2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第7章 第5講　直線、平面垂直的判定與性質(zhì)含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第7章 第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)含解析第5講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)考綱解讀掌握線線、線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能應(yīng)用它們證明有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題(重點(diǎn)、難點(diǎn)）考向預(yù)測(cè)從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考的必考內(nèi)容預(yù)測(cè)2021年將會(huì)以以下兩種方式進(jìn)行考查:以幾何體為載體考查線面垂直的判定和性質(zhì)；根據(jù)垂直關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化試題以解答題第一問(wèn)直接考查，難度不大,屬中檔題型。1.直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l

2、性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行ab2平面與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直l3直線和平面所成的角（1)定義:一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角（2)范圍：.4二面角（1）定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角(2）范圍：0，1805必記結(jié)論（1）若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,則另一

3、條也垂直于這個(gè)平面(2）若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線(3）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直（4）過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直(5)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直（6）兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面1概念辨析（1）直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.（)(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()（3)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面（)（4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則。（)答案（1）(2）（3）（4)2小題熱身(1)下列命題中不正確的是（）a

4、如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面b如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面c如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面d如果平面平面，平面平面,l，那么l答案a解析a錯(cuò)誤,如圖1所示,在長(zhǎng)方體中,l,但l；b正確，設(shè)l，則內(nèi)與l平行的直線都與平行；c正確，由面面垂直的判定可知；d正確，如圖2所示，在平面內(nèi),作與交線的垂線m,在平面內(nèi)作與的交線的垂線n，由得m，由得n,所以mn.可推出m,進(jìn)而推出ml，所以l.（2)如圖，在正方形abcd中，e,f分別是bc，cd的中點(diǎn)，g是ef的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿ae，af及ef把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使b,c，d三點(diǎn)重合，重合后的

5、點(diǎn)記為h，那么，在這個(gè)空間圖形中必有（）aag平面efh bah平面efhchf平面aef dhg平面aef答案b解析根據(jù)折疊前、后ahhe，ahhf不變，ah平面efh，b正確；過(guò)a只有一條直線與平面efh垂直，a不正確；agef，efgh，agghg,ef平面hag，又ef平面aef,平面hag平面aef，過(guò)h作直線垂直于平面aef,一定在平面hag內(nèi)，c不正確；已證平面hag平面aef，若證hg平面aef，只需證hgag，已證ahhg，故hgag不成立，所以hg與平面aef不垂直，d不正確故選b.(3)如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中,abbc2，aa11，則ac1與平面a1b1

6、c1d1所成角的正弦值為_(kāi)答案解析連接a1c1，則ac1a1為ac1與平面a1b1c1d1所成的角因?yàn)閍bbc2，所以a1c1ac2,又aa11，所以ac13，所以sinac1a1。(4）已知pd垂直于菱形abcd所在的平面，連接pb,pc,pa，ac，bd，則一定互相垂直的平面有_對(duì)答案4解析由于pd平面abcd，故平面pad平面abcd，平面pdb平面abcd,平面pdc平面abcd，由于ac平面pdb，所以平面pac平面pdb，共4對(duì)題型 一直線與平面的位置關(guān)系角度1直線與平面所成的角1（2018全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中,abbc2，ac1與平面bb1c1c所成的角為3

7、0，則該長(zhǎng)方體的體積為（)a8 b6 c8 d8答案c解析如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，連接bc1，根據(jù)線面角的定義可知ac1b30，因?yàn)閍b2，tan30，所以bc12，從而求得cc12，所以該長(zhǎng)方體的體積為v2228.故選c.角度2直線與平面垂直的判定和性質(zhì)2(2019鎮(zhèn)江模擬)如圖,在四棱錐pabcd中,底面abcd是正方形，ac與bd交于點(diǎn)o，pc底面abcd，e為pb上一點(diǎn)，g為po的中點(diǎn)（1)若pd平面ace,求證：e為pb的中點(diǎn)；（2)若abpc，求證：cg平面pbd。證明(1）如圖,連接oe，由四邊形abcd是正方形知,o為bd的中點(diǎn)，pd平面ace，pd平面pbd

