空間任意力系的簡(jiǎn)化)

1、1 第第3章章 空間任意力系空間任意力系 2 工程中常常存在著很多各力的作用線不在同一平面內(nèi)的力 系，即空間力系，空間力系是最一般的力系。 (a)圖為空間匯交力系；(b)圖為空間任意力系； (b)圖中去了風(fēng)力為空間平行力系。 迎 面 風(fēng) 力 側(cè) 面 風(fēng) 力 b 3-1.空間任意力系的實(shí)例 3 一、定義一、定義 為了度量力使物體繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，引用 力對(duì)軸的矩。 圖示門，求力 對(duì)z （矩軸）的矩。 z F F 將力分解： 3-2 3-2 力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩 A xyF zF O d z 軸 z 軸 ZF xyF Mz(F) = MO(Fxy) =Fxyd =2OAB面積 于是：于是： 4 即

2、力即力 與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零與軸共面時(shí)，力對(duì)軸之矩為零。 結(jié)論結(jié)論：力對(duì)軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的分力 對(duì)此軸與這個(gè)平面交點(diǎn)的矩。 （1）力對(duì)軸的矩是代數(shù)量。 正負(fù)號(hào)規(guī)定：右手螺旋法則。 （2）若力與軸空間垂直，則 無須分解。 （3）若 / z 軸 與z軸相交 F F F （4）力沿作用線移動(dòng)，力對(duì)軸的矩不變。 說明: 5 z a b Fxy d Mo(F) P o B A F |Mo(F)| =2OAB面積 Mz(F) = Fxyd =2oab面積 二、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系二、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸之矩的關(guān)系 oab面積 = OAB 面積cos 2oa

3、b面積 = 2OAB面積 Mz(F) = |Mo(F)|cos Mz(F) = Moz(F) cos 力對(duì)任一點(diǎn)的力矩矢在對(duì)過此點(diǎn)的任一軸 上的投影,等于此力對(duì)該軸的矩. 6 沿坐標(biāo)軸的正向引入單位矢量i,j,k Mo(F) = i Mox(F)+ j Moy(F)+ k Moz(F) = i Mx(F)+ j My(F)+ k Mz(F) 則: y Mo(F) P o B A F x z 7 Mx(F) = Mx(Fi) My(F) = My(Fi) Mz(F) = Mz(Fi) 合力矩定理: 力對(duì)任一軸的矩等于各分力對(duì)同 一軸的矩的代數(shù)和。 8 力對(duì)軸的矩的計(jì)算方法： （1）定義法； （2

4、）合力矩定理。 例例3-1 已知P=20N， 求 P 對(duì)z軸的矩。 解解：方法一：定義法 dP)P(m)P(m xy xy Oz 205. 05 . 020d60cosP 0 mN 2 2 9 例題3-2.設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直 于AB, AB垂直于BD ,如圖所示.在曲桿D點(diǎn)上作用 一力P,其大小為 p=2kN.力P位于垂直于BD的平面 內(nèi),且于豎直線成夾角 = 30o .求力P分別對(duì)圖示直 角坐標(biāo)軸的矩. x z y o A B D 3cm 4cm 5cm P 10 P x z y o A B D 3cm 4cm 5cm 解: 根據(jù)力對(duì)軸的矩的定義計(jì)算 M1 o Pyz

5、d1 作和x軸垂直的平面M1. 找出交點(diǎn)O. 確定力P在平面 M1內(nèi)的分力 Pyz=1.732 kN. 在平面M1內(nèi)確定 力Pyz到矩心O的距 離即力臂d1=8cm 計(jì)算力Pyz對(duì)點(diǎn)A的矩亦即力P對(duì)x軸的矩 Mx(P) = Mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kNcm 11 作和y軸垂直的平面M2. P x z y o A B D 3cm 4cm 5cm 確定力P在平面M2 內(nèi)的分力Pxz=P=2kN. 在平面M2內(nèi)確定 力Pxz到矩心O的距 離即力臂d2=3.464cm 計(jì)算力Pxz對(duì)點(diǎn)O的矩亦即力P對(duì)y軸的矩 My(P) = Mo(Pxz) = - Pxz d2 = -

6、6.928 kNcm M2 P d2 亦可用合力矩定理計(jì)算: My(P) = Mo(Pz) = - P z d = -6.928 kNcm 找出交點(diǎn)O. o 12 P x z y o A B D 3cm 4cm 5cm 作和z軸垂直的平面M3. o 找出交點(diǎn)O. 確定力P在平面M3 內(nèi)的分力Pxy=1kN. 在平面M3內(nèi)確定 力P到矩心O的距 離即力臂d3=8cm 計(jì)算力Pxy對(duì)點(diǎn)O的矩亦即力P對(duì)z軸的矩 Mz(P) = Mo(Pxy) = - Pxy d2 = -8 kNcm Pxy M3 d2 13 例題3-3.力F作用在邊長(zhǎng)為a的立方體上如圖所示. 求力F對(duì)各軸之矩. o A B C B

