2018版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 數(shù)列 第講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教學(xué)案 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第3講等差數(shù)列、等比數(shù)列題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第8頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式ana1（n1)d；snna1d。2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式ana1qn1(q0);sn（q1)典題試解尋法【典題1】（考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若sm15，sm11，sm121,則m(）a3b4c5d6解析sm15，sm11，sm121,amsmsm116,am1sm1sm32。q2.又sm11,am1a1(2）m32,a11，m5.答案c【典題2】(考查等差(比）數(shù)列的通項(xiàng)與求和)（2016全國(guó)卷)已知a

2、n是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11,b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2）求bn的前n項(xiàng)和。 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804019】解(1)由已知，a1b2b2b1,b11,b2，得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an3n1。(2)由(1)知anbn1bn1nbn，得bn1，因此bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列記bn的前n項(xiàng)和為sn,則sn.類題通法在等差(比)數(shù)列問(wèn)題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q)，在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，從而求出這兩個(gè)量，其他問(wèn)題也就會(huì)迎刃而解。這就是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題的基本量的方法，

3、這其中蘊(yùn)含著方程的思想。提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，務(wù)必注意公比q的取值范圍。對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1九章算術(shù)是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著,全書收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法，其中一個(gè)問(wèn)題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問(wèn)題中第2節(jié),第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為（)a.升b升c。升d升a自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1,a2，a9，依題意有,因?yàn)閍2a3a1a4，a7a92a8，故a2a3a8.選a.2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a2a38，a53a2.（1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn中

4、，b11，b22,從數(shù)列an中取出第bn項(xiàng)記為cn，若cn是等比數(shù)列，求bn的前n項(xiàng)和解（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意有，解得a11，d2,從而an的通項(xiàng)公式為an2n1，nn*。(2）c1ab1a11，c2ab2a23，從而等比數(shù)列cn的公比為3，因此cn13n13n1.另一方面,cnabn2bn1,所以2bn13n1，因此bn.記bn的前n項(xiàng)和為sn，則sn。題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)t1、t4、t5、t9、t12、t13）題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第9頁(yè)）核心知識(shí)儲(chǔ)備1若m，n，p，qn，mnpq，則在等差數(shù)列中amanapaq，在等比數(shù)列中，amanapaq

5、.2若an，bn均是等差數(shù)列，sn是an的前n項(xiàng)和，則mankbn，仍為等差數(shù)列,其中m，k為常數(shù)3若an，bn均是等比數(shù)列，則can（c0)，an|，anbn，manbn(m為常數(shù),m0），a，仍為等比數(shù)列4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即sk,s2ksk，s3ks2k，成等比數(shù)列，其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即sk,s2ksk，s3ks2k，成等差數(shù)列，公差為k2d。5若a2n1，b2n1分別為等差數(shù)列an，bn的前2n1項(xiàng)的和，則.典題試解尋法【典題1】(考查等比數(shù)列的性質(zhì))（2017福州五校二模聯(lián)考）在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x27

6、x120的兩根，則的值為（)a2b4c2d4解析a3，a15是方程x27x120的兩根，a3a1512，a3a157，an為等比數(shù)列，又a3，a9，a15同號(hào)，a90，a92,a92.故選a.答案a【典題2】(考查等差數(shù)列的性質(zhì)）（2017湘中名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10,a2 016a2 0170,a2 016a2 0170,則使前n項(xiàng)和sn0成立的最大正整數(shù)n是()a2 016b2 017c4 032d4 033解析因?yàn)閍10，a2 016a2 0170，a2 106a2 0170，所以d0，a2 0160，a2 0170，所以s4 0320,s4 0334 033a2 0170

7、,所以使前n項(xiàng)和sn0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選c。答案c【典題3】(考查數(shù)列的單調(diào)性與最值)(2017洛陽(yáng)一模）等比數(shù)列an的首項(xiàng)為，公比為，前n項(xiàng)和為sn，則當(dāng)nn*時(shí)，sn的最大值與最小值之和為（）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804020】abc。d解析依題意得，sn1n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn1隨著n的增大而減小，1sn1s1，sn隨著sn的增大而增大，0sn；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn1隨著n的增大而增大，s2sn11，sn隨著sn的增大而增大,sn0.因此sn的最大值與最小值分別為、,其最大值與最小值之和為,選c。答案c類題通法1.應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題,關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系,

