常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)練習(xí)解答

1、 n n n uuuuu 321 1 1 1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ). . n i inn uuuus 1 21 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 十二章習(xí)題課十二章習(xí)題課1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 性質(zhì)性質(zhì)1 1: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), , 性質(zhì)性質(zhì)2 2: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 性質(zhì)性質(zhì)3 3: : 加減或更改前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散加減或更改前有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散 性性.

2、性質(zhì)性質(zhì)4 4: :收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍然收斂 . 0lim n n u 級(jí)數(shù)收斂的級(jí)數(shù)收斂的必要條件必要條件: 基本性質(zhì)基本性質(zhì) 斂散性不變斂散性不變. . 于原來(lái)的和于原來(lái)的和. . 0, 1 n n n uu .有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂 n s 2 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 性質(zhì)性質(zhì) (1) (1) 比較審斂法比較審斂法 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: : 設(shè)設(shè) 1 n n u與與 1 n n v都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級(jí)數(shù)有相同的

3、斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; ; l0 (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1 n n v發(fā)散發(fā)散, , 則則 1 n n u發(fā)散發(fā)散; ; l (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; 0 l 1n n v 1n n u ,liml v u n n n 若若 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1 n n u收斂收斂 . . 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1 n n u發(fā)散發(fā)散 ; ; n un n 1 lim或或 則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1 時(shí)失效時(shí)失效. . n n n n n n uu 11 1 )

4、1()1(或或)0( n u其中其中 3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 定定理理 若若 1n n u收收斂斂,則則 1n n u收收斂斂. 定義定義: :若若 1n n u收斂收斂, , 則稱(chēng)則稱(chēng) 0n n u為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ; 4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法歸納常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法歸納 正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 2. (1).比較法比較法 (2).比值法比值法 (3).根值法根值法 (4).絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,條件收斂條件收斂 (5) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) (萊布尼茨定理萊布尼茨定理) 3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì); ;,

5、則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂若若SSn ;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) n un 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù) 基本級(jí)數(shù)基本級(jí)數(shù): : 0n n aq 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 q q 1 1 2.P-2.P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1 1 n p n 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 1 1 p p 1 1. .幾何幾何( (等比等比) )級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 推廣推廣 2 ln 1 n p nn 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 1 1 p p ) 1 ( q a 發(fā)散發(fā)散 條件收斂條件收斂 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 0 10 1 p p p 的收斂性的收斂性判別判別 33 1 23 1 13 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1. 1 nnn 1 2 )2

6、( ) !( 1:. 2 n n n n 收斂性收斂性判別判別 02 1 a n a n p n 1 2 2 )1sin(20 ln 1 ln1 1:. 4 nn p n np n n n 判別收斂性判別收斂性 )0( 1 2 1 1:. 5 11 2 a a a a n n n n n n 的收斂性的收斂性判別判別 1ln )1( 3 n n nn ; ) 1 ( )1(:3 1 1 n n n n n n n 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )2( n n a n a n 練習(xí)題練習(xí)題 的收斂性的收斂性判別判別 1 ln 1 )(ln 1 2)0( 1

7、1:. 6 n n n n n a a 收收斂斂則則在在什什么么條條件件下下收收斂斂與與討討論論 111 ,1:. 7 n nn n n n n vuvu 是否收斂是否收斂問(wèn)問(wèn)收斂收斂且且若若 11 , 1lim2 n n n n n n n uv v u )0( 1 2 1 1:. 5 11 2 a a a a n n n n n n 的收斂性的收斂性判別判別 練習(xí)題解答練習(xí)題解答 的收斂性的收斂性判別判別 23 1 13 1 3 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1. 1 nnn 解解 ) 33 1 23 1 13 1 () 3 1 ) 6 1 5 1 4 1 () 3 1 2

8、1 1( nnnn n vvv 21 n vn 3 1 發(fā)散發(fā)散 1n n v .則原級(jí)數(shù)發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散加括弧發(fā)散加括弧發(fā)散 1 2 )2( ) !( 1:. 2 n n n n 收斂性收斂性判別判別 02 1 a n a n p n 解解 1 n n n n n n n n u u )2( ) !( )22( )!1( 2 1 2 1 n n n ) 1 1( 1 2 1 a 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 2 p n n n n a u ) ( 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 1 1 a a 時(shí)時(shí)而而1 a 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂 1 11 1p p n n p ; ) 1 ( )1(:3 1 1 n n n n n