8、，平面pbd平面aceoe，pdoe，o為bd的中點(diǎn)，e為pb的中點(diǎn)（2）在四棱錐pabcd中，abpc,四邊形abcd是正方形，ocab，pcoc，g為po的中點(diǎn)，cgpo.又pc底面abcd,bd底面abcd,pcbd.而四邊形abcd是正方形，acbd，ac,pc平面pac，acpcc，bd平面pac,又cg平面pac，bdcg。po,bd平面pbd，pobdo，cg平面pbd.1求直線和平面所成角的步驟(1）尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線（2）連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角（3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角如舉例說(shuō)明1。2

9、證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法如舉例說(shuō)明2（2)（2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直（3）利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理1已知一個(gè)正四棱柱的體對(duì)角線長(zhǎng)為,且體對(duì)角線與底面所成的角的余弦值為,則該四棱柱的表面積為_(kāi)答案10解析由圖可知，bd，dd12，底面邊長(zhǎng)ab1,所以所求表面積為4aa1ab2ab242121210.2如圖，s是rtabc所在平面外一點(diǎn),且sasbsc,d為斜邊ac的中點(diǎn)(1)求證：sd平面abc;(2）若abbc，求證:bd平面sac.證明(1)如

10、圖所示,取ab的中點(diǎn)e,連接se,de，在rtabc中，d，e分別為ac，ab的中點(diǎn)debc,deab,sasb，seab。又sedee，ab平面sde.又sd平面sde，absd。在sac中，sasc，d為ac的中點(diǎn),sdac.又acaba，sd平面abc.(2）由于abbc，則bdac，由（1）可知，sd平面abc，又bd平面abc，sdbd,又sdacd,bd平面sac。題型 二面面垂直的判定與性質(zhì)1如圖，ab是o的直徑，pa垂直于o所在平面，c是圓周上不同于a,b兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),且ab2,pabc，則二面角abcp的大小為_(kāi)答案60解析因?yàn)閍b為o的直徑，所以acbc，又pa平面abc

11、，所以pabc，可求得bcpc，所以pca為二面角abcp的平面角因?yàn)閍cb90，ab2，pabc，所以ac1，所以在rtpac中，tanpca。所以pca60.結(jié)論探究在本例的條件下，二面角apbc的正切值為_(kāi)答案解析如圖,過(guò)a作afpc，垂足為f,過(guò)f作fepb,垂足為e,連接ae，由舉例說(shuō)明1易得bc平面pac。又af平面pac，所以afbc。又pcbcc，所以af平面pbc。所以pbaf，又pbef，afeff,所以pb平面aef，所以pbae，所以aef為二面角apbc的平面角,在rtpac中，ac1,pa，pac90.所以tanpca，所以pca60，所以cf1cos60，af1s

12、in60.在rtpbc中，pc2，bc，pcb90，pb。由pefpcb得，所以，所以ef，在rtaef中,tanaef，即二面角apbc的正切值為.2如圖,在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形,點(diǎn)e在棱pc上(異于點(diǎn)p，c)，平面abe與棱pd交于點(diǎn)f.（1)求證:abef；(2)若afef，求證：平面pad平面abcd.證明（1)因?yàn)樗倪呅蝍bcd是矩形，所以abcd.又ab平面pdc，cd平面pdc，所以ab平面pdc，又ab平面abe，平面abe平面pdcef，所以abef.(2）因?yàn)樗倪呅蝍bcd是矩形，所以abad。因?yàn)閍fef，(1)中已證abef，所以abaf。又abad，

13、由點(diǎn)e在棱pc上（異于點(diǎn)c），所以點(diǎn)f異于點(diǎn)d，所以afada,af，ad平面pad，所以ab平面pad，又ab平面abcd，所以平面pad平面abcd。1作二面角的平面角的方法(1）定義法：在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角如舉例說(shuō)明1.（2）垂線法：如圖所示,作po，垂足為o，作oal，垂足為a，連接pa，則pao為二面角l的平面角(3）補(bǔ)棱法:在求解二面角問(wèn)題時(shí)，若構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確的交線，則將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱(chēng)為補(bǔ)棱)，然后借助前述的定義法或垂線法解題(4)射影面積法：二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該

14、圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積時(shí)，都可利用射影面積公式求出二面角的大?。?）向量法(最常用)(6)轉(zhuǎn)化為線面角：如圖,求l的二面角，即求ab與所成的角2證明面面垂直的兩種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問(wèn)題（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決如舉例說(shuō)明2(2)如圖，三棱柱abca1b1c1中，a1a平面abc,acb90,m是ab的中點(diǎn)，accbcc12。（1)求證:平面a1cm平面abb1a1；(2)求點(diǎn)m到平面a1cb1的距離

