清華大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告2

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告2常微分方程數(shù)值解電13苗鍵強(qiáng)2011010645一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1.掌握MATLAB軟件求微分方程初值問題數(shù)值解的方法；2.通過(guò)實(shí)例學(xué)習(xí)用微分方程模型解決簡(jiǎn)化的實(shí)際問題；3.了解歐拉方法和龍格-庫(kù)塔方法的基本思想和計(jì)算公式，及穩(wěn)定性等概念。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容題目1 【問題描述】小型火箭初始重量為m(0)=1400kg，其中包括m1(0)=1080kg燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時(shí)燃料燃燒率為q=18kg/s，由此產(chǎn)生F=32000N的推力，火箭引擎在燃料用盡時(shí)關(guān)閉。設(shè)火箭上升時(shí)空氣阻力正比于速度v的平方，比例系數(shù)為k=0.4kg/m，求引擎關(guān)閉瞬間火箭的高度h、速度v、加速度a，及達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)

2、的高度h和加速度a，并畫出高度h、速度v、加速度a隨時(shí)間變化的圖形?！痉治雠c解】將火箭的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段：引擎開啟階段和引擎關(guān)閉階段。引擎開啟階段：在這一階段，火箭運(yùn)動(dòng)符合以下規(guī)律：運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t0=m1(0)/q=60 s ；重力加速度：g=9.8 m/s2 ；即時(shí)重力：G=9.8*(1400-18t) ；推力：F=32000N ；空氣阻力：f=0.4*v2 ；根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，火箭的運(yùn)動(dòng)方程為： F-f-G=ma ；即： a=(32000-0.4v2)/(1400-18t)-9.8 ；且有： a=dv/dt ；及： h=v dt ；用龍格-庫(kù)塔方法求t=60s時(shí)的速度v，在matlab中編程

3、如下： function dv=rockets(t,v) F=32000; g=9.8; m=1400; q=18; dv=(F-0.4*v2)/(m-q*t)-g; end在實(shí)際計(jì)算時(shí)，取時(shí)間間隔為0.1s，運(yùn)用上述的方法求解火箭在上升階段結(jié)束時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。寫出運(yùn)行函數(shù)的代碼，在matlab中編程如下： tt=0:0.1:60; v0=0; h(1)=0; t,v=ode45(rockets,tt,v0); t,v a=(32000-0.4*v.2)./(1400-18*t)-9.8; for i=1:600 h(i+1)=h(i)+0.05*(v(i)+v(i+1); end通過(guò)運(yùn)行以上

4、代碼，在matlab中求得火箭引擎關(guān)閉瞬間的速度v=267.2612 m/s加速度a=0.9143 m/s2,高度h=12190 m。引擎關(guān)閉階段：在此階段，火箭的質(zhì)量為m=1400-1080=320kg，推力F=0，初始速度v(0)=267.2612，h(0)=12190m。且根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，火箭的運(yùn)動(dòng)方程為： -f-G=ma ；即： a=(-0.4v2)/320-9.8 ；且有： a=dv/dt ；及： h=h(0)+v dt ；用龍格-庫(kù)塔方法描述火箭在此階段的運(yùn)動(dòng)方程，在matlab中編程如下： function dv=rockets2(t,v) dv=-0.4*v2/320-9.8

5、; end接下來(lái)求火箭達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的高度h和加速度a，由于不知道結(jié)束時(shí)間的具體值，在這里先取一個(gè)比較大的時(shí)間t=100s，通過(guò)比較每段時(shí)間結(jié)束后的速度v若v=0&v(i+1)1，而另一種物種的s1的物種滅絕，而另一種物種則達(dá)到最大容量。從生態(tài)學(xué)上考慮，以s1為例：s1的含義是，對(duì)于供養(yǎng)甲的資源而言，單位數(shù)量乙（相對(duì)n2）的消耗為單位數(shù)量甲（相對(duì)n1）的消耗的s1倍。若s11，則單位數(shù)量乙消耗供養(yǎng)甲的資源的速度不如單位數(shù)量甲消耗供養(yǎng)甲的資源的速度，而單位數(shù)量甲消耗供養(yǎng)乙的資源的速度大于單位數(shù)量乙消耗供養(yǎng)乙的資源的速度，因此對(duì)外呈現(xiàn)出一種甲搶奪乙的資源更為嚴(yán)重的情形。最終，這種現(xiàn)象導(dǎo)致乙的滅絕以及

6、甲的繁榮。Q3：Situation 1： s1=0.8，s2=0.7重復(fù)第一問中的實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)果：(r1=1,n1=100,x0=10,r2=1, n2=100,y0=10:)兩種物種的數(shù)量隨時(shí)間變化曲線圖（藍(lán)色表示甲物種，綠色表示乙物種）乙物種的數(shù)量隨著甲物種的數(shù)量變化而變化曲線（橫軸表示甲物種，縱軸表示乙物種）【分析】對(duì)于此種情形，可以認(rèn)為兩種物種消耗對(duì)方賴以生存的資源的能力均較弱，因此最終兩種物種共同繁榮。Situation 2： s1=1.5，s2=1.71重復(fù)第一問中的實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)果：(r1=1, n1=100, x0=10, r2=1, n2=100, y0=10:)兩種物種的

7、數(shù)量隨時(shí)間變化曲線圖（藍(lán)色表示甲物種，綠色表示乙物種）乙物種的數(shù)量隨著甲物種的數(shù)量變化而變化曲線（橫軸表示甲物種，縱軸表示乙物種）2修改乙物種的初始值得到以下結(jié)果：(r1=1, n1=100, x0=10, r2=1, n2=100, y0=20)兩種物種的數(shù)量隨時(shí)間變化曲線圖（藍(lán)色表示甲物種，綠色表示乙物種）乙物種的數(shù)量隨著甲物種的數(shù)量變化而變化曲線（橫軸表示甲物種，縱軸表示乙物種）3修改乙物種的增長(zhǎng)率得到以下結(jié)果：(r1=1, n1=100, x0=10, r2=2, n2=100, y0=20)兩種物種的數(shù)量隨時(shí)間變化曲線圖（藍(lán)色表示甲物種，綠色表示乙物種）乙物種的數(shù)量隨著甲物種的數(shù)量變化而變化曲線（橫軸表示甲物種，縱軸表示乙物種）【分析】通過(guò)比較以上圖像可知，當(dāng)兩種物種的s值均大于1時(shí)，兩種物種的發(fā)展不僅與s值有關(guān)，還與兩種物種的初始值，增長(zhǎng)率等條件有關(guān)，修改其中的某些值可以得到不同的結(jié)果。三、實(shí)驗(yàn)小結(jié)本次實(shí)驗(yàn)我學(xué)到了很多新的知識(shí)。在運(yùn)用了微分方程后，我們可以通過(guò)建立適當(dāng)