t D(1292) (3) 由此推出新的應(yīng)力狀態(tài)為 tttt e tt e t D (1293) (4) 核對(duì)在第二步中的假設(shè)是否符合事實(shí)。將(12-93)代 入加載函數(shù)中，計(jì)算當(dāng)前的加載函數(shù)值： tt FFK(,) (1294) (5) 若 t F 0 說(shuō)明 確定是彈性的，第二、三步中的 計(jì)算正確，此子程序的執(zhí)行可以結(jié)束。 t (6) 若 tF 0說(shuō)明t 中包括了(或甚至全部是)塑性變形， 則改變執(zhí)行以下計(jì)算： (7) 若本次迭代開始時(shí)的應(yīng)力是彈性的，則本次迭代的應(yīng)力 增量中有一部分是彈性的而另一部分

51、是彈塑性的。將彈性 部分記為： mmD t ee t (1295) 顯然，m1，將(12-95)式代入到加載函數(shù)中可解出m。 FmK ttt e (,) 0 (1296) (8) 計(jì)算塑性部分應(yīng)變?cè)隽考爱?dāng)前應(yīng)力 tpt m()1 (1297) tttt m (1298) (9) 計(jì)算應(yīng)變?cè)隽恐苄圆糠?t p 所引起的應(yīng)力。由于材料 剛度矩陣是非線性的，這一計(jì)算應(yīng)是積分過(guò)程，作為數(shù)值計(jì) 算，可改為逐段線性化求和。為此，將 tp 再細(xì)分為M個(gè)小 的增量： ()/ tptp M (1299) (10) 在每一個(gè)小的子增量 () ( )tpi 中，先根據(jù)子增量 起始時(shí)的應(yīng)力計(jì)算 ( )Dep i ，

52、而 )()( )()( ipti ep t D (12100) 于是新的應(yīng)力狀態(tài)為: )() 1()( )( ititit 由 (12101) ti ( ) 可計(jì)算下一個(gè)子增量時(shí)的 ( ) Dep i1 ，并重復(fù)以上 步驟，結(jié)果 M i ipti ep tt D 1 )()( )( (12102) 由此可形成最終狀態(tài)的 Dep。 以上方法將平衡迭代與本構(gòu)迭代分開，主步進(jìn)行平衡迭 代，子步進(jìn)行本構(gòu)迭代，故稱之為子增量法。 12.4.512.4.5梁?jiǎn)卧膹椝苄杂邢拊治隽簡(jiǎn)卧膹椝苄杂邢拊治?由前面討論可知，結(jié)構(gòu)的彈塑性有限元分析與彈性有 限元分析基本相同，只要在塑性區(qū)范圍內(nèi)用 代替 即可。但

53、具體到梁?jiǎn)卧獣r(shí)，有其自身的特殊性。下面介紹 兩種常用的梁?jiǎn)卧獜椝苄杂邢拊治龇椒ā?e p D e D 1)折減剛度法 折減剛度法的實(shí)質(zhì)就是由單元兩端力的平均條件來(lái)確 定單元的非彈性剛度。當(dāng)桿件材料進(jìn)入彈塑性階段后，盡 管截面的拉壓剛度EA及抗彎剛度EI都是隨著荷載而變化 的，但當(dāng)荷載增量不大，單元長(zhǎng)度劃分得足夠小時(shí)，可認(rèn) 為下列的物理關(guān)系式依然成立： MEIxB x NEAA iiiii iiiii (12103) 式中， ii , AiBi 為截面抗彎、抗拉壓剛度折減系數(shù)； 和 為折減抗彎及抗拉壓剛度，是位移的函數(shù)； xi i , 為截面 曲率和截面幾何中心的應(yīng)變； 象彈性分析一樣進(jìn)行彈塑

54、性分析了。 MN ii ,為截面彎矩和軸力。 結(jié)構(gòu)在特定荷載下，如果能求出相應(yīng)的 Ai Bi 和，就可以 這樣，問題歸結(jié)為 如何 AiBi求出和 。 下面以鋼筋混凝土矩形對(duì)稱配筋截面 為例，介紹折減剛度計(jì)算方法?；炯俣ㄈ缦拢?平面假定成立； 忽略剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的影響； 鋼筋和混凝土之間無(wú)滑移現(xiàn)象； 單元兩端之間的截面內(nèi)力近似地按線性變化，取單元 的平均剛度作為單元?jiǎng)偠龋?假設(shè)鋼筋為理想彈塑性材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫 成： E y yyu () () (12104) 式中， y 為屈服應(yīng)力， yu ,分別為屈服應(yīng)變、極限應(yīng)變。 折減剛度計(jì)算步驟如下： 將截面分成m等分，設(shè)第j個(gè)分塊上的面積為

55、(圖12.12) j f 設(shè)截面幾何中心的應(yīng)變和曲率為： ii ii BMx AN / / )0( )0( (12105) 式中i表示荷載分級(jí)號(hào)。 則第j分塊形心的應(yīng)變?yōu)椋?iiij xv(12106) 式中，vj為第j分塊形心至截面幾何中心的距離。 由混凝土的應(yīng)力應(yīng)變曲線可求得各分塊的應(yīng)力 j ，并 得到該分塊所承擔(dān)的軸力為：Pf jjj , 當(dāng) j 0時(shí)， 可認(rèn)為 j 0 計(jì)算截面上、下部鋼筋形心的應(yīng)力 ss12 , 由內(nèi)外力平衡條件，得： NfF cjjsss j m ()/ 12 1 2(12107) 式中， 為全部鋼筋的面積。 s F Mf v h a F cjjjss s j m