15、解(1)證明：由a1a平面abc，cm平面abc,得a1acm。accb，m是ab的中點(diǎn),abcm.又a1aaba.cm平面abb1a1，又cm平面a1cm，平面a1cm平面abb1a1.(2)設(shè)點(diǎn)m到平面a1cb1的距離為h，由題意可知a1ccb1a1b12mc2,sa1cb1（2)22，sa1mb1s四邊形abb1a1222.由（1）可知cm平面abb1a1，得vca1mb1mcsa1mb1vma1cb1hsa1cb1。點(diǎn)m到平面a1cb1的距離h.題型 三平面圖形的翻折問(wèn)題(2019南昌模擬）如圖，在矩形abcd中，ab3，bc1,e，f是邊dc的三等分點(diǎn)現(xiàn)將dae，cbf分別沿ae,b

16、f折起,使得平面dae、平面cbf均與平面abfe垂直(1)若g為線段ab上一點(diǎn),且ag1，求證：dg平面cbf；(2)求多面體cdabfe的體積解(1）證明：如圖，分別取ae，bf的中點(diǎn)m，n，連接dm，cn，mg，mn，因?yàn)閍dde1，ade90，所以dmae，且dm.因?yàn)閎ccf1,bcf90，所以cnbf，且cn.因?yàn)槠矫鎑ae、平面cbf均與平面abfe垂直，所以dm平面abfe,cn平面abfe，所以dmcn，因?yàn)閍magcos45,所以amg90，所以amg是以ag為斜邊的等腰直角三角形,故mga45,而fba45,則mgfb,故平面dmg平面cbf，則dg平面cbf。(2）如圖

17、，連接be，df，由（1)可知,dmcn，且dmcn，則四邊形dmnc為平行四邊形，故dcmn2.因?yàn)関多面體cdabfevdabevbefcdvdabe3vbdefvdabe3vdbef，所以v多面體cdabfe3.平面圖形翻折為空間圖形問(wèn)題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化,根據(jù)翻折的過(guò)程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒(méi)有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征解決此類(lèi)問(wèn)題的步驟為: (2019合肥二檢）如圖1，在平面五邊形abcde中，abce,且ae2，aec60,cded，cosedc。將cde沿ce折起，使點(diǎn)d到p的位置，且ap，得到如圖2所示

18、的四棱錐pabce.(1)求證：ap平面abce;（2）記平面pab與平面pce相交于直線l,求證：abl.證明(1)在cde中，cded，cosedc，由余弦定理得ce2。連接ac，如圖，ae2,aec60，ac2.又ap，在pae中,pa2ae2pe2，即apae。同理，apac。acaea,ac平面abce，ae平面abce，ap平面abce.(2)abce，且ce平面pce，ab平面pce,ab平面pce。又平面pab平面pcel，abl。組基礎(chǔ)關(guān)1已知平面平面,l,點(diǎn)a，al，直線abl，直線acl,直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是(）aabm bacm cab da

19、c答案d解析如圖所示，ablm；acl，mlacm;ablab，只有d不一定成立，故選d.2(2019武漢模擬）已知兩個(gè)平面相互垂直,下列命題：一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是(）a1 b2 c3 d4答案b解析由題意，對(duì)于，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，故錯(cuò)誤；對(duì)于,設(shè)平面平面m，n，l，平面平面，當(dāng)lm時(shí)，必有l(wèi)，而n,ln，而在平面內(nèi)與l平行的直線

20、有無(wú)數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個(gè)平面內(nèi)的己知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，即正確；對(duì)于，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面,這是面面垂直的性質(zhì)定理,故正確3。如圖，已知六棱錐pabcdef的底面是正六邊形，pa平面abc，pa2ab，則下列結(jié)論正確的是(）apbadb平面pab平面pbcc直線bc平面paed直線pd與平面abc所成的角為45答案d解析選項(xiàng)a，b，c顯然錯(cuò)誤pa平面abc，pda是直線pd與平面abc所成的角abcdef是正六邊形，ad2ab。tan

