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1、高等復(fù)合材料力學高等復(fù)合材料力學 Advanced Mechanics of Composite Materials 陳玉麗陳玉麗 航空科學與工程學院航空科學與工程學院 1 目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 Appendix A u 廣義相對論（1915）、理論物理 u 連續(xù)介質(zhì)力學（固體力學、流體力學） u 現(xiàn)代力學的大部分文獻都采用張量表示 主要參考書: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mech

2、anics, Springer, 1972. 黃克智等，張量分析，清華大學出版社，2003. 張量基本概念 標標 量量（零階張量）（零階張量） 例如：質(zhì)量，溫度例如：質(zhì)量，溫度 質(zhì)量密度質(zhì)量密度 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度 等等。等等。 其值與坐標系選取無關(guān)。其值與坐標系選取無關(guān)。 1 0 ij ij ij e e 張量基本概念 矢矢 量量（一階張量）（一階張量） 例如：位移，速度，例如：位移，速度， 加速度，力，加速度，力， 法向矢量法向矢量, , 等等。等等。 矢矢 量量（一階張量）（一階張量） 矢量矢量u在笛卡爾坐標系中分解為在笛卡爾坐標系中分解為 3 1 12 23 3 1 i i uuuu

3、 i ueeee 其中其中u1, u2, u3 是是u的三個分量，的三個分量， e1, e2, e3是單位基矢量。是單位基矢量。 張量基本概念 矢矢 量量（一階張量）（一階張量） n既有既有大小大小又有又有方向性方向性的物理量的物理量; ; n其分量與坐標系選取有關(guān)，滿其分量與坐標系選取有關(guān)，滿 足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系；足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系； n 遵從相應(yīng)的矢量運算規(guī)則。遵從相應(yīng)的矢量運算規(guī)則。 張量基本概念 矢矢 量量( (可推廣至張量可推廣至張量) )的三種記法：的三種記法： 實體記法實體記法： u 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法： Appendix A.1 i u 張量基本概念 3 1 12

4、 23 3 1 i i uuuu i ueeee Appendix A.1 3 1 1223 3 1 = ii i a ba ba bab a b 張量基本概念 指標符號用法 1. 三維空間中任意點三維空間中任意點 P 的坐標（的坐標（x, y, z）可縮寫成可縮寫成 xi , 其中其中x1=x, x2=y, x3=z。 2. 兩個矢量兩個矢量 a 和和 b 的分量的的分量的點積點積(或稱或稱數(shù)量積數(shù)量積)為：為： 愛因斯坦求和約定 如果在表達式的某項中，某指標重復(fù)地出現(xiàn)兩如果在表達式的某項中，某指標重復(fù)地出現(xiàn)兩 次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求次，則表示要把該項在該指標的取值范圍

5、內(nèi)遍歷求 和。該重復(fù)的指標稱為和。該重復(fù)的指標稱為啞指標啞指標，簡稱，簡稱啞標啞標。 3 1 1223 3 1 3 1 1223 3 1 = = = iiii i iiii i uuuuu aba ba babab ueeeee a b 張量基本概念 由于由于aibi=biai，即矢量點積的順序可以交換：，即矢量點積的順序可以交換： 由于啞標由于啞標 i 僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交僅表示要遍歷求和，故可成對地任意交 換。例如換。例如： 只要指標只要指標 j 或或 m 在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍在同項內(nèi)僅出現(xiàn)兩次，且取值范圍 和和 i 相同。相同。 ii aba b = b a =

6、張量基本概念 = jjmm a ba ba b 約定： 如果不標明取值范圍，則拉丁指標如果不標明取值范圍，則拉丁指標 i, j, k, 表示三維指標，取值表示三維指標，取值1, 2, 3；希臘指標希臘指標, , , 均為二維指標，取值均為二維指標，取值1, 2。 張量基本概念 1 1223 3 1 1223 3 = = ii kk uuuu a baba ba b ueeee a b 拉丁指標拉丁指標 1 122 1 122 = = uuu a baba b ueee a b 希臘指標希臘指標 張量基本概念 二階張量二階張量 應(yīng)變應(yīng)變 ，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度，等。，應(yīng)力，速度梯度，變形梯度