7、 C A O F 14 解: o A B C B C A O F 力F的作用線與AO, AO, BC平行.與BC重合. MAO(F) = MAO(F) = MBC(F) = MBC(F) = 0 15 力F的作用線與AB, o A B C B C A O F CO, BB和CC相交. MAB(F) = MCO(F) = MBB(F) = MCC(F) = 0 16 求力F對(duì)AA 、 OO 、 AA 和OO軸之矩. MAA(F) = MOO(F) = a F MAA(F) = MOO(F) = - a F o A B C B C A O F 17 求力F對(duì)AB、OC、BA和CO軸之矩. MAB(

8、F) = - a F MBA(F) = a F o A C C A O B F B MOC(F) = - a F MCO(F) = a F 18 3-4.空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化 (1)主矢與主矩 力線平移定理: 作用于剛體上的一力F,可以 平行移動(dòng)到剛體上的任一點(diǎn)O.但必須同時(shí)在此 力線與O所決定的平面內(nèi)附加一力偶,此附加力 偶矢的大小和方向等于力F對(duì)O點(diǎn)的矩矢的大小 和方向. 設(shè)一剛體受空間任意力系F1 ,F2 Fn作用, 各力作用點(diǎn)分別為A1 ,A2 An . 19 在剛體內(nèi)任取一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心,應(yīng)用力線平移定 理,依次將各力平移到點(diǎn)O即得到一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中 心O的空間匯交力系 F1 ,

9、 F2 Fn和一個(gè)由力 偶矩矢分別為M1 ,M2 Mn的附加力偶所組成的空間 力偶系. A1 A2 An F1 F2 Fn O x y z M1 M2 Mn F1 F2 Fn O x y z 20 其中: F1 = F1 , F2 = F2 , Fn = Fn M1 = Mo(F1), M2 = Mo(F2), Mn = Mo(Fn) 空間匯交力系 F1 , F2 Fn可合成為作用在 O點(diǎn)的一個(gè)力矢量FR ,稱為原力系的主矢. FR = Fi = Fi 由力偶矩矢分別為 M1 , M2 Mn 的附加力偶 所組成的空間力偶系可合成為一個(gè)力偶 , 其力 偶矩矢Mo稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩. Mo

10、 = Mi = mo(Fi) 21 結(jié)論: 空間任意力系向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化, 一般可得到 一個(gè)力和一個(gè)力偶. 這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心, 它的 矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢 量和; 這個(gè)力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn) 化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的 主矩. 主矢FR只取決于原力系中各力的大小和方向, 與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān) ;而主矩 Mo 的大小和方向 都與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān). 22 (2)主矢與主矩的解析表達(dá)式 FR = i FRx+ j FRy+ kFRz FRx = Fix FRy = FiyFRz = Fiz Mo = i Mox + j Moy +k Moz =

11、 i Mox(Fi) + j Moy(Fi) +k Moz(Fi) 3-5.空間任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的幾種情形 (1) FR = 0 , Mo = 0 原力系平衡. (2) FR 0 , Mo = 0 原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為作用于 簡(jiǎn)化中心的一個(gè)力FR ,即原力系的合力FR . = i Mx(Fi) + j My(Fi) +k Mz(Fi) 23 (3) FR = 0 , Mo 0 原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為一個(gè) 力偶,其力偶矩矢為Mo .此時(shí)主矩 Mo與簡(jiǎn)化中心的 位置無關(guān). (4) FR 0 , Mo 0 這是簡(jiǎn)化結(jié)果的最一般情形. (a) FR Mo = 0 原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為作用于O 點(diǎn)的

12、一個(gè)合力FR = FR .且OO = Mo / FR (c) FR Mo 0 原力系的最后簡(jiǎn)化結(jié)果為由一個(gè)力 和一個(gè)力偶所組成的力系即力螺旋. FR Mo 0 為右螺旋. FR Mo 0 為左螺旋. (b) FR平行 Mo 時(shí)， 簡(jiǎn)化結(jié)果是力螺旋。 24 空間力系的合力矩定理:空間力系如能合成一個(gè)合力, 則其合力對(duì)任一點(diǎn)之矩,等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的 矢量和. Mo(FR) = Mo(Fi) Mx(FR) = Mx(Fi) My(FR) = My(Fi) Mz(FR) = Mz(Fi) FR Mo O ( FR Mo 0 ) FR Mo O ( FR Mo 0 ) 合力對(duì)任一軸的矩等于各分

13、力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和。 25 例題3-3. 邊長(zhǎng)1m的正方體的AB邊上作用一力F=10kN, 在面ABCO上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如圖所 示.求最后的簡(jiǎn)化結(jié)果. 解:取O為簡(jiǎn) 化中心并建 立坐標(biāo). o A B C B C A O F m x y z 26 計(jì)算主矢和主矩 Mo = Mo(F) + m = -5 k FR Mo =(-10 j)(-5 k) = 0 5 .0 10 5 OO F o A B C B C A O x y z O FR = F = - 10 j FR = F = - 10 j 確定最后簡(jiǎn)化結(jié)果 27 例題3-4. 邊長(zhǎng)為2m的 正方體兩側(cè)面AOOA和 BCCB 上分別作用大 小均等于10kN的力 F和 F.如圖所示.求最后的 簡(jiǎn)化結(jié)果. o A B C B C A O F F x y z D 解:取D點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心 建立坐標(biāo). 28 計(jì)算主矢 o A B C B C A O F F x y z D kiF25