56、12 1 22 ()(12108) 令 NNNMMM cc ,，若 NM, 指定的允許誤差，那么上述的 均小于或等于 i ()0 xi ( )0 和 即已求得真解。反之，需要對(duì) 假定正確， i ( )0 xi ( )0 和 進(jìn)行調(diào)整，調(diào) 整的原則是使得： liilii xxx )0()1 ()0()1 ( , (12109) 在下一次的迭代計(jì)算中要求 NM,為零。 ll x,為截面幾何 NM, ll x, 中心應(yīng)變和曲率的修正量，要使 同時(shí)為零， 應(yīng)滿足如下方程： 0 )()( 0 )()( Mx x MM Nx x NN ll ll (12110) 式中： m j jjjt c m j jj

57、jt c m j jjjt c m j jjt c vfE x M x M vfE MM vfE x N x N fE NN 1 2 1 1 1 )( )( )( )( )( )( )( )( (12111) t E為混凝土的切線模量。 解式(110)可求得 ll x, 。 下次迭代的值為： l k i k i l k i k i xxx )()1( )()1( (, , ,. )kl 012 (12112) 直到滿足精度要求為止。 由 ii x, 求得截面的折減剛度： ANBMx iiii /,/ (12113) 2)塑性鉸法 塑性鉸法是用塑性鉸來(lái)修正桿件進(jìn)入塑性區(qū)后的結(jié) 構(gòu)剛度的近似方法。

58、塑性鉸法同樣可以考慮截面分層剛 度的折減，但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，常將單元作為線彈性，把 塑性變形集中在單元兩端塑性鉸處。 塑性鉸法的基本思路是：在 t步長(zhǎng)內(nèi)，計(jì)算結(jié)構(gòu) 每一構(gòu)件兩端的彎矩增量 MiM j 和， 判別每一構(gòu)件兩端彎矩與極限彎矩的關(guān)系，從而去 調(diào)整每一構(gòu)件單元?jiǎng)偠染仃?，形成新的總剛矩陣：?dāng)桿 兩端均未形成塑性鉸時(shí)，仍用彈性單元?jiǎng)傟?；?dāng)單元的i 端彎矩超過(guò)極限彎矩而出現(xiàn)塑性鉸時(shí)，對(duì)后期荷載，用i 端為鉸，j端為固的單元?jiǎng)偠染仃?，反之亦然；?dāng)單元的i 和j端彎矩都超過(guò)極限彎矩而出現(xiàn)塑性鉸時(shí)，對(duì)后期荷載 用i和j都為鉸的單元?jiǎng)偠染仃嚒?如果在加載過(guò)程中塑性鉸中的彎矩發(fā)生卸載，則塑性 鉸消失，這

59、一點(diǎn)在計(jì)算中必須注意。 塑性鉸法可方便地模擬結(jié)構(gòu)在不斷增加的荷載作用下 相繼出現(xiàn)塑性鉸，以至成為機(jī)構(gòu)而破壞的過(guò)程，適用于極 限荷載計(jì)算，其具體計(jì)算過(guò)程在12.5中再作介紹。 12.5 12.5 橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力及其全過(guò)程分析橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力及其全過(guò)程分析 極限承載力是從“極限設(shè)計(jì)”的思想中引出的概念。 傳統(tǒng)的“強(qiáng)度設(shè)計(jì)”以構(gòu)件最大工作應(yīng)力乘以安全系數(shù)等 于材料的屈服應(yīng)力為依據(jù)。但是，一般情況下，構(gòu)件某截 面開始屈服并不能代表結(jié)構(gòu)完全破壞，結(jié)構(gòu)所能承受的荷 載通常較構(gòu)件開始屈服時(shí)的荷載為大，為了利用這一強(qiáng)度 富裕度，“極限設(shè)計(jì)”提出極限荷載的概念，即引起結(jié)構(gòu) 完全崩潰的荷載，并將結(jié)構(gòu)的工

60、作荷載取為極限荷載的一 個(gè)固定部分。顯然“極限設(shè)計(jì)”更具科學(xué)性。 橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大能 力。分析橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力，不僅可以用于其極限設(shè) 計(jì)，而且可以了解其結(jié)構(gòu)破壞形式，準(zhǔn)確地知道它在給定 荷載下的安全貯備或超載能力，為其安全施工和營(yíng)運(yùn)管理 提供依據(jù)和保障。 全過(guò)程分析是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計(jì) 算方法，它通過(guò)逐級(jí)增加工作荷載集度來(lái)考察結(jié)構(gòu)的變形 和受力特征，一直計(jì)算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。 從力學(xué)分析角度看，分析橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力的實(shí)質(zhì) 就是通過(guò)不斷求解計(jì)入幾何非線性和材料非線性的剛度方 程，尋找其極限荷載的過(guò)程。橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載 作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不