7、，等。 三階張量三階張量 壓電張量，等。壓電張量，等。 四階張量四階張量 彈性張量，等。彈性張量，等。 張量基本概念 二階（或高階）張量的來源二階（或高階）張量的來源 描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量；描述一些復(fù)雜的物理量需要二階（或高階）張量； 低階張量的梯度；低階張量的梯度； 低階張量的并積；低階張量的并積； 更高階張量的縮并，等。更高階張量的縮并，等。 張量基本概念 應(yīng)力張量應(yīng)力張量 張量基本概念 張量的三種記法：張量的三種記法： 實體記法實體記法： 分解式記法分解式記法： 分量記法分量記法： ij 張量基本概念 11 1 112 1 213 1 3 21 2 122 2 22

8、3 2 3 31 3 132 3 233 3 3 + + e ee ee e e ee ee e e ee ee e 張量基本概念 愛因斯坦求和約定愛因斯坦求和約定 1 12233ijjiiii nnnnT 11 11221331 nnnT 21 12222332 nnnT 31 13223333 nnnT 采用指標符號后，線性變換表示為采用指標符號后，線性變換表示為 111 11221331 221 12222332 331 13223333 jj jj jj xa xa xa xa x xa xa xa xa x xa xa xa xa x 利用愛因斯坦求和約定，寫成：利用愛因斯坦求和約定

9、，寫成： iijj xa x 其中其中 j 是啞指標，是啞指標，i 是自由指標。是自由指標。 張量基本概念 例如一點的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具例如一點的應(yīng)力狀態(tài)要用應(yīng)力張量來表示，它是具 有二重方向性的二階張量，記為有二重方向性的二階張量，記為 （或（或 ）。）。 矢量和標量是特殊的張量，矢量為矢量和標量是特殊的張量，矢量為一階張量一階張量，標量，標量 為為零階張量零階張量。 Appendix A.1 張量基本概念 在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得在表達式或方程中自由指標可以出現(xiàn)多次，但不得 在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次則是啞指在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次，若在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次

10、則是啞指 標。例：標。例： , 0 ji ji f 若若i為自由指標為自由指標 , 0 ji jii f 張量基本概念 自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值，自由指標表示：若輪流取該指標范圍內(nèi)的任何值， 關(guān)系式將始終成立。關(guān)系式將始終成立。 例如：表達式例如：表達式 在自由指標在自由指標 i 取取1，2，3時該式始終成立，即有時該式始終成立，即有 iijj xa x 111 11221331 221 12222332 331 13223333 jj jj jj xa xa xa xa x xa xa xa xa x xa xa xa xa x 張量基本概念 同時取值的自由指標必須同名，獨

11、立取值的自由指同時取值的自由指標必須同名，獨立取值的自由指 標應(yīng)防止重名。標應(yīng)防止重名。 自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn)自由指標必須整體換名，即把方程或表達式中出現(xiàn) 的同名自由指標全部改成同一個新名字。的同名自由指標全部改成同一個新名字。 , 0 ji ji f , 0 jk jk f i 換成換成k 張量基本概念 , 0 ji ji f 指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維指標符號也適用于微分和導數(shù)表達式。例如，三維 空間中線元長度空間中線元長度 ds 和其分量和其分量 dxi 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 2222 123 ddddsxxx 可簡寫成：可簡寫成： 2 ddd

12、ii sxx 場函數(shù)場函數(shù) f (x1, x2, x3) 的全微分：的全微分： dd i i f fx x 張量基本概念 24 可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對可用同項內(nèi)出現(xiàn)兩對( (或幾對或幾對) )不同啞指標的方法來不同啞指標的方法來 表示多重求和。表示多重求和。 例如：例如： 33 11 ijijijij ij a x xa x x 若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和，若要對在同項內(nèi)出現(xiàn)兩次以上的指標進行遍歷求和， 一般應(yīng)加求和號。如：一般應(yīng)加求和號。如： 3 1 1 12223 3 3 1 iii i a bca b ca b cabc 張量基本概念 25 一般說不能由等式一般說不能由等式

