均勻化理論和多尺度方法

1、高等復合材料力學 Advanced Mechanics of Composite Materials 陳玉麗陳玉麗 航空科學與工程學院航空科學與工程學院 6.1 6.1 引言引言 在考察實際復合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時，由于熱在考察實際復合材料微結(jié)構(gòu)狀態(tài)變量和材料系數(shù)的演化時，由于熱 載荷和機械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面，所以研究采用的細觀力學模載荷和機械載荷都是施加在宏觀結(jié)構(gòu)層面，所以研究采用的細觀力學模 型必須能夠把細觀響應和宏觀行為聯(lián)系起來。型必須能夠把細觀響應和宏觀行為聯(lián)系起來。 單胞模型通過在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個代表性體積單元單胞模型通過在非均勻結(jié)構(gòu)中提取出一個代表性體

2、積單元(RVE)從而從而 可以求得有效的材料響應和演化過程。這里假設微結(jié)構(gòu)是周期性重復排可以求得有效的材料響應和演化過程。這里假設微結(jié)構(gòu)是周期性重復排 列的單胞，與復合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種列的單胞，與復合材料的宏觀尺寸相比，它的不均勻性是很小的，此種 類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復合材料類型的材料被稱作具有周期性微觀結(jié)構(gòu)的復合材料（第三章（第三章 ） 。但是，。但是， 單胞法還是存在許多不足。周期性假設用于預測最優(yōu)材料性能非常有效，單胞法還是存在許多不足。周期性假設用于預測最優(yōu)材料性能非常有效， 然而然而實際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)上不

3、同實際的非均勻材料很少具有完全的周期性微結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)上不同 的點可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。的點可能具有不同的微結(jié)構(gòu)形態(tài)。這種假設在處理這種假設在處理復雜載荷條件復雜載荷條件下非線下非線 性非均勻結(jié)構(gòu)變形問題時也存在不足。為了解決上述問題，單胞模型應性非均勻結(jié)構(gòu)變形問題時也存在不足。為了解決上述問題，單胞模型應 該包含大的區(qū)域，采用大的模型。該包含大的區(qū)域，采用大的模型。 2 6.1 6.1 引言引言 20世紀世紀70年代，學者們在研究非均勻材料時引入了一種替代的數(shù)學年代，學者們在研究非均勻材料時引入了一種替代的數(shù)學 方法，方法，Benssousan和和Sanchez-Palencia等稱之為

4、等稱之為均勻化理論均勻化理論。這種方法用。這種方法用 于分析具有于分析具有兩個或者多個尺度兩個或者多個尺度的物質(zhì)系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的的物質(zhì)系統(tǒng)，它可以把含有第二相空間的 細觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來。細觀尺度和整體結(jié)構(gòu)上的宏觀尺度聯(lián)系起來。 通過對位移和應力場進行通過對位移和應力場進行漸進展開漸進展開以及適當?shù)淖兎衷?，均勻化方以及適當?shù)淖兎衷?，均勻化?法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個尺度上法不僅可以求出等效的（均勻化）材料常數(shù)，而且可以得到兩個尺度上 的應力和應變分布。相對于單胞法，這種方法的優(yōu)點在于的應力和應變分布。相對于單胞法，這種方法的優(yōu)

5、點在于不必作全局的不必作全局的 周期性假設周期性假設，在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而，這種分，在宏觀結(jié)構(gòu)的不同點可以有不同的微結(jié)構(gòu)。然而，這種分 析通過引入空間重復排列單胞作了析通過引入空間重復排列單胞作了局部周期性假設局部周期性假設。 Toledano和和Murakami，Guedes和和Kikuchi以及以及Devries等成功地把有限等成功地把有限 元方法和均勻化方法結(jié)合起來用于分析復合材料的線彈性問題。在這些元方法和均勻化方法結(jié)合起來用于分析復合材料的線彈性問題。在這些 研究當中，通過計算機模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應力和應變場得到了全局的研究當中，通過計算機模擬宏觀結(jié)構(gòu)的平均應力

6、和應變場得到了全局的 響應，同時借助局部應力和應變場的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。響應，同時借助局部應力和應變場的描述得到了微結(jié)構(gòu)的行為。 3 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 4 一具有周期性結(jié)構(gòu)的復合材料彈性體一具有周期性結(jié)構(gòu)的復合材料彈性體 ，受體力，受體力f，邊界，邊界 t 上受表面力上受表面力t，邊界，邊界 u 上給定位移邊界條件。上給定位移邊界條件。宏觀某點宏觀某點 x 處的細處的細 觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復堆積而成。觀結(jié)構(gòu)可以看成是非均勻單胞在空間中周期性重復堆積而成。 單胞的單胞的尺度尺度 y 相對于宏觀幾何尺度為小量。相對于宏觀幾何尺度為小量。 x f t

