傳熱與流體流動的數(shù)值計算

1、傳熱與流體流動的數(shù)值計算傳熱與流體流動的數(shù)值計算 美 S.V. 帕坦卡 著 同濟大學機械工程學院 朱 彤 本課程學習內(nèi)容本課程學習內(nèi)容 物理現(xiàn)象的數(shù)學描述 離散化方法 擴散項處理 對流與擴散 流場的計算 湍流數(shù)學模型 Fluent基礎(chǔ)知識介紹 參參 考考 書書 目目 傳熱與流體流動的數(shù)值計算美 S.V. 帕坦卡 湍流是勛剛 湍流計算模型陳義良 數(shù)值傳熱學陶文銓 第一章第一章 引引 論論 1-1 研究的范疇 傳熱與流體流動的重要性：遍及我們生活中的各個 方面 認識和估計這些過程的必要：預報、控制 預測的本質(zhì)：說明其中每一個物理量如何隨著幾何條件、 流量以及流體物性等的變化而改變的 目的：盡可能設(shè)

2、計一種具有完全的通用性能的數(shù)值方法 實驗研究 全比例實驗 模型實驗 結(jié)果外推 測量儀表精度 理論計算 理論預測出自于數(shù)學模型的結(jié)果 數(shù)學模型主要由一組微分方程組成 解析解和數(shù)值解 1-2 1-2 預測的方法預測的方法 1-2 1-2 預測的方法預測的方法 理論計算的優(yōu)點 成本低、速度快、資料完備、具有模擬真實條件的 能力、具有模擬理想條件的能力 理論計算的缺點 實際問題分為 A類：能夠用合適的數(shù)學模型描述 B類：與A類相反的問題湍流、多相流、NOX生成、 非牛頓流體流動 預測方法的選擇 2-1 控制微分方程 微分方程的意義 各個微分方程都代表著一定的守恒原理。 每一個方程以一定的物理量做為它的

3、因變量， 方程本身則代表著那些影響該因變量的各個因 素之間必定存在著的某種平衡。 通常以單位質(zhì)量為基礎(chǔ)來表示各因變量。 例如：質(zhì)量分量、速度（單位質(zhì)量的動量）、 比焓等。 第二章第二章 物理現(xiàn)象的數(shù)學描述物理現(xiàn)象的數(shù)學描述 div y xz J JJ J xyz 單位容積流出的凈流量 假設(shè)J代表一個典型因變量的流量密度 d d d x x J Jx x x J 以單位容積為基礎(chǔ)來表達一項變化速 率 代表在單位容積內(nèi)所包含的相應(yīng)廣延性 質(zhì)的大小 表示單位容積內(nèi)有關(guān)性質(zhì)的變化率 () t () t 化學組分的守恒化學組分的守恒 令ml代表一種化學組分l的質(zhì)量分量。當存在速度場u是， 守恒表示為：

4、()div() llll mumJR t 單位容積內(nèi)化學組 分l的質(zhì)量變化率 組分l的對流 流量密度 擴散流 量密度 單位容積化學 組分l的生成率 如果用菲克擴散定律表示Jl， 擴散系數(shù) 得到： lgradll Jm l ()div()div(grad) llll mummR t 能量方程能量方程 對于可以忽略粘性耗散作用的穩(wěn)態(tài)的低速流： 其中h是比焓，k是導熱系數(shù)，T是溫度，Sh是容積發(fā)熱率 對理想氣體以及固體和液體，將 c gradT=gradh 代入，得 到 其中c是定壓比熱。假設(shè)c為常數(shù)，即h=cT。 若u=0，則得到穩(wěn)態(tài)熱傳導方程： div()div(grad ) h k uhhS

5、c div()div( grad ) h uhkTS div()div(grad ) h kS uTT cc div( grad )0 h kTS 動量方程動量方程 由于必須同時考慮切應(yīng)力和正應(yīng)力，加之流體流動有關(guān)的 斯托克斯粘性定律比菲克定律或傅里葉定律復雜，動量方 程要復雜得多。用u表示x方向速度，有： 其中是粘度，p是壓力，Bx是x方向的單位容積內(nèi)體積力，Vx代表 除去以div(gradu)所表示的粘性力項之外的其他所有粘性力項。 ()div( u )div( grad ) xx p uuuBV tx 紊流的時間平均方程紊流的時間平均方程 人們假設(shè)：紊流中存在有相對平均值的快速而隨機的脈