13、 iiii abac兩邊消去兩邊消去ai導得導得 ii bc 但若但若ai可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特可以任意取值等式始終成立，則可以通過取特 殊值使得上式成立。殊值使得上式成立。 張量基本概念 26 小結(jié) 通過通過啞指標啞指標可把許多可把許多項項縮寫成一項，通過縮寫成一項，通過自自 由指標由指標又把許多又把許多方程方程縮寫成一個方程。縮寫成一個方程。 一般說，在一個用指標符號寫出的方程中，一般說，在一個用指標符號寫出的方程中， 若有若有 k 個獨立的自由指標，其取值范圍是個獨立的自由指標，其取值范圍是1n， 則這個方程代表了則這個方程代表了n k 個分量方程。在方程的某項個分量方

14、程。在方程的某項 中若同時出現(xiàn)中若同時出現(xiàn) m 對取值范圍為對取值范圍為1n 的啞指標，則的啞指標，則 此項含相互迭加的此項含相互迭加的 n m 個項。個項。 張量基本概念 27 目 錄 Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 28 符號ij 與erst ij 符號 (Kronecker delta) 定義定義(笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系) 1 ( = ) 0 () ij ij ij (i, j=1, 2, , n) 特性特性 1. 對稱性，

15、由定義可知指標對稱性，由定義可知指標 i 和和 j 是對稱的，即是對稱的，即 ijji 29 3. 換標符號，具有換標作用。例如：換標符號，具有換標作用。例如： 2. ij 的分量集合對應(yīng)于的分量集合對應(yīng)于單位矩陣單位矩陣。例如在三維空間。例如在三維空間 111213 212223 313233 100 010 001 即：如果符號即：如果符號 的兩個指標中，有一個和同項中其它的兩個指標中，有一個和同項中其它 因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成因子的指標相重，則可以把該因子的那個重指標換成 的另一個指標，而的另一個指標，而 自動消失。自動消失。 符號ij 與erst 2 ddddd

16、dd ijijiijj sxxxxxx 30 類似地有類似地有 ; ; ; ijjkikijikjk ijkjkiijkikj ijjkikijjkklil aaaa aaaa 符號ij 與erst 31 erst 符號 (排列符號或置換符號，Eddington) 定義定義(笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系) 1 1 0 rst e 當當r, s, t為正序排列時為正序排列時 當當r, s, t為逆序排列時為逆序排列時 當當r, s, t中兩個指標值相同時中兩個指標值相同時 (1,2,3)及其輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,3,1)和和(3,1,2)稱為稱為正序排列正序排列。 (3,2,1)及其

17、輪流換位得到的及其輪流換位得到的(2,1,3)和和(1,3,2)稱為稱為逆序排列逆序排列。 1 2 rst er s s t t r或或 符號ij 與erst 32 特性特性 1. 共有共有27個元素，其中三個元素為個元素，其中三個元素為1，三個元素為，三個元素為-1， 其余的元素都是其余的元素都是0 2. 對其任何兩個指標都是對其任何兩個指標都是反對稱反對稱的，即的，即 3. 當三個指標輪流換位時當三個指標輪流換位時(相當于指標連續(xù)對換兩次相當于指標連續(xù)對換兩次)， erst的值不變的值不變 rststrtrs eee rstsrtrtstsr eeee 符號ij 與erst 33 常用實例

18、常用實例 1. 三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標準化基。三個相互正交的單位基矢量構(gòu)成正交標準化基。 它具有如下重要性質(zhì)：它具有如下重要性質(zhì)： 每個基矢量的模為每個基矢量的模為1，即，即ei ej1 (當當ij時時) 不同基矢量互相正交，即不同基矢量互相正交，即ei ej0 (當當ij時時) 上述兩個性質(zhì)可以用上述兩個性質(zhì)可以用ij 表示統(tǒng)一形式：表示統(tǒng)一形式： ei ej ij 符號ij 與erst 34 當三個基矢量當三個基矢量ei , ej , ek 構(gòu)成右手系時，有構(gòu)成右手系時，有 ijijkk eeee 而對于左手系，有：而對于左手系，有： ijijkk e eee 1 e 3 e