21、pda1，直線pd與平面abc所成的角為45。故選d。4(2020江西南昌摸底)如圖，在四面體abcd中，已知abac，bdac，那么點(diǎn)d在平面abc內(nèi)的射影h必在（）a直線ab上b直線bc上c直線ac上dabc內(nèi)部答案a解析因?yàn)閍bac,bdac，abbdb，所以ac平面abd，又ac平面abc，所以平面abc平面abd,所以點(diǎn)d在平面abc內(nèi)的射影h必在直線ab上故選a。5如圖，直三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，acbc1,acb90，d是a1b1的中點(diǎn)，f是bb1上的動(dòng)點(diǎn),ab1，df交于點(diǎn)e.要使ab1平面c1df，則線段b1f的長(zhǎng)為(）a. b1c。 d2答案a解析設(shè)b1fx

22、,因?yàn)閍b1平面c1df,df平面c1df，所以ab1df.由已知可以得a1b1，矩形abb1a1中，tanfdb1，tana1ab1。又fdb1a1ab1，所以。故b1f.故選a。6（2019全國(guó)卷)如圖，點(diǎn)n為正方形abcd的中心,ecd為正三角形，平面ecd平面abcd，m是線段ed的中點(diǎn)，則（）abmen,且直線bm，en是相交直線bbmen，且直線bm，en是相交直線cbmen，且直線bm，en是異面直線dbmen,且直線bm，en是異面直線答案b解析解法一：取cd的中點(diǎn)o,連接eo，on.由ecd是正三角形,知eocd，又平面ecd平面abcd，eo平面abcd。eoon。又n為正

23、方形abcd的中心，oncd.以cd的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示不妨設(shè)ad2，則e(0,0，）,n(0,1，0)，m，b（1,2,0)，en2,bm ，enbm.連接bd,be，點(diǎn)n是正方形abcd的中心,點(diǎn)n在bd上，且bndn，bm,en是dbe的中線，bm，en必相交故選b.解法二：如圖2，取cd的中點(diǎn)f，df的中點(diǎn)g，連接ef，fn，mg,gb。ecd是正三角形，efcd.平面ecd平面abcd，ef平面abcd.effn.不妨設(shè)ab2，則fn1，ef，en2.emmd，dggf，mgef且mgef，mg平面abcd,mgbg。mgef，bg ，bm。

24、bmen.連接bd,be，點(diǎn)n是正方形abcd的中心,點(diǎn)n在bd上,且bndn，bm，en是dbe的中線，bm，en必相交故選b。7已知abca1b1c1是所有棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱,m是b1c1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（)a在棱ab上存在點(diǎn)n,使mn與平面abc所成的角為45b在棱aa1上存在點(diǎn)n，使mn與平面bcc1b1所成的角為45c在棱ac上存在點(diǎn)n，使mn與ab1平行d在棱bc上存在點(diǎn)n，使mn與ab1垂直答案b解析設(shè)該直三棱柱的棱長(zhǎng)均為a，取bc的中點(diǎn)p，連接mp，則mp平面abc，點(diǎn)n在棱ab上，若mn與平面abc所成角為45，即mnp45，則pnpma,而pnmaxaa，a錯(cuò)誤

25、；若點(diǎn)n在棱aa1上，則點(diǎn)n在平面bcc1b1上的射影為點(diǎn)q，且mqcc1，此時(shí)mn與平面bcc1b1所成角即為nmq,當(dāng)nqa1na時(shí)，nmq45，b正確;因?yàn)閍c與b1c1是異面直線，所以點(diǎn)n在ac上時(shí)，mn與ab1是異面直線或相交直線，不可能平行，c錯(cuò)誤；取bc的中點(diǎn)k，則ak平面bcc1b1，akmn，若mnab1，則mn平面ab1k,此時(shí)mnb1k，當(dāng)n在棱bc上時(shí)，mnb1k不可能成立，d錯(cuò)誤，故選b。8(2019北京高考)已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l。以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：_。答案若m且l，則lm(

26、或若lm，l，則m)解析已知l，m是平面外的兩條不同直線，由lm與m，不能推出l，因?yàn)閘可以與平行,也可以相交不垂直；由lm與l能推出m；由m與l可以推出lm.故正確的命題是或。9。如圖,平面abc平面bdc，bacbdc90，且abaca，則ad_。答案a解析作bc的中點(diǎn)e,連接ae，de,則在rtabc中，abaca，由勾股定理得bc2aea，且有aebc，又平面abc平面bdc，平面abc平面bdcbc，且直線ae在平面abc內(nèi)，由面面垂直的性質(zhì)定理得ae平面bdc，de平面bdc內(nèi)，aede，又在rtbcd中，點(diǎn)e是bc的中點(diǎn)，dea，在rtade中，aea，由勾股定理得ada。10（

