2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)教案 北師大版必修5

1、2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)教案 北師大版必修52021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 數(shù)列 2.1.2 等差數(shù)列的性質(zhì)教案 北師大版必修5年級：姓名：第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等差數(shù)列的圖像和性質(zhì)(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握等差中項的概念,會求等差中項(數(shù)學(xué)抽象)3.能解決與等差數(shù)列有關(guān)的實(shí)際問題(邏輯推理) 必備知識自主學(xué)習(xí) 導(dǎo)思1.等差數(shù)列的公差與直線的斜率之間有什么關(guān)系?2.若數(shù)列an中,an是an-1和an+1的等差中項,那么數(shù)列an是等差數(shù)列嗎?為什么?(1)等差數(shù)列的圖像. 由an=dn+(a1-d),可知其圖像是直線y=dx+(a

2、1-d)上的一些等間隔的點(diǎn),其中公差d是該直線的斜率.(2)從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖像.由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其圖像是直線y=dx+(a1-d)上的一些等間隔的點(diǎn),這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù),其中公差d是該直線的斜率,即自變量每增加1,函數(shù)值增加d.當(dāng)d0時,an為遞增數(shù)列,如圖(甲)所示.當(dāng)d0時,遞增;當(dāng)d0的等差數(shù)列an的四個說法.p1:數(shù)列an是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.其中正確的是()a.p1,p2 b.p3,p4 c.p2,p3 d.p1,p42.在等差數(shù)列an中,若a1

3、+a6=9,a4=7,求a3,a9.【思路導(dǎo)引】1.判斷每一個數(shù)列中后一項與前一項的差的正負(fù).2.應(yīng)用性質(zhì):若m+n=p+q , 則am+an=ap+aq,可得a3,進(jìn)而求出公差.【解析】1.選d.因為an=a1+(n-1)d, d0,所以an+1-an=d0,命題p1正確.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n2)與0的大小和a1的取值情況有關(guān).故數(shù)列nan不一定遞增,命題p2不正確.對于p3:=+d,所以-=(n2),當(dāng)d-a10,即da1時,數(shù)列遞增,但da1不一定成立,則p3不正確.對于p4:設(shè)bn=an+3nd,則bn+1-bn=an

4、+1-an+3d=4d0.所以數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列,p4正確.綜上,正確的命題為p1,p4.2.因為a1+a6=a4+a3=9.所以a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4-a3=7-2=5.所以a9=a4+5d=32.【解題策略】等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧已知等差數(shù)列的兩項和,求其余幾項和或者求其中某項,對于這類問題,在解題過程中通常要考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì),尤其要注意利用性質(zhì)“若m,n,p,kn+,且m+n=p+k,則有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是數(shù)列中的項.特別地,當(dāng)m+n=2p時,有am+an=2ap”,從而將問題解決.【跟蹤訓(xùn)練】(2020哈爾濱高一檢測

5、)已知為等差數(shù)列,a3=4,a5+a7=10,則a9的值為()a.4 b.5c.6d.7【解題指南】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a9的值.【解析】選c.由等差數(shù)列的性質(zhì)有:a3+a9=a5+a7=10,所以4+a9=10,a9=6.類型二等差數(shù)列的應(yīng)用(邏輯推理)角度1等差中項的應(yīng)用【典例】在等差數(shù)列 中,若a1,a2 015為方程 x2-10x+16=0 的兩根,則a2+a1 008+a2 014=()a.10b.15c.20d.40【思路導(dǎo)引】根據(jù)題意和根與系數(shù)的關(guān)系求出a1+a2 015,由等差數(shù)列的性質(zhì)求出a2+a1 008+a2 014的值.【解析】選b.因為a1,a2 015 為方

6、程 x2-10x+16=0 的兩根,所以a1+a2 015=10,由等差數(shù)列的性質(zhì)得2a1 008=10,即a1 008=5,所以a2+a1 008+a2 014=3a1 008=15.【變式探究】(2020東北師大附中高一檢測)設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,若a3+a13=40,則3a8=()a.15b.20c.3d.60【解析】選d.數(shù)列為等差數(shù)列,a3+a13=40,由等差中項定義可知a3+a13=2a8,所以2a8=40,即a8=20,則3a8=320=60.角度2等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例】假設(shè)某市2019年新建住房400萬平方米,預(yù)計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方