19、2 e 1 e 2 e 3 e 符號ij 與erst 35 2. 矢量的矢量的點積點積： 3. 矢量的矢量的叉積叉積(或稱矢量積或稱矢量積) ： () ()() jjkkjkjk jkjkjjkk aba b a ba ba b a beeee () ()()() jjkkjkjkijkjki aba be a babeeeee n 如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。如果沒有特殊說明，我們一般默認為右手系。 符號ij 與erst 36 () ijkjki e a bcabe 叉積的幾何意義是叉積的幾何意義是“面元面元 矢量矢量”，其大小等于由矢，其大小等于由矢 量量 a 和和 b 構(gòu)成的

20、平行四邊構(gòu)成的平行四邊 形面積，方向沿該面元的形面積，方向沿該面元的 法線方向。法線方向。 ijkijkjkjki ca b ea b e 符號ij 與erst 37 cosa ba b sinaba b ()()0abaabb 符號ij 與erst 38 三個矢量三個矢量a, b, c的的混合積混合積是一個標量，其定義為：是一個標量，其定義為： , , ()a b c = abcab c 符號ij 與erst 若交換混合積中相鄰兩個矢量若交換混合積中相鄰兩個矢量 的順序，混合積的值反號。的順序，混合積的值反號。 當當a, b, c構(gòu)成右手系時，混合構(gòu)成右手系時，混合 積表示這三個矢量所構(gòu)成的

21、平積表示這三個矢量所構(gòu)成的平 行六面體體積。若構(gòu)成左手系，行六面體體積。若構(gòu)成左手系， 則為體積的負值。則為體積的負值。 39 , , () () mmijkjki ijkmjkmiijkijk ae b c e a b ce ab c a b cab c =ee (1) (2) () ijij ijkjki e a b e e abe 由此可見符號由此可見符號ij 和和 erst 分別與矢量代數(shù)中的點積和叉分別與矢量代數(shù)中的點積和叉 積有關(guān)。積有關(guān)。 利用利用(1)和和(2)式有式有 符號ij 與erst 40 4. 三階行列式的值三階行列式的值 111213 212223112233213

22、21331 1223 313233 aaa aaaa a aa a aa a a aaa 31221321 1233113223 a a aa a aa a a 123123ijkijkijkijk e a a ae a a a 符號ij 與erst 41 111213 212223123123 313233 ijkijkijkijk aaa aaae a a ae a a a aaa 111 222123 333 rst rstrstijkijk rst aaa aaae e a a a aaa 123 orosot prpsptopqrstijkijk qrqsqt aaa aaaee e

23、 a a a aaa 符號ij 與erst 4. 三階行列式的值三階行列式的值 42 123 orosot prpsptopqrstijkijk qrqsqt ee e 123opqrst ee e opqrst ee 符號ij 與erst 4. 三階行列式的值三階行列式的值 43 5. e- 恒等式，其一般形式為：恒等式，其一般形式為： 即即 退化形式為：退化形式為： irisit ijkrstjrjsjt krkskt e e 2 6 ijkrjkir ijkijk e e e e ijkistjsktksjt e e 符號ij 與erst 44 0 0 0 yx xxzx x xyyyz

24、y y yz xzzz z f xyz f xyz f xyz 1. 平衡方程平衡方程： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？ 45 x y z 2. 幾何方程幾何方程： 1 , 2 1 , 2 1 , 2 y xx xxxyyx yy z yyyzzy xzz zzzxxz u uu xyx uu u yzy uuu zxz 如何用張量改寫彈性力學基本方程？ 46 3. 本構(gòu)方程（各向同性材料）本構(gòu)方程（各向同性材料）： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？ 1 1 1 xy xxxxyyzzxy yz yyyyxxzzyz zx zzzzxxyyzx EG EG EG 提示：可以用到 kk 和 i

25、j ij =2 ij G=E/2(1+) 47 4. 變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）變形協(xié)調(diào)方程（平面應(yīng)變）： 如何用張量改寫彈性力學基本方程？ 22 2 22 yyxy xx yxx y 提示：二維指標為希臘字母, , , ，取值1, 2。 48 目 錄 Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 49 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 1231 12233 (,) ii x xxxxxxreeee 笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系( (單位直角坐標系單位直角坐標系) )