7、 u y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 5 04321 04321 x y=x/ 01 宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 例如：例如：宏觀尺度為宏觀尺度為 m，微觀尺度為微觀尺度為 nm， = 10-9 實際為實際為 1m 的尺寸，即的尺寸，即 x=1 (m)， 在微觀尺度下在微觀尺度下 y=x/= 109 (nm) 實際為實際為1nm的尺寸，即的尺寸，即 y=1 (nm)，在宏觀尺度下，在宏觀尺度下 x=y= 10-9 (m) y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 6 對于非均勻的復合材料，當宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時，位移對于非均勻的復合材料，當宏觀結(jié)構(gòu)受外部作用時，位移

8、和應力等結(jié)構(gòu)場變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時由于細和應力等結(jié)構(gòu)場變量將隨宏觀位置的改變而不同。同時由于細 觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性，使得這些結(jié)構(gòu)場變量在宏觀位置觀結(jié)構(gòu)的高度非均勻性，使得這些結(jié)構(gòu)場變量在宏觀位置 x 非非 常小的鄰域常小的鄰域 內(nèi)也會有很大變化。因此所有變量都假設依賴于內(nèi)也會有很大變化。因此所有變量都假設依賴于 宏觀與細觀兩種尺度，即：宏觀與細觀兩種尺度，即： , xx yy = x 上標上標 表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。表示該函數(shù)具有兩尺度的特征。 , x yx y+Y Y-周期性：微觀單胞的周期為周期性：微觀單胞的周期為Y 6.2 6.2 多尺度模型多尺度模型 7 在在 中

9、，彈性張量中，彈性張量 和柔度張量和柔度張量 分別為分別為 假設應力場和位移場都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，有假設應力場和位移場都滿足平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程，有 其中其中 是細觀坐標系是細觀坐標系 y 中的具有中的具有 Y-周期的位移場。周期的位移場。 同時，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足同時，在給定力邊界和給定位移邊界分別滿足 ijkl E ijkl S ( )( , )in ijklijkl EE xx y( )( , )in ijklijkl SS xx y , in ij ji f 1 in 2 kl kl lk uu e xx in ijijklkl E e ( ,

10、) uu x y on ijjit nt on iiu uu 均勻化方法均勻化方法 8 3 3）以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法）以傅里葉變換為基礎(chǔ)的多尺度方法 2 2）泰勒）泰勒級數(shù)近似法（級數(shù)近似法（Taylor Series Approximation） 1 1）漸進展開漸進展開法法（Asymptotic expansion） 6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法 9 在均勻化理論中，在均勻化理論中， Y-周期位移場可以近似為宏觀坐標周期位移場可以近似為宏觀坐標 x 的展開式，的展開式， 漸進展開漸進展開是其中比較常用的一種展開方法中，其展開形式為：是其中比較常用的一種展開方法中，其展開形

11、式為： 0122 ( , )( , )( , ), x uxux yu x yux yy 1 , iii xxy x x y 注意到任意一個依賴于兩個尺度的函數(shù)注意到任意一個依賴于兩個尺度的函數(shù) 對宏觀坐標對宏觀坐標 x 的偏微分為的偏微分為 000011 11222233 2 10 11 1 22 1 , klklklkl kl lklklklk klklklkl lklklklk klkl uuuuuuuu e xxyyxxyy uuuuuuuu xxyyxxyy ee x yx 122 , klkl eeyx yx y 應變張量應變張量 Asymptotic expansion 6.3

12、6.3 漸進展開法漸進展開法 10 代入本構(gòu)方程，可得應力場的漸進展開式：代入本構(gòu)方程，可得應力場的漸進展開式： 其中其中 10122 1 , klklklklkl eeeee x yx yx yx y 將應力的漸進展開式代入平衡方程，有將應力的漸進展開式代入平衡方程，有 10122 1 , klklklklkl x yx yx yx y ,1,0,1,2 nn ijijklkl E en x y 1100 1122 2 , 111 , 11 0 jjjj jjjj ijijijij ijijijij i xyxy f xyxy x yx yx yx y x yx yx yx y 6.3 6.

