2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量章末小結(jié)與測評教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章 平面向量1平面向量的基本概念平面向量既有大小,又有方向的量向量的模表示向量的有向線段的長度零向量長度為0的向量單位向量長度為1的向量相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量共線向量表示兩個向量的有向線段所在直線平行或重合的兩個向量2。向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的積的綜合運(yùn)算，通常叫作向量的線性運(yùn)算（或線性組合）（2）向量的加法運(yùn)算按平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行，其中向量求和的三角形法則可推廣至多個向量求和的多邊形法則，即:n個向量經(jīng)過平移，使前一個向量的終點(diǎn)依次與后一個向量的起點(diǎn)重合,組成一向量折線，這n個向量的

2、和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量,即（3）向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，即abba(交換律);（ab）ca（bc)(結(jié)合律)（4)求兩個向量差的運(yùn)算叫作向量的減法，作向量a，b，則ab，即：如果把向量a與b的起點(diǎn)放在點(diǎn)o，那么從向量b的終點(diǎn)b指向被減向量a的終點(diǎn)a,得到的向量就是ab.(5)一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a,所以它既有大小又有方向大小(長度)：|a|a.方向：當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a的方向相反；當(dāng)0時,a0，方向任意（6）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算滿足：結(jié)合律：(a)(）a.分配律:(）aaa；（ab）ab。3向量共線(平行)的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理a是一個非

3、零向量，若存在一個實(shí)數(shù)，使得ba，則向量b與a共線（平行）若向量b與非零向量a共線，則存在一個實(shí)數(shù)，使得ba該兩定理可簡單歸結(jié)為:ba(ab）ba（r），判定定理是判定兩向量共線的重要依據(jù)，性質(zhì)定理是根據(jù)向量共線建立方程的依據(jù)4平面向量基本定理平面向量基本定理也叫共面向量定理，即對于不共線的非零向量，e1，e2，若存在一對實(shí)數(shù)a1，a2，使aa1e1a2e2，則向量a，e1，e2共面；反之,若向量a,e1，e2共面，則存在唯一一對實(shí)數(shù)a1，a2，使aa1e1a2e2。若在平面中選中一組基底，則該平面中的任一向量都可與之建立聯(lián)系,以該基底為紐帶,可溝通不同向量之間的聯(lián)系，如證明三點(diǎn)a，b，c共線

4、，通常是先把，用基底表示出來，再由平行向量定理來加以判定5平面向量的坐標(biāo)表示(1)在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，a為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)作a，則xiyja，稱實(shí)數(shù)對（x，y）是向量a的坐標(biāo)，可知點(diǎn)p的坐標(biāo)即為a的坐標(biāo)(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法的具體體現(xiàn)通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角，判斷共線、平行、垂直等問題6平面向量的數(shù)量積（1)向量數(shù)量積不同于向量的線性運(yùn)算，因?yàn)樗倪\(yùn)算結(jié)果是數(shù)量,不是向量(2)數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是進(jìn)行數(shù)量積

5、運(yùn)算的依據(jù)通過這些性質(zhì)可以計(jì)算向量的長度（模）、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離、兩個平面向量的夾角、判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直等(3）已知非零向量a（x1,y1)，b(x2，y2),則有數(shù)量積ab|ab|cos abx1x2y1y2向量的模a|a|兩向量平行的等價條件abababx1y2x2y10兩向量垂直的等價條件abab0abx1x2y1y20兩向量的夾角公式cos cos 典例1 已知oab中,延長ba到c,使abac,d是將ob分成21的一個分點(diǎn)，dc和oa交于e，設(shè)a,b(如圖）,(1）用a,b表示向量；(2）若，求實(shí)數(shù)的值解（1）a為bc的中點(diǎn),即（2）abm。（2m2）ab0，a，b不共線，