6、動。 由Reynold時均運算所產(chǎn)生的附加項是：雷諾應(yīng)力，紊流 熱流密度，紊流擴散流量密度等。 許多紊流模型采用紊流粘度或紊流擴散系數(shù)的概念來表示 紊流應(yīng)力以及流量密度。結(jié)果，紊流的時間平均方程就具 有了與層流流動方程完全相同的形式。 諸如粘度、擴散系數(shù)以及導熱系數(shù)這樣一些層流交換系數(shù) 需要用相應(yīng)的有效（即層流加紊流）交換系數(shù)取代。 相當于具有一個相當復雜的粘度表達式的層流流動方程。 紊流的動能方程紊流的動能方程 紊流“雙方程模型”：把紊流脈動動能k的方程作為其中 的方程之一。 K的擴 散系數(shù) 紊流能量 的生成率 動能的 耗散率 ()div()div(grad ) k kukkG t 通用微分

7、方程通用微分方程 其中因變量可以代表各種不同的物理量 質(zhì)量守恒或連續(xù)性方程： 擴散系數(shù) 源項擴散項對流項不穩(wěn)態(tài)項 直角坐標的張量表達形式： ()div()div( grad )uS t div()0u t ()()() ()0 j jjj j j uS txxx u tx 可以代表無因次的變量 熱、質(zhì)傳遞，流體流動，紊流以及有關(guān)的一些現(xiàn) 象的所有有關(guān)微分方程都可以看成通用方程的一 個特殊情況；可以只編寫一個求解通用方程的程 序，對不同意義的 重復使用這個程序； 對不同的 需要對相應(yīng)的和S分別賦以各自合適 的表達式，同時給出合適的初始條件和邊界條件。 自變量 一般來說，因變量是三個空間坐標與時間

8、的函數(shù) =（x，y，z，t） 其中x，y，z以及t都是自變量。 當有關(guān)的物理量只與一個空間坐標有關(guān)時，所研究 的問題是一維的；當問題與時間無關(guān)時，叫做穩(wěn)態(tài) 的，否則叫做非穩(wěn)態(tài)或與時間有關(guān)的問題。 另一種寫法： z=z（x，y，T） z是因變量，代表在位置（x，y）相對于溫度T的等溫 面高度。 2-2 2-2 坐標的性質(zhì)坐標的性質(zhì) 恰當明智地選擇坐標系統(tǒng)有時可以減少所需要的自變量數(shù)。 并非只能使用直角坐標系，任何一種描述空間位置的方式都 是可以采用的。 例子： 1. 在一個靜止的坐標系上看以恒定速度飛行的飛機 周圍的流體流動是非穩(wěn)態(tài)的；但是相對于固定在飛機 上的移動坐標系而言，流動是穩(wěn)態(tài)的。 2

9、. 在一圓管內(nèi)的軸對稱流動于直角坐標系內(nèi)是三維 的，但在r，z的圓柱極坐標系內(nèi)則是二維的。 3. 坐標變換可能用來進一步減少自變量數(shù)量。 4. 改變因變量可能導致自變量數(shù)目的減少。 坐標的合適選擇坐標的合適選擇 如果在一個坐標上的一個給定位置處的條件，要受該位置兩側(cè)條 件變化的影響的話，那么這個坐標就是一個雙向的坐標。 如果在一個坐標上的一個給定位置處的條件只受該位置一側(cè)條件 變化的影響，這樣的坐標就是一個單向的坐標。 空間坐標是雙向坐標，但如果在一個坐標方向上有很強的單向流 動，也可以近似作為單向坐標。對流單向，擴散雙向 時間坐標是單向坐標。 拋物型表示一種單向的狀態(tài)；橢圓型表示雙向的概念。