13、3 漸進展開法漸進展開法 11 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 1 2 10 1 01 0 12 1 1 , :0 , :0 , :0 , :0 , :0,1,2,3 j jj jj jj jj ij ijij ijij i ijij nn ijijn O y O xy Of xy O xy On xy x y x yx y x yx y x yx y x yx y （1 1） （2 2） （3 3） 6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法 12 根據(jù)根據(jù)Y-周期性，可以證明（周期性，可以證明（Devries et al.

14、1989） 0 0 k ijkl jl u E yy 可以得到可以得到 00 ( )uux 1 0 ij （2）式 0 0 ijj y 01 0 kk ijkl jll uu E yxy （1）式 0 0 kl k ijij l u x y ( ) 0 kl ij j y y ( ) kl pklkl ijijpmpm m ET y y 其中其中 0 1 ( )kl k ii l u u x y 1 () 2 kl ijikjliljk T 細觀平衡方程細觀本構(gòu)方程 1 10 01 0(1) 0(2) 0(3) j jj jj ij ijij ijij i y xy f xy 6.3 6.3

15、漸進展開法漸進展開法 13 在在Y 內(nèi)積分，有內(nèi)積分，有 0 0 kl k ijij l u x y 0 0 k ijijkl l u E x H 1 klkl ijklijij Y EdY Y H y 均勻化彈性常數(shù) （3）式 0 0in ij i j f x 1 10 01 0(1) 0(2) 0(3) j jj jj ij ijij ijij i y xy f xy 均勻化的宏觀平衡方程 0 0 in, on,on ij k iijijkl jl ijjitiiu u fE xx ntuu H 0 令令 宏觀彈性問題的解 6.3 6.3 漸進展開法漸進展開法 14 x y=x/ 宏觀宏觀

16、 微觀微觀 尺尺 度度 z=x/2 對位移漸進展開對位移漸進展開 0122 uuuu 代入平衡方程代入平衡方程 , 0 ij ji f 得到控制方程得到控制方程 不同階系數(shù)為零 得到均勻化方程得到均勻化方程 利用周期邊條化簡控制方程 動態(tài)問題怎么辦？動態(tài)問題怎么辦？ 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 15 彈性動力學問題彈性動力學問題: , 0 iij j u 012 2 , , , , , iiii tuuuttutx yx yx yx y 1 ( , , )( , , ) n i i i x y tx y t 0 ( , , )( , , ) n i i i u

17、 x y tu x y t 參考文獻：Fish, J. and Chen, W. (2001). Higher-Order Homogenization of Initial/ Boundary-Value Problem. J. Eng. Mech., 127(12), 12231230. 1 ;,xxy uuu ;x eu Ee x y=x/ 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 16 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 2 0, , 1 0,0,1, , ,1,1,2, , :0 :0 :0 0,

18、1,2,3, y y yxy yxy i ii xiyixiy xy OEu OEuEuEu OuE uuE uu in 10, ,1, 0,1,2,3, y ii xiy Eu E uuin 不同階的應力為不同階的應力為： 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 17 2 0, , :0 y y OEu 00 ,uUx t dy 0, , 0 y y Eu 0 u 2 00,0, 0 d0 yy uEuE uy 00,0,0, , dd0 yyy y uEuyuEuy 0 0, 0 y u 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 18 2 0, ,

19、 :0 y y OEu 00 ,uUx t 1 0,0,1, , :0 yxy yxy OEuEuEu 110, , x uUx tL y U 00, 1 xy UEL 0,1, , 0 xy y E Uu 110, , , x ux y tUx tL y U 線性問題通解：線性問題通解： 代入原式得：代入原式得： , , 10 y y EL 00, 1 xy UEL 1100 00yyyy uu 1100 00 yyyy uu 11 ( , , )( , )( )0u x y tU x tL y 如何求解如何求解 L(y) ？ 提示：提示： 1. 周期性（周期性（Periodicity）：）

20、： 2. 連續(xù)性（連續(xù)性（Continuity）：）： 3. 正交性（正交性（Normalization）：）： 請求出請求出L(y)（分段表達），進而求出（分段表達），進而求出 , 1 y EL 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 19 2 0, , :0 y y OEu 00 ,uUx t 1 0,0,1, , :0 yxy yxy OEuEuEu 110, , x uUx tL y U 00, 1 xy UEL 12 , 12 1 1 Hy E E EEL EE 0 0,1,1,2, , :0 ixyxy xy OuE uuE uu 12 1 H 00, 0 H