9、 n n 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性 解解 n n n n n n nn u ) 1 ( 1 , ) 1 1( 2 1 n n n n n n n n n nn 1 22 ) 1 1(lim) 1 1(lim 2 ; 1 0 e 1lim 1 n n n , 01lim n n u 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 1 ).0( ) 1 ( )2ln( )2( n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 )2ln( limlim , )2ln(lim 1 n n n a 2,)2ln(1 nnn n n 當(dāng)當(dāng) . 1 a 時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)1,1 1 a a 原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；

10、 原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)1,1 1 a a ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a , ) 1 1( )2ln( 1 n n n n 原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為 , ) 1 1( )2ln( lim n n n n 原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散 1 ) 1 ( )2ln( n n n a n 0 ln 1 ln1 1:. 4 2 p n n n n p n 判別收斂性判別收斂性 1 2 )1sin(2 n n 1ln )1( )3( n n nn n n n u p n ln 1 ln 1 解解 nn p ln 1 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 p p 單減單減又由于又由于 n u0 n u 收斂

11、收斂 2 ln 1 ln1 n p n n n n 條件收斂條件收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 則則 ,1 ,1 p p 1 2 )1sin(2 n n nnnn )1(sin)1sin( 22 nn nn nn 1 sin1)1sin(1 2 2 nnnn 1 1 sin 22 n2 .級(jí)數(shù)條件收斂級(jí)數(shù)條件收斂 1ln )1( )3( n n nn 解解 , 1 ln 1 nnn , 1 1 發(fā)散發(fā)散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 發(fā)散發(fā)散 nn n nnnn 即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 , ln )1( 1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)是交錯(cuò)又由于又由于 n n nn

12、, 0 ln 1 1 lim ln 1 lim n n n nn nn ),0(ln)( xxxxf考考慮慮 ),1(0 1 1)( x x xf 單增單增xf ,1 ln 1 時(shí)單減時(shí)單減當(dāng)當(dāng)故故 n nn , ln 1 單減單減即即 xx 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂， 故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂 )0.( 1 2 1 1:. 5 11 2 a a a a n n n n n n 的收斂性的收斂性判別判別 1 2 1 22 n a n n ,1時(shí)時(shí) a級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 n nn v a n a n 22 1 ,1時(shí)時(shí) a 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 a n v n n n 2 )

13、( )(1 1 n a 收斂，收斂，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1n n v 收斂性收斂性 1 2 1n n a n ,1時(shí)時(shí) a n n n a a a 1 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ,1時(shí)時(shí) a 2 1 1 n n a a 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 )0.( 1 2 1 a a a n n n 的收斂性的收斂性 的收斂性的收斂性判別判別 1 ln 1 )(ln 1 2)0( 1 1:. 6 n n n n n a a 1 解解 1 1 n a ,1時(shí)時(shí) a級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 ,1時(shí)時(shí) a 0lim 2 n n a n 2 11 n o a n 即即 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 2 )ln(lnlnln 1 )(ln 1 nnn en

14、)ln(ln ln 1 n n e )ln(ln 1 n n )( 1 2 2 e en n 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 收收斂斂則則在在什什么么條條件件下下收收斂斂與與討討論論 111 ,1:. 7 n nn n n n n vuvu 是否收斂是否收斂問(wèn)問(wèn)收斂收斂且且若若 11 , 1lim2 n n n n n n n uv v u 解解 1收收斂斂數(shù)數(shù)，則則是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂（正正項(xiàng)項(xiàng)）級(jí)級(jí)若若 1n nnn vuu 0lim n n v 1 n vn充分大時(shí)充分大時(shí) nnn uvu 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂則則 1n nnv u 絕絕對(duì)對(duì)）收收斂斂 ( 1 n nnv u n n n v n u )1

15、( 又又發(fā)發(fā)散散 1n nnv u 是否收斂是否收斂問(wèn)問(wèn)收斂收斂且且若若 11 , 1lim2 n n n n n n n uv v u ,未必收斂未必收斂 nn u n v n n n n 11 , )1( 例如例如 , 1 收斂收斂 n n v 1lim n n nv u . 1 發(fā)散發(fā)散但是但是 n n u End 一一、 選選擇擇題題: : 1 1、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 1 1 n n ； ( (B B) ) 1 1 n nn ； ( (C C) ) 1 32 1 nn ； ( (D D) ) 1 )1( n n . . 2 2、下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 1 1 ) 4 5 ( n n ； ( (B B) ) 1 1 ) 5 4 ( n n ； ( (C C) ) 1 1 1 ) 4 5 ()1( n n n ； ( (D D) ) 1 1 ) 5 4 4 5 ( n n . . 測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題 5 5、0lim n n u是級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù) 1 n n u 收斂的收斂的 ( )( ) (A)(A) 充分條件；充分條件； (B)(B