26、50 1231 1223 3 ( ,) ii x x xxxxxreeee 笛卡爾坐標系笛卡爾坐標系( (單位直角坐標系單位直角坐標系) ) 坐標變化時，矢徑的變化為坐標變化時，矢徑的變化為 123 123 dddddd iii i xxxxx xxxx rrrr re 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 51 任意坐標系任意坐標系 坐標變化時，矢徑的變化為坐標變化時，矢徑的變化為 123 (,)x x xr = r 123 123 dddddd iii i xxxxx xxxx rrrr rg 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 52 概念概念 坐標線坐標線 當一個坐標任意變化而另兩個坐標保持不變時，當一個坐標任意變化而另兩個坐標

27、保持不變時， 空間點的軌跡，過每個空間點有三根坐標線?？臻g點的軌跡，過每個空間點有三根坐標線。 基矢量基矢量 矢徑對坐標的偏導數(shù)定義的三個基矢量矢徑對坐標的偏導數(shù)定義的三個基矢量gi (1,2,3) i i i x r g 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 53 參考架參考架 空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或空間每點處有三個基矢量，它們組成一個參考架或 稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相稱坐標架。任何具有方向性的物理量都可以對其相 應(yīng)作用點處的參考架分解。應(yīng)作用點處的參考架分解。 對笛卡爾坐標系：對笛卡爾坐標系： 1231 1223 3 (,) ii x x xxxxxreeee ii u

28、ug 112233 123 ; ; xxx rrr gege ge 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 54 ii uug 三個相互正交的單位基矢量三個相互正交的單位基矢量ei 構(gòu)成構(gòu)成正交標準化基正交標準化基 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 55 歐氏空間中的一般坐標系歐氏空間中的一般坐標系 p 現(xiàn)在的坐標線可能現(xiàn)在的坐標線可能不再正交不再正交； p 不同點處的坐標線可能不同點處的坐標線可能不再平行不再平行； p 基矢量的基矢量的大小和方向大小和方向都可能隨點而異；都可能隨點而異； p 各點處的參考架各點處的參考架不再是正交標準化基不再是正交標準化基。 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 56 坐標轉(zhuǎn)換 ; ijijijij e ee e 坐標與

29、坐標轉(zhuǎn)換 57 將新基將新基 對老基對老基 分解：分解： 轉(zhuǎn)換系數(shù)：轉(zhuǎn)換系數(shù)： 反之：反之： i e j e 1 12233iiiii jj eeeee cos(,) i jijijji =eeeeee 112233jjjji ji eeeee 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 ; ijijijij e ee e 58 向新坐標軸向新坐標軸 投影，即用投影，即用 點乘上式兩邊，則左邊：點乘上式兩邊，則左邊： 右邊：右邊： i e i 00 , , ( ) iijjii xxx rerere 0 rr + r ikkikkii xxx r eee = 000 ()()( ) ijjikkiji ji xxxx r

30、 + reeeee 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 ; ijijijij e ee e 59 00 ()()( ) ikkikkii ijjikkiji ji xxx xxxx 0 r eee = r + reeeee 由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式由上述兩式可得新坐標用老坐標表示的表達式 經(jīng)過類似推導可得經(jīng)過類似推導可得老坐標用新坐標表示的表達式老坐標用新坐標表示的表達式 0 ( ) ii jji xxx 0 () ji jij xxx 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 60 00 ()() ii jjiji jij xxxxxx 坐標轉(zhuǎn)換的矩陣形式坐標轉(zhuǎn)換的矩陣形式(設(shè)新老坐標原點重合設(shè)新老坐標原點重合) 11

