徑流隨機(jī)模擬講解

1、徑流隨機(jī)模擬由于實(shí)際水文資料往往比較短，難于滿(mǎn)足實(shí)際水文程作隨機(jī)模擬。這種隨機(jī)模擬的目的之一在于充分利用是用來(lái)延長(zhǎng)資料長(zhǎng)度。當(dāng)所建模型及參數(shù)準(zhǔn)確時(shí)，這種年月徑流隨機(jī)模擬方法，對(duì)于多站及更深入的隨機(jī)模擬一、隨機(jī)過(guò)程基本知識(shí) (一)隨機(jī)過(guò)程和時(shí)間序列的定義 在實(shí)際問(wèn)題中，常涉及試驗(yàn)過(guò)程隨某個(gè)參變量的變的流量、水位是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量，氣溫是隨時(shí)間這種隨機(jī)變量為隨機(jī)函數(shù)，并稱(chēng)以時(shí)間為參數(shù)的隨機(jī)函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程，記為，T是t變化的范圍。 隨機(jī)過(guò)程在一次試驗(yàn)或觀測(cè)中所得結(jié)果，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 若時(shí)間參變量T是連續(xù)時(shí)刻的集合，則稱(chēng)這種隨創(chuàng)機(jī)過(guò)程為連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程，如水位過(guò)程、流量過(guò)程等。若時(shí)間參變

2、量T是程為離散時(shí)刻的集合，則稱(chēng)這種隨機(jī)過(guò)離散參數(shù)隨機(jī)過(guò)程，也稱(chēng)為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。如年、月徑流程，年最大流量過(guò)程都是時(shí)間序列，也稱(chēng)水文時(shí)間序列。 (二)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程在任一固定時(shí)刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量，因此可按與前述隨機(jī)變量同樣的方法定義隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望和方差。定義如下數(shù)學(xué)期望 (811)方差 (812)為了規(guī)劃隨機(jī)變量?jī)蓚€(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)間關(guān)系的密切程度，可定義隨機(jī)變量的自相關(guān)函數(shù)為 （8-13） (三)隨權(quán)過(guò)程基本分類(lèi) l。按統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的穩(wěn)定性分類(lèi) 按隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是否隨時(shí)間而變化，可分成平穩(wěn)和非平穩(wěn)過(guò)程。若隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)數(shù)字特征不隨時(shí)間的平移而變化，則稱(chēng)為平穩(wěn)過(guò)程，否則為非平穩(wěn)過(guò)

3、程。 2按不同時(shí)刻狀態(tài)間的關(guān)系分類(lèi) 可分成獨(dú)立過(guò)程和馬爾柯夫過(guò)程。若過(guò)程各狀態(tài)相互獨(dú)立，則稱(chēng)為獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。在非獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程中，最重要的一類(lèi)是馬爾柯夫過(guò)程，其特點(diǎn)是時(shí)刻狀態(tài)只與時(shí)刻有關(guān)，而與以前各時(shí)刻無(wú)關(guān)。以上各個(gè)概念的嚴(yán)格定義，可參見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)。二、徑流隨機(jī)模擬一船步驟圖87給出了單站年徑流隨機(jī)模擬的一般步驟：時(shí)間序列組成分析；模型的建立；序列的生成；模型及生成系列的檢驗(yàn)。三、水文時(shí)間序列的組成分析水文序列一殷可按下式表示： （8-14）Tt，Ct，Pt，St分別為趨勢(shì)項(xiàng)、跳躍項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)。 當(dāng)水文序列中不含Tt，Ct，Pt等確定性成分時(shí)，如St，即僅包括隨機(jī)成分的序列。對(duì)年徑流序列而言

4、，這種情況是出較常見(jiàn)的。但月徑流序列因存在明顯的年周期，所以不是僅包括隨機(jī)成分的序列。 趨勢(shì)項(xiàng)指的是水文變量的統(tǒng)計(jì)參數(shù)(主要是均值)的長(zhǎng)期系統(tǒng)性升降，如圖88即存在明顯趨勢(shì)(增長(zhǎng))。一般是由于氣候因子或下墊面因子逐步改變而引起的緩慢變化。對(duì)實(shí)測(cè)水文序列，可用假設(shè)檢驗(yàn)或滑動(dòng)平均的方法查明是否存在趨勢(shì)。若存在趨勢(shì)，呈線性變化時(shí)，常用線性方程擬合，然后從序列中將趨勢(shì)濾掉。跳躍項(xiàng)是指水文序列急劇變化的一種形式， 當(dāng)水文序列從一種狀態(tài)過(guò)渡到另一種狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)出來(lái)。見(jiàn)圖8-9。跳躍是人為或自然原因造成的。如建庫(kù)后面積增大，蒸發(fā)量等損失增加，有可能出現(xiàn)跳躍，并反映在年徑流序列的均值等參數(shù)。突變可看作跳躍的一種

