第8章梁的彎曲變形

1、第九章第九章 梁的彎曲變形梁的彎曲變形 概概 述述 一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問題 在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求 具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即 要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正 常工作。常工作。 搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大， 就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。 CL9TU1 橋式起重機(jī)的橫梁變形過大橋式起重機(jī)的橫梁變形過大,則會(huì)使小車行則

2、會(huì)使小車行 走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 CL9TU2 但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具 有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的 變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。 P 2 P 2 P CL9TU2 1.撓曲線撓曲線 二、彎曲變形的基本概念二、彎曲變形的基本概念 CL9TU3 撓曲線撓曲線 微段變形累加的結(jié)果微段變形累加的結(jié)果 梁的軸線變成梁的軸線變成 光滑連續(xù)曲線光滑連續(xù)曲線 撓度

3、撓度 w 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 dw dx 2. 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角 規(guī)定：向下的撓度為正；順時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正規(guī)定：向下的撓度為正；順時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正 CL9TU3 撓曲線方程：撓曲線方程： )(xfw 轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程： f x f x ( ) d d tan 撓度撓度w：橫截面形心處的鉛垂位移。：橫截面形心處的鉛垂位移。 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。 梁的撓度曲線近似微分方程及其積分梁的撓度曲線近似微分方程及其積分 一、梁的撓度曲線近似微分方程式一、梁的撓度曲線近似微分方程式 K y y () / 1 23 2 yf x( ) 曲線曲線 的曲率為的曲率為 z EI

4、M 1 2/32 )1 ( 1 w w MwEIw EI M z 或 w 梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：梁純彎曲時(shí)中性層的曲率： MwEI M 0 CL9TU4 x w 0 w MM MM M 0 0 w x w M EI d2 2w d dx2 d2 2w d dx2 M EI 2 2 2 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程: )( d d : )( 2 2 xM x w EI xMwEI 或 二、用積分法求梁的變形二、用積分法求梁的變形 式中積分常數(shù)式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定由邊界條件和連續(xù)條件確定 )(xMwEI CxxMwEI d)( DCxxxxMEIw dd

5、)( 沒有約束無法確定位移沒有約束無法確定位移 光滑連續(xù)條件：光滑連續(xù)條件： P C cc cc ww 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡。試求圖示簡 支梁在均布載荷支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線 方程，并確定方程，并確定max和和wmax。 CL9TU5 x w l q 解：解： M x ql x q x( ) 22 2 2 22 x q x ql wEI Cx q x ql wEI 32 64 DCxx q x ql EIw 43 2412 由邊界條件：由邊界條件： 0 00 wlx wx 時(shí)， 時(shí)， 得：得：0, 24 3 D

6、ql C x q l x w A B 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為： )46( 24 332 lxlx EI q )2( 24 332 lxlx EI qx w 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為： max AB ql EI 3 24 EI ql ww l x 384 5 4 2 max x q l x w A B AB 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸。試求圖示懸 臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方 程，并確定程，并確定max和和wmax。 CL9TU6 x w l P

7、AB 解：解：M x P lx( )() lPxPwEI CxlPx P wEI 2 2 DCxx lP x P EIw 23 26 由邊界條件：由邊界條件：0, 00wwx時(shí)， 得：得：CD 0 x w l P A B x 梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為： )2( 2 lx EI xP )3( 6 2 lx EI xP w 最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為： max B Pl EI 2 2 EI Pl ww B 3 3 max x w l P A B x B 力與位移之間的線性關(guān)系力與位移之間的線性關(guān)系 小變形小變形 基本荷載作用、各種支承形

8、式的位移結(jié)果基本荷載作用、各種支承形式的位移結(jié)果 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形 是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用 下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單 獨(dú)作用下的變形，然后疊加。獨(dú)作用下的變形，然后疊加。 ：q、l EI 求求：wC , B 剛體位移：剛體位移： 變形后：AB AB BC BC 變形后AB部分為曲線， 但BC部分仍為直線。 C點(diǎn)的位移為：wc 2 L w www BB cBc 梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算

9、 剛度條件：剛度條件： max max ww w、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定 于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。 例：圖示工字鋼梁，例：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， w = l500，E=200GPa， =100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁 的許可載荷的許可載荷 P，并校核強(qiáng)度。，并校核強(qiáng)度。 CL9TU40 解：由剛度條件解：由剛度條件 500 48 3 max l w EI Pl w 得P EI l 48 500 2 所以 .P 711kN max max M

10、 Wz 所以滿足強(qiáng)度條件。 Pl Wz4 60MPa 711.kN 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載 荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形 狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度， 就應(yīng)從上述各種因素入手。就應(yīng)從上述各種因素入手。 一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EI 二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承 三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置 用變形比較法解靜不定梁用變形比較法解靜不定梁 一、靜不定梁的基本概念一、靜不定梁的基本概念 CL9TU50 用多余反力代替用多余反力代替 多余約束，就得多余約束，就得 到一個(gè)形式上的到一個(gè)形式上的 靜定梁，該梁稱靜定梁，該梁稱 為原靜不定梁的為原靜不定梁的 相當(dāng)系統(tǒng)。相當(dāng)系統(tǒng)。 二、用變形比較法解靜不定梁二、用變形比較法解靜不定梁 例：求圖示靜不定梁的支反力。例：求圖示靜不定梁的支反力。 解：將支座解：將支座B看成看成 多余約束