直線與圓相切

1、 (1)利用圓心到直線的距離利用圓心到直線的距離d與半徑與半徑r的大小關(guān)系判斷：的大小關(guān)系判斷： 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判定方法：的判定方法： 22 ba cbbaa d d r d = r d 0) (2).利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷： n rbyax cbyax 的解的個(gè)數(shù)為的解的個(gè)數(shù)為設(shè)方程組設(shè)方程組 222 )()( 0 0 直線與圓相離直線與圓相離 直線與圓相切直線與圓相切 直線與圓相交直線與圓相交 n=0 n=1 n=2 例例1、 已知圓的方程是已知圓的方程是 ,求經(jīng)求經(jīng) 過圓上過圓上 一點(diǎn)一點(diǎn) 的切線的切線 l 的方程的

2、方程. 4 22 yx )3, 1(m )3, 1 (m y x o 3 kom 3 3 l k l的方程為的方程為 1 3 3 3 xy 043 yx即即 43 yx 整理的整理的 03433 yx x y 0 ),( 00 yxm )( 00 xxkyy 解解、如如圖圖設(shè)設(shè)切切線線方方程程為為 0 0 x y kom om 的的斜斜率率為為半半徑徑 0 0 y x kom 垂垂直直于于圓圓的的切切線線，所所以以因因 )( 0 0 0 0 xx y x yy 切線方程為切線方程為 2 0 2 000 yxyyxx 整整理理得得， 22 0 2 0 ryx 2 00 ryyxx 所所求求圓圓的

3、的切切線線方方程程為為 例例2、已知圓的方程是、已知圓的方程是 ，求證：經(jīng)過，求證：經(jīng)過 圓上圓上 一點(diǎn)一點(diǎn) 的切線的方程為的切線的方程為 x0 x+y0y=r2 222 ryx ),( 00 yxm 經(jīng)過圓經(jīng)過圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn) 的切線的方程：的切線的方程： 222 ryx ),( 00 yxm x0 x +y0 y = r2 過圓過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)上一點(diǎn)m(x0 ,y0)的切線方程為：的切線方程為： (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 歸納小結(jié)：歸納小結(jié)： p 解：當(dāng)直線解：當(dāng)直線l垂直于垂直于x軸時(shí)軸時(shí),直線直線l:x=2與圓相切與圓相切,滿足條件

4、滿足條件. 例例3：過圓外一點(diǎn)過圓外一點(diǎn) p(2,3) 向圓向圓 做切線做切線, 求過該點(diǎn)的切線方程求過該點(diǎn)的切線方程. 1 11 22 yx 當(dāng)直線當(dāng)直線l不不垂直垂直x軸時(shí)軸時(shí),可設(shè)直線的可設(shè)直線的 023 23 kykx xky 即即 因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心(1,1)到直線到直線 l的距離等于圓的半徑的距離等于圓的半徑,故故 1 1 231 2 k kk 解得解得 4 3 k 因此因此,所求直線的方程為所求直線的方程為 x=2或或 3x-4y+6=0 y x o . c . . 12 1 求經(jīng)過圓外一點(diǎn)求經(jīng)過圓外一點(diǎn)m（x0,y0）的切線的方程）的切線的方程

5、 常用求法簡介常用求法簡介(首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系首先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系) 00 1(), ( ). yyk xx k 法 ：設(shè)直線為化為一般式， 由圓心到該直線的距離等于半徑,求注意k不 存在的情況 00 2(), 0( ). yyk xx k 法 ：設(shè)直線為代入圓的方程， 消元為一元二次方程，由,求出注意k不存 在的情況 點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外 點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi) 切線有切線有兩兩 條條 切線有切線有一一 條條 切線有切線有零零 條條 例例4、求以、求以c(1,3)為圓心，并且和直線為圓心，并且和直線3x-4y-7=0 相切的圓的方程。相切的圓的方程。 解：因圓解：因圓c和直

6、線和直線3x-4y-7=0相切，相切， 所以圓心到直線的距離等于半徑所以圓心到直線的距離等于半徑r， 22 3 1437 16 5 3( 4) r 因此，所求的圓的方程是因此，所求的圓的方程是 22256 13 25 xy rpc lpc c x y o r p c )2 , 3(p 例例5. 自點(diǎn)自點(diǎn)a(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求入射光線求入射光線l 所在直線的方程所在直線的方程. 題意分析題意分析 b(-3，-3) a(-3，3) c(2, 2