5、特殊情況，如由于地震塌方，攔截江河，形成水庫(kù)以后潰壩，這樣引起流量的突變，隨著臨時(shí)水壩的沖毀，又恢復(fù)到原來(lái)狀態(tài)。 跳躍是否存在于序列中，多用分割樣本的方法檢驗(yàn)。若存在較顯著的跳躍成分，應(yīng)從序列中排除掉，使得剩余序列具有原始狀態(tài)或一致條件。 周期項(xiàng)(含近似周期)是由于天體運(yùn)動(dòng)的周期性影響造成的，如地球公轉(zhuǎn)、自轉(zhuǎn)引起以年和日為周期的變化，以及太陽(yáng)黑子活動(dòng)引起的旱澇多年變化。通?？捎弥C波分析的方法析出，再?gòu)男蛄兄袨V掉。 隨機(jī)成分是由于不規(guī)則及隨機(jī)振蕩引起的，一般由相依成分和純隨機(jī)成分組成。嚴(yán)格地講，幾乎所有水文變量應(yīng)是非平穩(wěn)過(guò)程。不過(guò)除了人為影響及自然災(zāi)變外，水文環(huán)境的變化在數(shù)十年或幾百年期間都相當(dāng)

6、小，因此，從實(shí)用觀點(diǎn)，常把水文序列中的隨機(jī)成分看作平穩(wěn)過(guò)程。圖88序列趨勢(shì)變化示意圖圖89跳躍成分及包含跳躍成分的合成序列四、單站年月徑流隨機(jī)模型的建立 對(duì)年月徑流序列建立隨機(jī)模型一般是對(duì)原始年月徑流序列排除趨勢(shì)跳躍等確定性成分后的隨機(jī)成分而建立的模型。設(shè)用于建模的年徑流序列為，。 徑流序列隨機(jī)模型是實(shí)測(cè)時(shí)間序列一種概化的數(shù)學(xué)式子。目前常見(jiàn)的隨機(jī)模型有：線性平穩(wěn)模型、非線性平穩(wěn)模型，馬爾柯夫模型及非馬爾柯夫模型等。對(duì)年徑流序列而言，常采用線性平穩(wěn)模型或馬爾柯夫模型。 建立隨機(jī)模型的一般步驟為：選擇模型；確定階數(shù)；估計(jì)模型參數(shù) (一)單站年徑流隨機(jī)模型的建立 通常采用線性自回歸模型，即馬爾柯夫模

7、型 1線性自回歸模型的一船形式 （8-15） 第t年的年徑流量，t=1，2，常稱(chēng)式（8-15）的為自回歸系列。序列的平均值；，自回歸系數(shù)或偏相關(guān)系數(shù)，反映在時(shí)間上相依性大小； 模型殘差項(xiàng)，純隨機(jī)成分， 與，無(wú)關(guān)且是獨(dú)立隨機(jī)變量，其均值為0，方差為。 由于與的方差有確定關(guān)系，因此，一般自回歸模型中參數(shù)有：、和，共p十2個(gè)參數(shù)。 該模型說(shuō)明第t年年徑流量?jī)H依賴(lài)于第t一1年、第t一2年、第t一p年的年徑流量和一個(gè)純隨機(jī)變量。 若令，則式(815)變?yōu)椋?(816)式(816)是中心化變量表示的自回歸模型。2模型參數(shù)的估計(jì) （8-19）其中K階樣本自相關(guān)系數(shù)在n較大，K較小時(shí)，計(jì)算公式為 （8-20）