10、 非穩(wěn)態(tài)導熱問題實際上是時間坐標上的拋物型和空間坐標上的橢 圓型問題；穩(wěn)態(tài)導熱對所有的坐標都是橢圓型的。 討論單向雙向坐標的動機：如果可以用一個單向的坐標來規(guī)定一個給 定的狀態(tài)，就有可能大大節(jié)省計算機的存儲量和時間。 單向與雙向的坐標單向與雙向的坐標 3-1 數(shù)值方法的本質(zhì) 一個微分方程的數(shù)值解系由一組可以構(gòu)成因 變量的分布的數(shù)所組成 類似于在實驗室中進行實驗 定義 數(shù)值方法就是把計算域內(nèi)有限數(shù)量位置（叫做網(wǎng)格 結(jié)點）上的因變量值當作為基本的未知量來處理。 任務(wù) 任務(wù)是提供一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程并規(guī)定 求解這組方程的算法。 第三章第三章 離散化方法離散化方法 離散化的概念離散化的概念 把

11、注意力集中在網(wǎng)格結(jié)點處的值，用離散的值取代包含在 微分方程精確解中的連續(xù)信息。 網(wǎng)格結(jié)點上未知值的代數(shù)方程（離散化方程）是由支配 的微分方程推導而得。推導過程中，必須對網(wǎng)格結(jié)點之 間如何變化做某種假設(shè)。采用分段分布：一定的段僅僅 用一個小區(qū)域的內(nèi)部及邊界上的網(wǎng)格結(jié)點上的值來描述 該區(qū)間內(nèi)的變化。 一般將計算域分成一定數(shù)量的子域或單元。每個子域可以 有一個獨立的分布假設(shè)。 這種對空間和因變量所作的系統(tǒng)的離散化使得我們有可能 用比較容易求解的簡單的代數(shù)方程取代控制微分方程。 離散化方程的結(jié)構(gòu)離散化方程的結(jié)構(gòu) 一個離散化方程是連接一組網(wǎng)格結(jié)點處值的代數(shù)關(guān)系式。 由支配的微分方程推導而得，表示與該微分

12、方程相同的 物理信息。 一定的離散化方程只與少數(shù)的幾個網(wǎng)格結(jié)點有關(guān)。在一個 網(wǎng)格結(jié)點處的值只影響與其緊相鄰的一些點上的分布。 結(jié)點數(shù)目變化很大時離散化方程的解趨近于相應(yīng)微分方程 的精確解。 當網(wǎng)格結(jié)點緊挨在一起時，在相鄰點之間的變化就變得 很小，有關(guān)分布假設(shè)的實際細節(jié)就不重要了。 對于一個已知的微分方程，可能的離散化方程不是唯一的。 不同形式起因于分布假設(shè)以及推導方法的不同。 有限差分法和有限元法之間的區(qū)別來自選擇分布和推導離 散化方程的方法不同。 泰勒級數(shù)公式 如圖中網(wǎng)格結(jié)點。結(jié)點 2為結(jié)點1，3的中點， 在2周圍展開泰勒級數(shù)： 3-2 3-2 推導離散化方程的方法推導離散化方程的方法 恰好

13、在第三項之后截斷級數(shù)，兩方程相加相減得到： 代入微分方程就推出有限差分方程。 假設(shè)：的 變化多少 有點像x的 一個多項 式，從而 高階導數(shù) 項不那么 重要。 2 2 12 2 2 2 2 2 32 2 2 2 d1d d2d d1d d2d xx xx xx xx 31 2 2 132 22 2 d d2 d2 d() xx xx - - 變分公式變分公式 變分法證明：求解某些微分方程的問題等效于使一稱之為 泛函的相關(guān)量最小化。即變分原理。 如果相關(guān)于因變量的網(wǎng)格點值使泛函最小，那么所得到的 條件即給出所需要的離散化方程。 普遍用于應(yīng)力分析的有限元法。但其適用范圍有限。 - - 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)

14、余數(shù)法 令微分方程由 L()=0 表示。假設(shè)一個包含有若干不確定 參數(shù)的近似解，如： 其中a都是參數(shù)。上式代入微分方程留下一個余數(shù)： 假設(shè)：W是加權(quán)函數(shù)，選擇不同種類的加權(quán)函 數(shù)就可以得到不同類型的方法。 最簡單的加權(quán)函數(shù)取W=1。即，對每一個控制容積，余數(shù)的積分 必須為0 0WRdx ( )RL 2 012 m m aa xa xa x 控制容積公式控制容積公式 控制容積公式可以看成是加權(quán)余數(shù)法的一種特殊形式。 把計算域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網(wǎng)格 結(jié)點都由一個控制容積所包圍。對每一個控制容積積分微 分方程。應(yīng)用表示網(wǎng)格結(jié)點之間變化的分段分布關(guān)系來 計算所要求的積分。得到了一個