31、11 21 31 22 12 22 32 33 13 23 33 xx xxxx xx 或或 11 12 13 11 T 21 22 23 22 31 32 33 33 xx xxxx xx 或或 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 61 坐標轉(zhuǎn)換的一般定義坐標轉(zhuǎn)換的一般定義 設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系，設(shè)在三維歐氏空間中任選兩個新、老坐標系， 和和 是同一空間點是同一空間點P的新、老坐標值，則方程組的新、老坐標值，則方程組 定義了由老坐標到新坐標的坐標轉(zhuǎn)換，稱定義了由老坐標到新坐標的坐標轉(zhuǎn)換，稱正轉(zhuǎn)換正轉(zhuǎn)換。 其逆變換為其逆變換為 對對(*)式微分式微分 i x j x ( ,1,2,3) jji

32、xxxi j ( , 1,2,3) iij xxxi j(*) dd i ij j x xx x 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 62 處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用處處不為零，則存在相應(yīng)的逆變換，即可反過來用 唯一確定唯一確定 其系數(shù)行列式其系數(shù)行列式( (雅克比行列式雅克比行列式) ) 111 123 222 123 333 123 i j xxx xxx xxxx J xxxx xxx xxx d i x d j x 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 63 容許轉(zhuǎn)換容許轉(zhuǎn)換 由單值、一階偏導數(shù)連續(xù)、且由單值、一階偏導數(shù)連續(xù)、且 J 處處處處 不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實現(xiàn)的坐標轉(zhuǎn)換不為零的轉(zhuǎn)換函數(shù)所實現(xiàn)的坐標轉(zhuǎn)換

33、正常轉(zhuǎn)換正常轉(zhuǎn)換 J 處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系處處為正，把右手系轉(zhuǎn)換右手系 反常轉(zhuǎn)換反常轉(zhuǎn)換 J 處處為負，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系處處為負，把右手系轉(zhuǎn)換成左手系 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 64 目 錄 Appendix A 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 65 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量張量，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變，都不會因人為選擇不同參考坐標系而改變 其固有性質(zhì)，然而其固有性質(zhì)，然而其分量的值則與坐標選擇密切其分量的值則與坐標選擇密切 相關(guān)相關(guān)。

34、所以，張量的分量在坐標轉(zhuǎn)換時應(yīng)滿足一定的規(guī)所以，張量的分量在坐標轉(zhuǎn)換時應(yīng)滿足一定的規(guī) 律，以保證其律，以保證其坐標不變性坐標不變性。 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 66 標量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律標量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 設(shè)一個標量在新、老坐標系中的值為設(shè)一個標量在新、老坐標系中的值為t 和和t ，則，則 矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律矢量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 tt , ii jjji ji aaaa 67 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 以三維空間的二階張量為例，其分解式是以三維空間的二階張量為例，其分解式是： 其中，其中，Tij 為為張量分量張量分量，eiej稱為稱為基矢量基矢量，就是把兩個，就是把兩個 基矢量并寫在

35、一起，不作任何運算，成為構(gòu)成矢量的基?；噶坎懺谝黄穑蛔魅魏芜\算，成為構(gòu)成矢量的基。 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 68 張量的分量表示法張量的分量表示法 張量的實體表示法張量的實體表示法 （并矢表示法）（并矢表示法） 張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律張量分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 即即 ijij TTe e mnm in jij TT ji ji ee ijm imn jn T ee m in jijmn T e e mni mj nij TT 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 69 高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律高階張量的分量滿足如下轉(zhuǎn)換規(guī)律 K K K K ijki rj sk trst rsti rj sk tijk TT TT 張量

36、的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 70 注： 在一個表示全部張量分量集合的指標符號在一個表示全部張量分量集合的指標符號 中，自由指標的數(shù)目等于張量的階數(shù)中，自由指標的數(shù)目等于張量的階數(shù) K，每個自，每個自 由指標的取值范圍等于張量的維數(shù)由指標的取值范圍等于張量的維數(shù) n，各指標在其，各指標在其 取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的取值范圍內(nèi)的任何一種可能組合都表示了張量的 一個分量，所以一個分量，所以 n 維維 K 階張量共有階張量共有 nK 個分量。個分量。 ijk T 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 71 張量方程 定義定義 每項都由張量組成的方程稱為每項都由張量組成的方程稱為張量方程張量方程。 特性特性 具有與