8、據(jù)推導(dǎo) （8-21）在數(shù)學(xué)上序列，一般假定為正態(tài)分布，故不需計(jì)算其偏態(tài)系數(shù)。但對(duì)于具有偏態(tài)的水文系列，一般把當(dāng)作P-型分布，因此還必須估計(jì)的偏態(tài)系數(shù)。 （8-22）（t=P+1，P+2，n）是根據(jù)估計(jì)出的以上P+2個(gè)參數(shù)及觀測(cè)序列，利用公式（8-15）反推得到的。平均值是根據(jù)反推序列利用矩法估計(jì)的。3常見(jiàn)AR（1）及AR（2）模型參數(shù)估計(jì)公式AR（1）模型形式為： （8-23）模型參數(shù)估計(jì)公式為： （8-26）AR（2）模型形式為： （8-31）4模型階數(shù)P的確定對(duì)于AR（P）序列，可以證明：它的自相關(guān)系數(shù)隨滯時(shí)增大而減小，呈拖尾狀，而偏相關(guān)系數(shù)則呈截尾狀，在時(shí)出現(xiàn)一個(gè)截止點(diǎn)，即在時(shí)，當(dāng)時(shí)，。

9、因此從理論上講，可以通過(guò)計(jì)算不同的進(jìn)行模式識(shí)別。例如，當(dāng)從樣本序列估計(jì)在時(shí)具有明顯的截尾現(xiàn)象，那么可以推斷該水文序列即適合于AR（3）模型。但是由于實(shí)際水文樣本容量較小，故統(tǒng)計(jì)量抽樣誤差較大，即使是AR（P）序列，當(dāng)時(shí)，可能并不為零，這樣就難于做直觀判斷，必須進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)推斷方法是：取顯著水平，若，則可接受異于0的假設(shè)。例如，某河流年徑流偏相關(guān)系數(shù)如圖8-10所示，該圖表明，只有超過(guò)95%容許極限，即，故該模型階數(shù)應(yīng)為1，即AR（1）模型。（二） 單站月徑流隨機(jī)模型的建立對(duì)已有n年實(shí)測(cè)月徑流資料的單站通常有兩條途徑建立其月徑流隨機(jī)模型。一是先建立年徑流模型，再通過(guò)建立解集模型把年徑流分解

10、成各月月徑流。解集模型公式為： （8-32）公式中 -各月月徑流流量，；-年徑流量；-模型參數(shù)，反映各月月徑流流量平均分配水平；-1212的參數(shù)矩陣，反映各月之間的相關(guān)關(guān)系程度；-模型殘差項(xiàng)，相互獨(dú)立，可以是正態(tài)或偏態(tài)分布。以上參數(shù)n由年實(shí)測(cè)資料估算。本模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，概念清晰，但因參數(shù)多，故所需實(shí)測(cè)資料較長(zhǎng)。二是直接建立月徑流隨機(jī)模型，通常采用季節(jié)性一階自回歸模型，即假定可用12個(gè)一階自回歸模型來(lái)描述各月月徑流流量及相關(guān)系數(shù)。各月月徑流模型如下： （8-33）公式中-年份，；-月份，；-第年第月的月徑流量；，-第月的月徑流均值和均方差，；-第月和第-1月月徑流之間的相關(guān)系數(shù)，表示第一月和上一年

11、第十二月月徑流量相關(guān)系數(shù)；-第月純隨機(jī)變量，是模型殘差想，可以是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布或標(biāo)準(zhǔn)P-分布，各月之間相互獨(dú)立，且與相互獨(dú)立。以上各有關(guān)參數(shù)可由n年實(shí)測(cè)月徑流資料用矩法估算。若采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則月徑流量也是正態(tài)分布。若采用標(biāo)準(zhǔn)P-分布，則月徑流量為近似P-分布，生成P-分布時(shí)，還需估算的偏態(tài)系數(shù) （8-34）公式中-第月徑流偏態(tài)系數(shù)，時(shí)，表示的是第12月的偏態(tài)系數(shù)，該參數(shù)可用實(shí)測(cè)n年第月月徑流序列估算。五、年月徑流序列的生成（模擬）年月徑流序列模擬涉及到純隨機(jī)變量的生成及由生成年月徑流序列的問(wèn)題。（一） 純隨機(jī)變量隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生純隨機(jī)變量的分布可以是正態(tài)，也可以是偏態(tài)。它的生成一般先生成0，1均