7、) (1)入射光線及反射光線與入射光線及反射光線與 x軸軸夾角夾角相等相等. (2)點(diǎn)點(diǎn)p關(guān)于關(guān)于x軸的軸的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)q在在 反射光線所在的直線反射光線所在的直線l 上上. (3)圓心圓心c到到l 的距離等于的距離等于 圓的半徑圓的半徑. 答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=0 段段長長）作作圓圓的的切切線線，求求切切線線，（過過點(diǎn)點(diǎn)、圓圓例例30, 9) 2(:6 22 ayxc x y a c p 所引的切線長度最小。所引的切線長度最小。點(diǎn)向圓點(diǎn)向圓由由 ，使得，使得上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)變式、在直線變式、在直線 04 032 22 xyxp pyx p c m p m

8、 b 4.4.已知點(diǎn)已知點(diǎn)p p（x x，y y）是直線）是直線kxkx+ +y y+4=0 (+4=0 (k k0)0)上一動(dòng)上一動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn)，papa、pbpb是圓是圓c c：x x2 2+ +y y2 2-2-2y y=0=0的兩條切線，的兩條切線，a a、 b b是切點(diǎn)，若四邊形是切點(diǎn)，若四邊形pacbpacb的最小面積是的最小面積是2 2，則，則k k的的 值為值為 （ ） a. b. c.2 d.2a. b. c.2 d.2 2 2 21 2 解析解析 圓圓c c的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為x x2 2+(+(y y-1)-1)2 2=1,=1, 圓心圓心c c（0 0，1 1），半徑為

9、），半徑為1 1，| |pcpc| |2 2=|=|papa| |2 2+1.+1. 又又s s四邊形 四邊形pacbpacb=2 =2 | |papa| |1=|1=|papa| |， 當(dāng)當(dāng)| |papa| |最小時(shí)，面積最小，而此時(shí)最小時(shí)，面積最小，而此時(shí)| |pcpc| |最小最小. . 又又| |pcpc| |最小為最小為c c到直線到直線kxkx+ +y y+4=0+4=0的距離的距離 面積最小為面積最小為2 2時(shí)，有時(shí)，有2 22 2= = 解得解得k k=2=2（k k0 0）. . 2 1 , 1 5 2 k d , 1 1 5 2 2 k 答案答案 d 將點(diǎn)將點(diǎn)(1,-7)(

10、1,-7)改為改為(5,-7),(5,-7),求切線方求切線方程程? 若改為若改為(5,-5)(5,-5)呢呢? ? 若改為若改為(3,4)(3,4)呢呢? ? )7, 5( )5, 5( )4 , 3( 題型小結(jié)：過一點(diǎn)求圓的切線方程，題型小結(jié)：過一點(diǎn)求圓的切線方程， 應(yīng)先判斷點(diǎn)與圓的位置應(yīng)先判斷點(diǎn)與圓的位置，若點(diǎn)在圓上，若點(diǎn)在圓上， 切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線有切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線有 兩條，設(shè)切線方程時(shí)注意兩條，設(shè)切線方程時(shí)注意分斜率存在分斜率存在 和不存在討論和不存在討論，避免漏解。，避免漏解。 變式變式2 2、 pa的方程為的方程為 r yy xx 2 1 1 pb的方程

11、為的方程為 r yy xx 2 2 2 則有則有ryyxx 2 01 01 r yy xx 2 02 02 可知可知a點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線 r yy xx 2 0 0 b點(diǎn)在直線點(diǎn)在直線 r yy xx 2 0 0 所以所以ab的方程為的方程為 r yy xx 2 0 0 y x y x ba 2 2 1 1 ,解：解：設(shè)設(shè) 過圓外一點(diǎn)過圓外一點(diǎn) 向圓向圓 做切線做切線,切于切于a、b兩兩 點(diǎn)點(diǎn),求過求過a、b的直線方程的直線方程 . y x p 0 0 , r y x 2 2 2 p a b x y o c )6 , 9(b a(4,-1) )3 , 3(a )3, 3( 1 a c 例例2：求