6、解得。借題發(fā)揮1.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個向量因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個方面2理解向量的有關(guān)概念(如相等與相反向量、平面向量基本定理、平行向量定理等)，用基底表示向量，三角形法則、平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的基礎(chǔ)3向量是一個有“形的幾何量，因此在研究向量的有關(guān)問題時,一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解，這是研究平面向量的重要方法和技巧對點(diǎn)訓(xùn)練1. 已知abcd的兩條對角線ac與bd交于e，o是任意一點(diǎn)求證：.證明：因?yàn)閑是對角線ac和bd的交點(diǎn)， 典例2(江蘇高考)已知a（cos ,sin ），b（cos ，sin ),0。(1）若ab|，求證：ab;（2）設(shè)

7、c（0，1），若abc，求,的值解(1)證明:由題意得|ab22,即（ab）2a22abb22。又因?yàn)閍2b2a2b|21，所以22ab2，即ab0，故ab。（2)因?yàn)閍b(cos cos ，sin sin )（0,1)，所以由此得，cos cos (）,由0，得0。又0，所以，.借題發(fā)揮設(shè)a(x1,y1)b（x2，y2),1|a。2ab3向量的線性運(yùn)算，向量的平行、垂直條件,都有坐標(biāo)表示對點(diǎn)訓(xùn)練2若向量a(1，x)，b(x，2），c（1，1)滿足條件（ca)(2b)2，則x_解析：ca（0，1x）,2b（2x,4），（ca）（2b)2,4（1x)2，得x。答案： 典例3 （北京高考）已知正方

8、形abcd的邊長為1，點(diǎn)e是ab邊上的動點(diǎn),則的值為_;的最大值為_解析以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示則d（0，0），a(1,0),b（1,1）,c(0，1），設(shè)e(1，a)(0a1）答案11借題發(fā)揮平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容,利用向量的數(shù)量積可以證明兩向量垂直、平行，求兩向量的夾角，計(jì)算向量的長度等對點(diǎn)訓(xùn)練3已知cmanb,c(2,2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a2,求實(shí)數(shù)m,n的值及a與b的夾角.解：c(2，2）,|c|4.ac，ac0.bc|bccosb4（）4，b|2.cmanb，c2macnbc，16n（4),n4。在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab。

9、在cmanb兩邊同乘以b，得mab12。由,得m.ab2,cos 。或. 典例4如圖所示，頂角為2的等腰劈，今有力|f100 n作用于劈背上將物體劈開,試分析力f的分力的大小與的關(guān)系解根據(jù)力的作用效果（力f1、f2的方向分別垂直于劈面)，可將力分解如圖,由向量的平行四邊形法則及直角三角形的知識有|f1|f2.根據(jù)題意02，0。又（0,）時,sin 是增函數(shù),隨著的增大，|f|在減小，即頂角越小，分力越大當(dāng)時，即頂角為時,|f1|f2|f|.借題發(fā)揮平面向量的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三個方面：一是在平面幾何上的應(yīng)用，利用向量的運(yùn)算解決平行、垂直、距離和夾角等平面幾何的相關(guān)問題；二是向量在解析幾何上的應(yīng)用,

10、主要利用向量平行和垂直的坐標(biāo)條件求直線或圓的方程；三是在物理中的應(yīng)用，主要解決力、速度等矢量的分解、合成問題及力對物體做功的問題對點(diǎn)訓(xùn)練4。 如圖，已知abcd中，e,f在對角線bd上，且befd,求證：四邊形aecf是平行四邊形四邊形abcd是平行四邊形(時間：90分鐘滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題,每小題5分，共50分在每小題所給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)2設(shè)向量a（1，0)，b(，），則下列結(jié)論中正確的是()a|a|b| babcab與b垂直 dab解析：選c（ab）b(，）(,)0,（ab)b。3已知a(3，4），ba,且b的起點(diǎn)為（1，2)，終點(diǎn)為（x，3