8、從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.2數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法常有以下兩種：(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an，利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解，若求數(shù)列an的最大項(xiàng)，則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項(xiàng)，則可解不等式組求出n的取值范圍之后，再確定取得最值的項(xiàng)對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1已知等比數(shù)列an，且a6a8dx，則a8（a42a6a8）的值為（)a2b42c82d162d因?yàn)閍6a8dx424,所以a8(a42a6a8)a8a42a6a8aa2a6a8a（a6a8)2162，故選d。2

9、設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,且滿足s150，s160，則，,，中最大的項(xiàng)為(）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804021】a.bc.dc由s1515a80，s16160,可得a80，a90，d0,故sn最大為s8。又d0，所以an單調(diào)遞減，因?yàn)榍?項(xiàng)中sn遞增,所以sn最大且an取最小正值時(shí)有最大值，即最大，故選c。題型強(qiáng)化集訓(xùn)（見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)t3、t6、t8、t10）題型3等差、等比數(shù)列的判定與證明(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第10頁(yè))核心知識(shí)儲(chǔ)備數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法:（1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nn*）為同一常數(shù)；利用中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2

10、)（2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明（nn）為同一常數(shù)；利用等比中項(xiàng),即證明aan1an1（n2)典題試解尋法【典題】(2014全國(guó)卷）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，an0，anan1sn1，其中為常數(shù)（1)證明:an2an;（2）是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由解(1)證明：由題設(shè)知anan1sn1，an1an2sn11，兩式相減得an1（an2an）an1,由于an10,所以an2an。（2）由題設(shè)知a11,a1a2s11，可得a21.由(1）知，a31。令2a2a1a3,解得4。故an2an4，由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n1

11、4n3.a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1。所以an2n1,an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列類題通法(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法.(2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零.對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a12,2sn(n1）2ann2an1,數(shù)列bn滿足b11，bnbn12an.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得bn為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由解（1）由2sn（n1)2ann2an1，得到2sn1n2an1(n1)2an，所以2an（n1)2ann

12、2an1n2an1(n1)2an，所以2anan1an1，所以數(shù)列an為等差數(shù)列,因?yàn)?s1(11)2a1a2，所以48a2，所以a24,所以da2a1422，所以an22（n1）2n.（2）存在，因?yàn)閎nbn12an4n,b11，所以b2b14，所以b24，所以bn1bn24n1，所以4，所以bn24bn，所以b34b14，若bn為等比數(shù)列，則（b2)2b3b1，所以16241,所以。題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見(jiàn)專題限時(shí)集訓(xùn)t2、t7、t11、t14)三年真題 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第11頁(yè))1（2017全國(guó)卷)記sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，s648，則an的公差為（）a1b2c4d

13、8c設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選c.2(2017全國(guó)卷）等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0。若a2,a3，a6成等比數(shù)列,則an前6項(xiàng)的和為（） 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804022】a24b3c3d8a由已知條件可得a11，d0,由aa2a6可得(12d)2（1d）(15d),解得d2.所以s66124.故選a。3(2017全國(guó)卷）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈(）a1盞b3盞c5盞d9盞b設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的

14、總燈數(shù)為s7，公比為q，則由題意知s7381，q2，s7381,解得a13.故選b.4(2015全國(guó)卷）已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521，則a3a5a7(）a21b42c63d84b設(shè)數(shù)列an的公比為q.a13,a1a3a521,33q23q421，1q2q47，解得q22或q23(舍去）a3a5a7q2(a1a3a5）22142。故選b。5(2016全國(guó)卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45,則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5,知q.又a1a1q210，a18。故a1a2anaq12（n1）23n22.記t(n27n)，結(jié)合nn*可知n3或4時(shí)，t有最大值6.又y2t為增函數(shù),從而a1a2an的最大值為2664.6(2016全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn1an,其中0。 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：07804023】(1)證明an是等比數(shù)列，并求