2025屆高三數(shù)學一輪總復習 第二章 第一講 函數(shù)的概念及其表示

第二章函數(shù)、導數(shù)及其應用第一講函數(shù)的概念及其表示內(nèi)容函數(shù)兩個集合A，B設A，B是兩個非空的實數(shù)集對應關系f：A→B如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A1.函數(shù)的概念2.函數(shù)的定義域、值域和對應關系

(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).解析法圖象法列表法用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系用圖象表示兩個變量之間的對應關系列出表格來表示兩個變量之間的對應關系3.函數(shù)的表示法4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).【常用結論】1.常見函數(shù)的定義域(1)分式函數(shù)中分母不等于0.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)零次冪的底數(shù)不能為0.(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a＞0，a≠1)的定義域為{x|x＞0}.2.常見函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞).(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]，y＝tanx的定義域是R.

考點一求函數(shù)的定義域考向1具體函數(shù)的定義域通性通法：已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.[例1](1)(2023年欽北區(qū)校級期中)已知f(x)＝lnsinx＋ A.(－4，－π)∪(0，π) B.(0，π) C.(2kπ，π＋2kπ)，其中k∈Z

D.[－4，－π)∪(0，π)

當k＝0時，x∈(0，π)滿足；k＝1時，x∈(2π，3π)，則x∈?；k＝－1時，x∈(－2π，－π)，則x∈[－4，－π)，

則f(x)的定義域為[－4，－π)∪(0，π).故選D.答案：Db的值為________.∴不等式ax2＋abx＋b≥0的解集為{x|1≤x≤2}.可知a＜0，不等式可化為a(x－1)(x－2)≥0，即ax2－3ax＋2a≥0.考向2抽象函數(shù)的定義域通性通法：求抽象函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域.[例2](1)已知函數(shù)f(x)的定義域為(－1，0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為()答案：B答案：[－1，2]【考法全練】1.(考向1)(2023年深圳市期末)已知函數(shù)f(x)＝lg(2cosx－1)，則函數(shù)f(x)的定義域為()答案：A2.(考向2)(2023年承德市期末)函數(shù)f(x)的定義域為[－2，4]，A.(1，8]C.(1，2]

B.[－4，1)∪(1，8]D.[－1，1)∪(1，2]答案：D考點二求函數(shù)的解析式[例3](1)已知二次函數(shù)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x).【題后反思】求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件(1)待定系數(shù)法

先設出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或將已知條件代入，建立方程(組)，通過解方程(組)求出相應的待定系數(shù).(2)換元法

對于形如y＝f(g(x))的函數(shù)解析式，令t＝g(x)，從中求出x＝φ(t)，然后代入表達式求出f(t)，再將t換成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范圍.(3)配湊法由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.(4)解方程組法造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).【變式訓練】答案：Cxx≤11＜x＜2x≥2y123考點三分段函數(shù)

考向1分段函數(shù)求值

[例4]德國數(shù)學家狄利克雷在1837年提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù).”這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵，存在一個法則，使得取值范圍中的每一個x值，都有一個確定的y和它對應，不管這個法則是公式、圖象、A.15B.3C.5D.6答案：D考向2分段函數(shù)與方程、不等式問題解得a＞10或a＜－2，∴若f(a)＞1，則實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2)∪(10，＋∞).答案：－7(－∞，－2)∪(10，＋∞)【題后反思】(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函