12、過圓：求過圓x2 + y2 +2x 外一點(diǎn)外一點(diǎn)p(-3,-2)的圓切線方程。的圓切線方程。 解：設(shè)所求直線為（）解：設(shè)所求直線為（） 代入圓方程使代入圓方程使； 即所求直線為即所求直線為 提問：提問： 上述解題過程是否存在問題上述解題過程是否存在問題？ x=-3是圓的另一條切線是圓的另一條切線 3 4 練習(xí)：求過練習(xí)：求過m（4，2）且與圓）且與圓 相切的直線方程相切的直線方程. 22 860 xyxy y=2 二、相切二、相切 題型一：求切線方程題型一：求切線方程 已知切線上的一個(gè)點(diǎn)已知切線上的一個(gè)點(diǎn) 點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外 已知切線的斜率已知切線的斜率 的方程）的切線，（求過

13、點(diǎn)已知layxc13, 4)2(:. 1 22 分析：點(diǎn)分析：點(diǎn) 是怎樣的位置關(guān)系？是怎樣的位置關(guān)系？ca與 點(diǎn)在圓上，即點(diǎn)在圓上，即a為圓的切點(diǎn)為圓的切點(diǎn) 法一：法一： lca 3 3 ca k3 l k 切線方程為：切線方程為：023)3(31yxxy即 法二：圓心到切線的距離等于半徑法二：圓心到切線的距離等于半徑 設(shè)斜率為設(shè)斜率為k)3(1:xkyl 2 1 13 2 k k 3k x y a c 變式：變式： 想一想：法一還能用嗎？為什么？想一想：法一還能用嗎？為什么？ 不能，不能，a點(diǎn)在圓外，不是切點(diǎn)，點(diǎn)在圓外，不是切點(diǎn)， 設(shè)切線設(shè)切線 的斜率為的斜率為kl)2(5:xkyl 圓心到

14、切線的距離等于半徑圓心到切線的距離等于半徑2 1 32 2 k k 12 5 k得： 050125:yxl即： 請(qǐng)你來請(qǐng)你來 找茬找茬 分析：從形的角度看：分析：從形的角度看： 兩條兩條 那為什么會(huì)漏解呢？那為什么會(huì)漏解呢？ 沒有討論斜率不存在的情況沒有討論斜率不存在的情況 錯(cuò)解：錯(cuò)解： 正解：正解： 斜率不存在時(shí)，直線為 1 2x是圓的一條切線是圓的一條切線 斜率不存在時(shí)，同上 2 題型小結(jié)：過一個(gè)點(diǎn)求圓的切線方程，題型小結(jié)：過一個(gè)點(diǎn)求圓的切線方程，應(yīng)先判斷點(diǎn)與圓的位置應(yīng)先判斷點(diǎn)與圓的位置， 若點(diǎn)在圓上，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線有兩條，設(shè)切若點(diǎn)在圓上，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線有兩

15、條，設(shè)切 線方程時(shí)注意線方程時(shí)注意分斜率存在和不存在討論分斜率存在和不存在討論，避免漏解。，避免漏解。 的方程）的切線，（求過點(diǎn)已知layxc52, 4)2(: 22 過圓外一點(diǎn)作圓的切線有幾條？過圓外一點(diǎn)作圓的切線有幾條？ x ya c 練習(xí)練習(xí).已知圓已知圓c： ， 過過p （1，0），作圓），作圓c的切線，切點(diǎn)的切線，切點(diǎn)a,b， 1)2( 22 yx （1）求直線）求直線pa、pb的直線方程；的直線方程； （2）求弦長）求弦長 ab x y a b p c 解解（1） 若若k存存 在：在：設(shè)設(shè) 直線直線pa： )1(xky 1 1 2 2 k k d 4 3 k 若若k不存在不存在，pb：x1 半徑半徑r1，pc= ，pb2 5（2）利用等面積利用等面積： 5 54 2 1 22 1 abbpbc ab pc 例例5. 自點(diǎn)自點(diǎn)a(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求反射光線所在直線的方程求反射光線所在直線的方程. b(-3，-3) a(-3，3) c(2, 2) 例題例題. 自點(diǎn)自點(diǎn)a(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，