7、米.那么該市在哪一年新建住房的面積開始大于820萬平方米?【思路導(dǎo)引】從“每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米”可以確定該市每年的新建住房的面積組成一個等差數(shù)列.其首項為400,公差為50.【解析】設(shè)從2019年開始,該市每年新建住房的面積為an萬平方米.由題意,得an是等差數(shù)列,首項a1=400,公差d=50,所以an=a1+(n-1)d=350+50n.令350+50n820,解得n.由于nn+,則n10.所以該市在2028年新建住房的面積開始大于820萬平方米.【解題策略】解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的基本步驟:審題,即仔細(xì)閱讀材料,認(rèn)真理解題意

8、;建模,即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題;判型,即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列;求解,即求出該問題的數(shù)學(xué)解;還原,即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時,一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.【題組訓(xùn)練】1.(2020寧江區(qū)高一檢測)在等差數(shù)列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,則a2+a8的值為()a.15b.21c.24d.18【解題指南】利用等差數(shù)列的性質(zhì),將等式全部化為a2+a8的形式,再計算.【解析】選d.因為a3+a4+a5+a6+a7=45,且a3+a7=a4+a6=2a5,則a5=9,所以a2+a8=2a5=18.2.一牧羊人趕

9、著一群羊通過4個關(guān)口,每過一個關(guān)口,守關(guān)人將拿走當(dāng)時羊的一半,然后退還1只給牧羊人,過完這些關(guān)口后,牧羊人只剩下2只羊,則牧羊人在過第一個關(guān)口前有 只羊.【解析】記此牧羊人通過第1個關(guān)口前、通過第2個關(guān)口前、通過第4個關(guān)口前剩下的羊的只數(shù)組成數(shù)列an(n=1,2,3,4),則由題意得a2=a1+1,a3=a2+1,a4=a3+1,而a4+1=2,解得a4=2,因此得a3=2,a1=2.答案:23.有一批豆?jié){機(jī)原銷售價為每臺800元,在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷:買一臺單價為780元,買兩臺單價都為760元,依次類推,每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元,但每臺最低價不

10、能低于440元;乙商場一律都按原價的75%銷售.某單位購買一批此類豆?jié){機(jī),問去哪家商場買花費(fèi)較少.【解析】設(shè)某單位需購買豆?jié){機(jī)n臺,在甲商場購買每臺售價不低于440元,售價按臺數(shù)n成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列為an.an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an440,即800-20n440,得n18.當(dāng)購買臺數(shù)小于等于18臺時,每臺售價為(800-20n)元,當(dāng)臺數(shù)大于18臺時,每臺售價為440元.到乙商場購買,每臺售價為80075%=600(元).作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),當(dāng)n10時,600n(800-20n)n,當(dāng)n=10時,600n=(800-

11、20n)n,當(dāng)10n18時,(800-20n)n18時,440n0,則an= .【解析】根據(jù)已知條件=+4,即-=4.所以數(shù)列是公差為4的等差數(shù)列,則=+(n-1)4=4n-3.因為an0,所以an=.答案:4.已知數(shù)列an滿足an-1+an+1=2an(n2),且a2=5,a5=13,則a8= .【解析】由an-1+an+1 =2an (n2)知,數(shù)列an是等差數(shù)列,所以a2,a5,a8成等差數(shù)列.所以a2+a8=2a5,所以a8=2a5-a2=213-5=21.答案:215.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為()a.1升b.升c.升d.升【解析】選b. 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,則有即解得則a5=a1+4d=,所以第5節(jié)的容積為升.6.(1)已知an是等差數(shù)列,且a1-a4+a8-a12+a15=2,求a3+a13的值.(2)已知在等差數(shù)列an中,若a49=80,a59=1