2021_2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.42.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)精品

1、2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(重點(diǎn))2.會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(易錯(cuò)點(diǎn))通過(guò)對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).如圖所示，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中的C的圓心坐標(biāo)為C(1,2)，而且半徑為2.(1)判斷點(diǎn)A(3,2)是否在C上；(2)設(shè)M(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，那么M在C上的充要條件是什么？此時(shí)x，y要滿足什么關(guān)系式？知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的

2、半徑(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.當(dāng)ab0時(shí)，方程為x2y2r2，表示以原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓方程(xa)2(yb)2m2一定是圓的方程嗎？若方程表示圓，m滿足什么條件？此時(shí)圓的圓心和半徑分別是什么？提示當(dāng)m0時(shí)，方程(xa)2(yb)2m2表示點(diǎn)(a，b)當(dāng)m0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓的圓心為(a，b)，半徑為|m|.1.圓心為(1，2)，半徑為3的圓的方程是()A(x1)2(y2)29B(x1)2(y2)23C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)29D由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓的方程是(x1)

3、2(y2)29，故選D知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d|PC|.位置關(guān)系d與r的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外dr(x0a)2(y0b)2r2點(diǎn)在圓上dr(x0a)2(y0b)2r2點(diǎn)在圓內(nèi)dr(x0a)2(y0b)24，點(diǎn)P(2，2)在圓外，故選B 類型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】(對(duì)接教材P84例題)已知圓過(guò)點(diǎn)A(1，2)，B(1,4)(1)求周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓心在直線2xy40上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)當(dāng)線段AB為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即所求圓以線段AB的中點(diǎn)

4、(0,1)為圓心，|AB|為半徑故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)210.(2)法一：直線AB的斜率k3，則線段AB的垂直平分線的方程是y1x，即x3y30.由解得即圓心的坐標(biāo)是(3,2)所以圓的半徑r2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y2)220.法二：設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為R(R0)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2R2，由題意得解得所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x3)2(y2)220.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法(1)幾何法它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)待定系數(shù)法由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組以得到圓的標(biāo)

5、準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：設(shè)設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r0)；列由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；解解方程組，求出a，b，r；代將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程跟進(jìn)訓(xùn)練1求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)(3，4)；(2)求過(guò)兩點(diǎn)C(1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解(1)設(shè)圓心C(0，b)，則(30)2(4b)252，整理得(b4)216，解得b0或b8.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y225或x2(y8)225.(2)設(shè)圓心為M(a,0)，|MC|MD|，(a1)2(01

6、)2(a1)2(03)2，即a22a11a22a19，a2，r|MC|，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y210. 類型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A點(diǎn)P在圓內(nèi)B點(diǎn)P在圓外C點(diǎn)P在圓上D不確定(2)已知點(diǎn)M(51，)在圓(x1)2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍為_(kāi)(1)B(2)0,1)(1)由(m2)252m42524，得點(diǎn)P在圓外(2)由題意知即解得0a1.試總結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法提示(1)幾何法：判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大??；(2)代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊，判斷與r2的大小跟進(jìn)訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(1,2)和圓C：(xa)2(ya)

7、22a2，試分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)點(diǎn)A在圓的內(nèi)部；(2)點(diǎn)A在圓上；(3)點(diǎn)A在圓的外部解(1)因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以(1a)2(2a)22a2，且a不為0，解得a2a2，且a不為0，解得a2.5且a0. 類型3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題【例3】已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)，B(5,0)，(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x，y)為圓C上任意一點(diǎn)，試求x2(y4)2的最值x2(y4)2有什么幾何意義？如何求圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)距離的最大值和最小值？解(1)由已知得，圓心C(3,0)，半徑r|AB|2，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24.(2)x2(y4)2表示

8、點(diǎn)M(0,4)與圓C上任意一點(diǎn)P(x，y)的平方，即|PM|2的距離由(03)2424知點(diǎn)M(0,4)在圓C外部又|MC|5，|PM|max527，|PM|min523.|PM|49，|PM|9.即x2(y4)2的最大值為49，最小值為9.已知點(diǎn)(x，y)在圓(xa)2(yb)2r2(r0)上，求d的最值問(wèn)題的處理方法如下：(1)求圓心O(a，b)與定點(diǎn)M(m，n)間的距離dMO.(2)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)M在圓外時(shí)，dmaxdMOr，dmindMOr；當(dāng)點(diǎn)M在圓內(nèi)時(shí)，dmaxdMOr，dminrdMO.跟進(jìn)訓(xùn)練3設(shè)P(x，y)是圓x2(y4)24上任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)2因?yàn)镻(x，y

9、)是圓x2(y4)24上任意一點(diǎn)，所以表示點(diǎn)M(1,1)與該圓上任意一點(diǎn)P(x，y)的距離|PM|.因?yàn)?2(14)24，所以點(diǎn)M(1,1)在圓外設(shè)圓心為C(0，4)，則|MC|，所以|PM|max2，即的最大值為2.1若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y5)23，則此圓的圓心和半徑長(zhǎng)分別為()A(1,5)，B(1，5)，C(1,5)，D(1，5)，3B由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，圓心坐標(biāo)為(1，5)，半徑r，故選B2圓心為(1,1)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D由圓過(guò)原點(diǎn)知r，故所求圓的方程為(x1)2(y1)22，選D3點(diǎn)P(1,3)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A在圓外B在圓內(nèi)C在圓上D不確定B由12321知原點(diǎn)O在圓外設(shè)M(1,1)，則|MO|，則|PO|min1.從而|PO|32.即x2y2的最小值為32.回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題：(1)試寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提示圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.(2)如何判斷點(diǎn)P(x0，y0)和圓(xa