37、具有與坐標選擇無關(guān)坐標選擇無關(guān)的重要性質(zhì)，可用于的重要性質(zhì)，可用于 描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。描述客觀物理現(xiàn)象的固有特性和普遍規(guī)律。 or : ijijklkl CC , 0 or ij ji f0f 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律 72 目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 73 張量代數(shù) ijji TTTT T ; ijji TT TT 特殊張量，主方向與主分量 91 轉(zhuǎn)置張量等于其負張量的張量。即滿足轉(zhuǎn)置張量等于其負張量的張量。即滿足 反對稱張量

38、的主對角張量均為零。三維二階反對反對稱張量的主對角張量均為零。三維二階反對 稱張量的獨立分量只有三個。稱張量的獨立分量只有三個。n 維二階對稱張量有維二階對稱張量有 個獨立分量。個獨立分量。 T ; ijji TT TT 1 1 2 n n 特殊張量，主方向與主分量 反對稱張量反對稱張量 92 任意二階張量任意二階張量 T 均可分解為對稱張量均可分解為對稱張量 S 和反對稱張量和反對稱張量 A 之和：之和： TSA T 1 2 S =TT T 1 2 A=TT 特殊張量，主方向與主分量 加法分解加法分解 93 任意二階對稱張量任意二階對稱張量 S 均可分解為球形張量均可分解為球形張量 P 和偏

39、和偏 斜張量斜張量 D 之和：之和： SPD 1 3 ii S ijij P ijijijijij DSPS 其中其中 =0 iiiiii DS 特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 94 偏斜張量為偏斜張量為 偏斜張量三個對角分量之和為零偏斜張量三個對角分量之和為零： ; ijijij DSPDSP 1 30 3 iiiiii DSS 1 3 1 3 ii ijijkkij S PS 特殊張量，主方向與主分量 偏斜張量偏斜張量 95 笛卡爾系中以笛卡爾系中以erst為分量的三階張量，又稱為分量的三階張量，又稱排列張量排列張量 rstrst eee e e 特殊張量，主方向與主分量 置換

40、張量置換張量 96 所有分量均不因坐標轉(zhuǎn)換而改變的張量。所有分量均不因坐標轉(zhuǎn)換而改變的張量。 例如：單位張量例如：單位張量I、球形張量、置換張量等。、球形張量、置換張量等。 標量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向標量是零階的各向同性張量，而矢量則不是各向 同性的。同性的。 特殊張量，主方向與主分量 各向同性張量各向同性張量 97 u 主方向與主分量 二階張量可定義為一種由矢量二階張量可定義為一種由矢量 a 到矢量到矢量 b 的線的線 性變換，即性變換，即 一般說，矢量一般說，矢量 a 與與 b 并不同向。對于給定的任并不同向。對于給定的任 意二階張量意二階張量 T 能否找到某個矢量能否找到

41、某個矢量 ，它在線性變，它在線性變 換后能保持方向不變，即換后能保持方向不變，即 或或 ; ijji T abT a = b ; ijji TT= 0 ijijj T 特殊張量，主方向與主分量 98 (1,2,3)0 ijijj iT 其中其中是標量。上式是求是標量。上式是求 j 的線性齊次代數(shù)方程組，的線性齊次代數(shù)方程組， 存在非零解的充分必要條件存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零是系數(shù)行列式為零 111213 212223 313233 0 TTT TTT TTT 32 123 0III 特殊張量，主方向與主分量 99 這是關(guān)于這是關(guān)于的特征方程；其中的特征方程；其中 是是Tij的主

42、對角分量之和，稱為張量的主對角分量之和，稱為張量 T 的跡，記作的跡，記作trT 是矩陣是矩陣Tij的二階主子式之和。的二階主子式之和。 1112233ii ITTTT 222311131112 2 323331332122 1 () 2 iijjijji TTTTTT IT TT T TTTTTT 特殊張量，主方向與主分量 32 123 0III 100 是矩陣的行列式，記作是矩陣的行列式，記作detT。 特征方程的三個特征根稱為張量特征方程的三個特征根稱為張量T 的的主分量主分量。當。當T 是實對稱張量時，存在三個實特征根是實對稱張量時，存在三個實特征根 111213 3212223123