11、x)，則b等于()a（，) b（,）c(，） d(,）解析：選d依題意，b(x1,3x2）ba,解得x，b(,)4有下列命題:0;（ab）cacbc;若a(m，4），則|am；若的起點(diǎn)為a（2,1)，終點(diǎn)為b（2,4)，則與x軸正向所夾角的余弦值是。其中正確命題的序號是(）a bc d解析：選c因?yàn)?，所以錯；是數(shù)量積的分配律，正確；當(dāng)m時，a也等于，故錯;在中，(4，3）與x軸正向夾角的余弦值是,故正確5若o是abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|，則abc一定是（）a等邊三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形解析：選b由已知可得，則以ab，ac為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線相等，該四邊形

12、為矩形a90.6（遼寧高考)已知兩個非零向量a，b滿足abab，則下面結(jié)論正確的是（）aab babca|b dabab解析：選b法一:由abab。平方可得ab0，所以ab，故選b.法二：根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知ab與ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因?yàn)閨ab|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以ab，故選b.7若向量5，那么d（)a0 b4c4 d4或4解析:選c5（1，1）（3,4）4。8(重慶高考)設(shè)xr，向量a(x，1），b(1,2），且ab，則|ab|（）a. b。c2 d10解析:選b由ab，可得ab0，即x20，得x2,所以ab(3，1)，故a

13、b。9(浙江高考)設(shè)a，b是兩個非零向量()a若|aba|b，則abb若ab，則aba|bc若|abab|,則存在實(shí)數(shù)，使得bad若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則abab|解析：選c若|a|ba|b，則a、b反向共線，故a錯誤，c正確;當(dāng)ab時，a、b不反向，也不共線，b錯誤；若a、b同向,則ab|a|b,d錯誤10已知a2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是（）a. b。c。 d。解析：選b設(shè)a與b的夾角為，方程x2|axab0有實(shí)根，|a24ab0，ab|a2.cos ，而0，。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)11已知e

14、1，e2為單位向量，它們的夾角為120，則|e13e2|_解析:e13e22e6e1e29e|e1|26|e1|e2|cos 1209e2|216(）913，|e13e2.答案：12(山東高考）已知向量的夾角為120，且|3， ，則實(shí)數(shù)的值為_。答案:13已知向量a（6，2)，b，直線l過點(diǎn)a（3，1)且與向量a2b垂直,則直線l的方程為_解析：a2b(6，2)(8，1）（2，3）直線l與向量a2b垂直，直線l的一個方向向量為v（1,)，直線l的斜率k，故直線l的方程為y1（x3），即2x3y90。答案：2x3y9014(2012 山東高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始

15、位置在（0，1），此時圓上一點(diǎn)p的位置在（0，0)，圓在x軸上沿正向滾動當(dāng)圓滾動到圓心位于（2，1)時,op的坐標(biāo)為_解析：如圖,作cqx軸,pqcq,q為垂足根據(jù)題意得劣弧2，故dcp2弧度，則在pcq中,pcq（2）弧度，|cq|cos （2）sin 2,|pqsin （2）cos 2，所以p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2|cq|2sin 2,p點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1|pq|1cos 2，所以p點(diǎn)的坐標(biāo)為（2sin 2，1cos 2)，即為向量op的坐標(biāo)答案：(2sin 2，1cos 2）三、解答題（本大題共4個小題，共50分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15（本小題滿分12分）已知a（4，3

16、），b(1，2)，mab，n2ab,按下列條件求實(shí)數(shù)的值(1）mn;(2）mn；（3)|m|n。解：由已知得，m（4,32），n（7，8)(1)mn，mn0，7(4)8（32）0。解得.(2）mn,，解得.（3)m|n，。20216130。解得或。16(本小題滿分12分）已知a，b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角解：由已知,（a3b)(7a5b)0，（a4b)（7a2b）0，即7a216ab15b20。7a30ab8b20.-得2abb2.代入式，得a2b2.cos ，故a與b的夾角為60。17(本小題滿分12分)已知：在abc中，abc，bca，acb，ab上的中線cdm，求證:a2b2