12、勻分布隨機(jī)數(shù)u，再通過(guò)變換生成指定分布的隨機(jī)數(shù)。 1均勻分布隨機(jī)數(shù)的生成 生成方法有隨機(jī)數(shù)表法、物理方法及數(shù)學(xué)方法。由于前兩種方法存在嚴(yán)重缺陷，故常用數(shù)學(xué)方法生成，其中應(yīng)用最廣的是乘同余法。 乘同余法生成隨機(jī)數(shù)遞推公式是： (835) (836) 式(835)、式(836)中為初值，為乘子，為模，它們均為非負(fù)整數(shù)，而且M。是被M整除后的余數(shù)，于是M，故即為0，1上的隨機(jī)數(shù)。 這種方法生成的隨機(jī)數(shù)存在著循環(huán)周期，因此，不是真正意義上的隨機(jī)數(shù)，俗稱(chēng)“偽隨機(jī)數(shù)”。但由于M往往取值很大，周期也很長(zhǎng)，目前微機(jī)上周期可達(dá)109以上，實(shí)用上完全能滿(mǎn)足需要。正因如此，實(shí)際大都使用該法生成0，1均勻分布隨機(jī)數(shù)。

13、不過(guò)使用前要對(duì)生成的隨機(jī)數(shù)作均勻性、獨(dú)立性等檢驗(yàn)。 2正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的生成 通常用BoxMuller變換生成，即 (837)中(837)中，為0，1上的隨機(jī)數(shù)，為相互獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)隨機(jī)數(shù)。對(duì)于任意正態(tài)分布，隨機(jī)數(shù) 生成公式，為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。 3P型分布隨機(jī)數(shù)生利用舍選法生成P型分布隨機(jī)數(shù)，詳見(jiàn)圖8一11。 其中（）為為0，1均勻分布隨機(jī)數(shù)，z為所需生成P型分布隨機(jī)數(shù)。該分布3個(gè)參數(shù)為：均值，離勢(shì)系數(shù)及偏態(tài)系數(shù)。在，已知的情況下，框圖中n、p、a、的計(jì)算公式如下： (838) (839)或 （8-40） （8-41） (二)年月徑流的生成下面僅介紹年徑流生成的方法，月徑流生成的方法類(lèi)同。

14、設(shè)所建立的模型為AR(1)，且參數(shù)已估計(jì)出。其模型為 （8-42）式(842)中分布參數(shù)：均值為0，均方差為、，偏態(tài)系數(shù)為。下面分兩種情況介紹年徑流生成步驟：1. 考慮年徑流為正態(tài)分布這種情況下，為正態(tài)分布，即可認(rèn)為等于0。生成步驟：(1)以或(tl、2、n)為；(2)生成一個(gè)符合的正態(tài)隨機(jī)數(shù)；(3)以及代入式(842)生成一個(gè)年徑流Q1；(4)同步驟(2)，生成一個(gè)；(5)以Q1和代人式(842)，計(jì)算出Q2；(6)重復(fù)上述步驟，可得到一個(gè)很長(zhǎng)生成序列，如容量為的序列；(7)考慮到前50項(xiàng)可能受初值影響，應(yīng)舍去，故剩下年生成的年徑流系列。2考慮年徑流為偏態(tài)分布這種情況一般考慮為P型分布，三個(gè)

15、參數(shù)是：均值（均值為0），方差，偏態(tài)系數(shù)。生成年徑流序列的方法與考慮年徑流為正態(tài)分布時(shí)幾乎一樣，唯一不同的是上述第二步改用了P型分布隨機(jī)數(shù)生成。這樣生成的序列可近似認(rèn)為是P型分布。六、模型及生成系列的檢驗(yàn) 模型檢驗(yàn)是指所選用的模型殘差為獨(dú)立隨機(jī)變量是否成立，分布是否為假定分布。生成序列檢驗(yàn)是指所生成年月徑流序列是否能反映實(shí)測(cè)徑流的統(tǒng)計(jì)特性。 1殘差獨(dú)立性檢驗(yàn)在模型及參數(shù)確定后，根據(jù)實(shí)測(cè)樣本，用式（8-15）可推出殘差序列（t=P+1，n），由序列可計(jì)算其各階自相關(guān)系數(shù)，再對(duì)作獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)。當(dāng)檢驗(yàn)通過(guò)，即滿(mǎn)足獨(dú)立性，說(shuō)明建模時(shí)對(duì)獨(dú)立性假定是成立的，否則要分析產(chǎn)生的原因。若序列存在密切自相關(guān)，應(yīng)