21、Hxx UE U 均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問題是一致的。因此，均勻化后的材料性質(zhì)與靜態(tài)問題是一致的。因此，0階問題是無色散階問題是無色散 的。為了反映波的色散效應（的。為了反映波的色散效應（dispersion effect），必須考慮更高階的項。），必須考慮更高階的項。 請證明請證明 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 20 : O 2 :O 2 2 2 1122 2 2 12 1 121 H d H EEE E EE 11, 0 HHxx UE U 其中，其中，Ed 表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。表征了非均勻?qū)暧^行為的影響。 Ed具有如下特性：具有如下特性： 1

22、）正比于單元尺寸的平方；）正比于單元尺寸的平方； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Ed =0。 右端力項正比于宏觀應變梯度，梯度越小，右端項越小。右端力項正比于宏觀應變梯度，梯度越小，右端項越小。 22,0,HHxxdxxxx UE UE U 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（1 1） 21 3 :O 4 :O 2 2 4 1122 12124 4 12 1 , 3601 H g H EEE Ef E E EE 其中，其中，Eg表征了微觀結(jié)構(gòu)對宏觀行為的影響。表征了微觀結(jié)構(gòu)對宏觀行為的影響。 Eg具有如下特性：具有如下特性： 1）強依賴于單元尺寸；）強依賴于單元

23、尺寸； 2）均勻材料（）均勻材料（=0 或或 =1） Eg =0。 如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應可以忽略。如果材料的非均勻尺度很小，則色散效應可以忽略。 若若 ，界面沒有反射，則波不發(fā)生色散。，界面沒有反射，則波不發(fā)生色散。（物理角度）（物理角度） 44,2,0,HHxxdxxxxgxxxxxx UE UE UE U 33,1,HHxxdxxxx UE UE U 1122 EE 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2） 22 01 空 間 尺 度 04321 04321 x y=x/ 宏觀尺度：宏觀尺度： 微觀尺度：微觀尺度： 時 間 尺 度 04321 04321

24、 =2t = t 慢尺度：慢尺度： 快尺度：快尺度： 彈性動力學問題彈性動力學問題: , 0 iij j u 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2） 23 彈性動力學問題彈性動力學問題: , 0 iij j u 012 2 , , , , , , , , , iiii uuuu x yx yx yx y 1 ( , , , )( , , , ) n i i i x yx y 0 ( , , , )( , , , ) n i i i u x yu x y 參考文獻：Fish, J. et. al. (2002). Non-local dispersive model for

25、 wave propagation in heterogeneous media: one-dimensional case. Int. J. Numer. Meth. Engng, 54, 331346. 1 ;, 2 ;, xxy t uuu uuu ;x eu Ee x y=x/ 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2） 24 令令 i (i=-2,-1,0,1) 的系數(shù)為零，得到一系列控制方程：的系數(shù)為零，得到一系列控制方程： 2 0, , 1 0,1, , 0 0,0,1,1,2, , 1 1,1,2,2,3, , 2 2,0,2,3,3,4, , :0 :0 :

26、0 :0 :20 y y xy y xyxy xy xyxy xy xyxy xy OEu OE uu OuE uuE uu OuE uuE uu OuuE uuE uu 6.4 6.4 含時間的漸進展開（含時間的漸進展開（2 2） 25 2 0, , :0 y y OEu 1 0,1, , :0 xy y OE uu 12 , 12 1 1 Hy E E EEL EE 0 0,0,1,1,2, , :0 xyxy xy OuE uuE uu 12 1 H 0,0, 0 HHxx UE U 1 :O 2 :O 1,1, 0 HHxx UE U 2,2,0,0, 2 1 2 HHxxdxxxxH

27、 UE UE Uu 2 2 2 1122 2 2 12 1 121 H d H EEE E EE 高等復合材料力學 Advanced Mechanics of Composite Materials 高等復合材料力學 Advanced Mechanics of Composite Materials 第一章第一章 緒論緒論+張量基礎(chǔ)張量基礎(chǔ) 復合材料力學的三個重要特征、各向異性本構(gòu) 張量的基本概念、愛因斯坦求和約定 符號ij與erst 坐標與坐標轉(zhuǎn)換 張量的分量轉(zhuǎn)換規(guī)律，張量方程 張量代數(shù)，商法則 常用特殊張量，主方向與主分量 張量函數(shù)及其微積分、高斯公式（散度定理） 高等復合材料力學 Advanced Mechani