15、包含有一組網(wǎng)格結(jié)點 處的值的離散化方程。 按照這個原則所得到的離散化方程表示關(guān)于有限控制容積 的的守恒原理，這就象微分方程表示關(guān)于無窮小控制容 積內(nèi)的的守恒原理一樣。 優(yōu)點：所得到的結(jié)果將意味著任何一組的控制容 積內(nèi)，也就是整個計算域內(nèi)，諸如質(zhì)量、動量以 及能量這樣一些物理量的積分守恒都可以精確地 得到滿足。 無論網(wǎng)格數(shù)量多少，這種積分守恒都滿足。 求解離散化方程以得到在網(wǎng)格結(jié)點上的因變量值 時，可以用兩種不同方法來表示結(jié)果。 有限元法和大多數(shù)加權(quán)余數(shù)法中把假設(shè)的由網(wǎng)格結(jié)點 上的值以及網(wǎng)格結(jié)點之間的內(nèi)插函數(shù)（或分布）所構(gòu) 成的的變化取作近似解。 有限差分法只考慮把網(wǎng)格結(jié)點上的值構(gòu)成解，而不去

16、管在網(wǎng)格結(jié)點之間是怎樣變化。類似于實驗。 對微分方程中的不同項可以采用不同的分布假設(shè)來進 行積分。 其中k是導熱系數(shù)，T是溫度，S是單位容積的發(fā)熱率。使用 下圖的網(wǎng)格結(jié)點群： 3-3 3-3 一個說明性的例子一個說明性的例子 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題方程： dd ()0 dd T kS xx dd ()()d0(3.11) dd e ew w TT kkS x xx dd d0 dd e w T kSx xx 兩種分布假設(shè)： 階梯形分布斜率 在控制容積面上是不確 定的； 線性分布網(wǎng)格結(jié) 點之間采用線性的內(nèi)插 函數(shù)。 分布曲線的假設(shè)分布曲線的假設(shè) Tp Tw TE 用分段線性分布計算方程（3.11）中

17、的dT/dx，所得方程： 離散化方程離散化方程 縮寫為： 比較方便的可把方程（3.13）看作： 沒有必要對 所有的量都 采用同樣的 分布函數(shù)。 () () ppEEWW e E e w W w PEW a Ta Ta Tb k a x k a x aaa bS x ppnbnb a Ta Tb ()() 0 ()() eEPwPW ew k TTkTT S x xx 上述有關(guān)選擇分布函數(shù)的自由度，最終導致不同變型的離 散化方程形式。當網(wǎng)格結(jié)點的數(shù)目增加時，所有這些不同 形式的方程都會給出相同的解。 附加要求（可大大減少可以接受的公式的數(shù)目）： 即便是采用很粗的網(wǎng)格，解也總應(yīng)該滿足： 物理上真實

18、的性狀 一個真實的變化應(yīng)當具有與準確 變化相同的定性傾向，如圖。 總的平衡 對整個計算域應(yīng)當滿足積分守恒。 熱流密度、質(zhì)量流量以及動量通 量必須準確地同相應(yīng)的源、匯建 立平衡，這種平衡對于任何數(shù)目 的網(wǎng)格結(jié)點都應(yīng)得到滿足。 物理上的真實性和總的平衡兩個約束 條件將用來指導選擇分布假設(shè)以及所 采用的有關(guān)措施。 指導原則指導原則 一般來說，源項是因變量T本身的函數(shù) 由于離散化方程需要用線性代數(shù)的技術(shù)來求解，只能考慮一種線性的 函數(shù)關(guān)系。 源項的處理源項的處理 SC是常數(shù)部分，Sp是Tp的系數(shù)。 假設(shè)：Tp值代表整個控制容積內(nèi)的值，即采用了階梯式分布。 新的方程組： () () ppEEWW e E e w W w PEWp c a Ta Ta Tb k a x k a x aaaSx bSx c