16、考慮使用其他模型。 2生成系列檢驗(yàn) 一般要求生成序列與實(shí)測(cè)序列統(tǒng)計(jì)特征相近。如差異很大，要分析原因，確實(shí)是模型結(jié)構(gòu)問(wèn)題，應(yīng)考慮改變模型。七、實(shí)例紅水河龍灘站年徑流序列生成紅水河龍灘水庫(kù)為一多年調(diào)節(jié)水庫(kù)，壩址處有自19461979年共34年的資料。為了分析工作需要，要求生成年徑流系列。1徑流組成分析經(jīng)過(guò)分析，末發(fā)現(xiàn)有趨勢(shì)、突變、周期等確定成分，故可直接對(duì)實(shí)測(cè)序列建立平穩(wěn)模型。2模型選擇和參數(shù)估計(jì)為了便于選擇模型，已估算了年徑流序列統(tǒng)計(jì)參數(shù)、及自相關(guān)系數(shù)、，見(jiàn)表83及圖812(a)。從圖812(a)可看出，自相關(guān)系數(shù)呈指數(shù)衰減趨勢(shì)，故選用常用的AR(P)模型作為年徑流模型。為了確定模型階數(shù)，計(jì)算了

17、（），互1，2，15)見(jiàn)圖812(b)。從圖中可知，K3時(shí)，超過(guò)置信限范圍，而K3時(shí)，均在置信限范圍內(nèi)，說(shuō)明在K3久可以認(rèn)為是0，因此，應(yīng)選定階數(shù)為3。 模型參數(shù)利用前面介紹的矩法估算，結(jié)果為：一0021，0143，0333，0931。此外，利用實(shí)測(cè)系列僅推出、計(jì)算出的，結(jié)果是接近于0。 3年徑流序列生成 由于很小，故把當(dāng)作正態(tài)分布，即用正態(tài)分布生成，利用三階自回歸模型生成1000F年徑流系列。 4模型及生成系列的檢驗(yàn) (1)對(duì)于反推序列、，求自相會(huì)系數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)可認(rèn)為是獨(dú)立的，因此，模型的假定是成立的。 (2)生成系列的檢驗(yàn)。對(duì)生成1000F年徑流系列計(jì)算、及自相關(guān)系數(shù)、，見(jiàn)表83。通過(guò)對(duì)比發(fā)

18、現(xiàn)兩序列各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)參數(shù)相對(duì)誤差較小。 以上檢驗(yàn)結(jié)果表明，所建模型是可接受的。 總之，徑流隨機(jī)模型是隨著數(shù)學(xué)中隨機(jī)過(guò)程理論和電子計(jì)算機(jī)技術(shù)在水文學(xué)中應(yīng)用而逐漸發(fā)展起來(lái)的，所有各種隨機(jī)模型都是建立在水文現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)特性基礎(chǔ)上，模型中參須基于實(shí)測(cè)資料所提供信息加以估計(jì)，因此，只有深入了解水文現(xiàn)象的特性以及獲得盡能多的可靠信息，才能更有效地使隨機(jī)模型應(yīng)用于工程水文中。圖812龍灘站自、偏相關(guān)函數(shù)示意圖第七節(jié) 設(shè)計(jì)枯水流量分析計(jì)算（未吃透）枯水流量亦稱(chēng)最小流量，是河川徑流的一種特殊形態(tài)?？菟髁客萍s著城市的發(fā)展規(guī)模、灌溉面積、通航的容量和時(shí)間，同時(shí)，也是決定水電站保證出力的重要因素。按設(shè)計(jì)時(shí)段的長(zhǎng)短，枯水流量又可分為瞬時(shí)、日、旬、最小流量。其中又以日、旬、月最小流量對(duì)水資源利用工程的規(guī)劃設(shè)計(jì)關(guān)系最大。一、有實(shí)測(cè)水文資料時(shí)的枯水流量計(jì)算 當(dāng)設(shè)計(jì)代表站有長(zhǎng)系列實(shí)測(cè)徑流資料時(shí)，可按年最小選樣原則選取一年中最小的時(shí)段徑流量，組成樣本系列。 枯水流量常采用不足概率q，即以小于和等于該徑流的概率來(lái)表示，它和年最大選擇的概率P有ql一P的關(guān)系。因此在系列排對(duì)時(shí)按右小到大排列。除此之外，年枯水流量頻率曲線的繪制與時(shí)段徑流頻率曲線的繪制基本相同，也常采用P-型頻率曲線適線。圖8-13為某水文站不同天數(shù)的枯水流量頻率曲線的事例。 年枯水流量頻率由線，在某些河流上，特別是在干旱半干旱地區(qū)的中小河流上，還會(huì)出現(xiàn)