27、2019湖北省“四地七校”聯(lián)考)現(xiàn)有編號(hào)為、的三個(gè)三棱錐（底面水平放置)，俯視圖分別為圖1、圖2、圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與此底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是_答案解析編號(hào)為的三棱錐，其直觀圖可能是，側(cè)棱vc底面abc，則側(cè)面vac底面abc，滿足題意；編號(hào)為的三棱錐，其直觀圖可能是，側(cè)面pbc底面abc，滿足題意；編號(hào)為的三棱錐，頂點(diǎn)的投影不在底面邊上(如圖)，不存在側(cè)面與底面垂直故答案為。組能力關(guān)1如圖所示，三棱錐pabc的底面在平面內(nèi)，且acpc，平面pac平面pbc，點(diǎn)p，a，b是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)c的軌跡是(）a一條線段b一條直線c一個(gè)圓d一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)答案d解析平面pac平面pb

28、c，而平面pac平面pbcpc。又ac平面pac，且acpc,ac平面pbc，而bc平面pbc，acbc，點(diǎn)c在以ab為直徑的圓上，點(diǎn)c的軌跡是一個(gè)圓，但是要去掉a和b兩點(diǎn)故選d。2如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1中,p為a1d1的中點(diǎn),q為a1b1上任意一點(diǎn)，e，f為cd上任意兩點(diǎn)，且ef的長(zhǎng)為定值,則下面的四個(gè)值中不為定值的是（)a點(diǎn)p到平面qef的距離b三棱錐pqef的體積c直線pq與平面pef所成的角d二面角pefq的大小答案c解析a中,因?yàn)槠矫鎞ef也就是平面a1b1cd,顯然點(diǎn)p到平面a1b1cd的距離是定值，所以點(diǎn)p到平面qef的距離為定值；b中，因?yàn)閝ef的面積

29、是定值（ef為定長(zhǎng),點(diǎn)q到ef的距離就是點(diǎn)q到cd的距離，也是定長(zhǎng),即底和高都是定值),再根據(jù)a的結(jié)論，即點(diǎn)p到平面qef的距離也是定值，所以三棱錐pqef的高也是定值，所以三棱錐pqef的體積是定值；c中,因?yàn)閝是動(dòng)點(diǎn),pq的長(zhǎng)不固定，而q到平面pef的距離為定值，所以pq與平面pef所成的角不是定值；d中，因?yàn)閍1b1cd,q為a1b1上任意一點(diǎn)，e，f為cd上任意兩點(diǎn)，所以二面角pefq的大小即為二面角pcda1的大小，為定值3（2018全國(guó)卷)已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）a。 b。 c。 d。答案a解析根據(jù)相互平行的直線

30、與平面所成的角是相等的，所以在正方體abcda1b1c1d1中，平面ab1d1與線aa1，a1b1，a1d1所成的角是相等的，所以平面ab1d1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面c1bd也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面ab1d1與c1bd中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，邊長(zhǎng)為,所以其面積為s62,故選a.4如圖,在四棱錐pabcd中,pa平面abcd，abc是正三角形，ac與bd的交點(diǎn)為m，又paab4，adcd,cda120，n是cd的中點(diǎn)(1）求證:平面pmn平面pab;（2)求點(diǎn)m到平面pbc的距離解(1）證

31、明：在正abc中，ab bc,在acd中，adcd,易證adbcdb，所以m為ac的中點(diǎn)，因?yàn)閚是cd的中點(diǎn)，所以mnad.因?yàn)閜a平面abcd，所以paad,因?yàn)閏da120，所以dac30,因?yàn)閎ac60，所以bad90，即baad。因?yàn)閜aaba,所以ad平面pab,所以mn平面pab。又mn平面pmn,所以平面pmn平面pab.(2）設(shè)點(diǎn)m到平面pbc的距離為h，在rtpab中，paab4，所以pb4，在rtpac中，paac4,所以pc4,在pbc中，pb4，pc4,bc4,所以spbc4。由abc是正三角形,m是ac的中點(diǎn)，得bmac，在rtbmc中，mc2，bm2,所以sbmc2.由vmpbcvpbmc，即4h24,解得h，所以點(diǎn)m到平面pbc的距離為.組素養(yǎng)關(guān)1（2019湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)如圖,