43、 313233 ijkijk TTT ITTTe T T T TTT ( )( 1,2,3) k k。 32 123 0III 特殊張量，主方向與主分量 101 (1,2,3)0 ijijj iT 由特征方程求特征根：由特征方程求特征根： ( ) ()0 ijkiji T 32 123 0III 由每個由每個(k) 分別求特征方向：分別求特征方向： 方向矢量方向矢量 j(k) () ijij 特殊張量，主方向與主分量 102 由上述方法求得的三個單位矢量由上述方法求得的三個單位矢量 (k)j(k)ej 稱為稱為 張量張量 T 的主方向。的主方向。 注： 若若(1) , (2) , (3)互不相

44、等，則互不相等，則 (1), (2), (3)互相垂直?；ハ啻怪?。 對于二重根情況，例如對于二重根情況，例如(1)(2)，則垂直于，則垂直于 (3)的任何方向都的任何方向都 是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向是主方向，可任選其中兩個互相垂直方向作為作為 (1)和和 (2)。 對于三重根情況，例如對于三重根情況，例如(1)(2) (3)，則任何方向都是主方則任何方向都是主方 向，可任選三個互相垂直的方向作為向，可任選三個互相垂直的方向作為 (1), (2)和和 (3) 。 特殊張量，主方向與主分量 103 u 主坐標系 沿主方向沿主方向 (1), (2), (3)的正交坐標系稱為張量的正交坐標

45、系稱為張量 T 的的 主坐標系。在主坐標系中，有主坐標系。在主坐標系中，有 (1)(1)(1)(2)(2)(2)(3)(3)(3) Te ee ee e 當當T 為應(yīng)力張量時，為應(yīng)力張量時，(k) 就是三個主應(yīng)力就是三個主應(yīng)力1, 2和和3 特殊張量，主方向與主分量 104 特征方程是一個與坐標選擇無關(guān)的普遍方程，它特征方程是一個與坐標選擇無關(guān)的普遍方程，它 的三個系數(shù)的三個系數(shù)I1, I2和和I3分別稱為張量分別稱為張量T的第一、第二的第一、第二 和第三不變量。和第三不變量。 特征方程的根特征方程的根(k)也是三個不變量，相應(yīng)的主方向也是三個不變量，相應(yīng)的主方向 (k)也與坐標無關(guān)。也與坐標

46、無關(guān)。 1 1222 , (), d et iiiijjijji ITIT TT TIT 特殊張量，主方向與主分量 u 不變量 105 目 錄 引言 張量的基本概念，愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分 106 張量函數(shù)及其微積分 在空間所論域內(nèi)在空間所論域內(nèi), , 每點定義的同階張量每點定義的同階張量, , 構(gòu)構(gòu) 成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置成了張量場。一般張量場中被考察的張量隨位置 而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我們而變化。研究張量場因位置而變化的情況使我

47、們 從張量代數(shù)的領(lǐng)域進入張量分析的領(lǐng)域。從張量代數(shù)的領(lǐng)域進入張量分析的領(lǐng)域。 這里簡要介紹這里簡要介紹笛卡兒坐標系中的張量分析笛卡兒坐標系中的張量分析。 107 A: 標量的矢量函數(shù)標量的矢量函數(shù) 張量函數(shù)張量函數(shù) 一個張量一個張量 F 依賴于另一張量依賴于另一張量 T 而變化而變化 TFF ii tuteu)()( 矢量矢量 u是是 t 的函數(shù)，的函數(shù)，ui 也是也是 t 的函數(shù)，如的函數(shù)，如 ui可導，則可導，則 矢量矢量 u 對對 t 的導數(shù)為的導數(shù)為: 即即 i i t tu t t e u d )(d d )(d i i t u t e u d d d d ii du eu d 張量函數(shù)及其微積分 108 B:矢量的標量函數(shù)矢量的標量函數(shù) 標量標量 f 是矢量是矢量 u 的函數(shù)即的函數(shù)即 ii ufffeu 若若 f 可連續(xù)偏導可連續(xù)偏導,則則 u u eed)d()(dd f u u f u u f f jji i i i i