高中數(shù)學(xué) 第一章 相似三角形定理與圓冪定理 1.3.1 圓冪定理學(xué)案 -1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精13.1圓 冪 定 理對應(yīng)學(xué)生用書p25讀教材填要點1相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等2切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項3圓冪定理已知(o，r）,通過一定點p，作o的任一條割線交圓于a，b兩點,則papb為定值，設(shè)定值為k，則：（1)當(dāng)點p在圓外時,kpo2r2,（2)當(dāng)點p在圓內(nèi)時,kr2op2,(3)當(dāng)點p在o上時，k0。小問題大思維1從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積有什么關(guān)系?提示：相等2從圓外一點引圓的切線,則這一點、兩個切點及圓心四點是否共圓？

2、若共圓，圓的直徑是什么？提示：四點共圓且圓心為圓外一點與原圓心連線的中點，直徑為圓外一點到原圓心的距離對應(yīng)學(xué)生用書p26相交弦定理的應(yīng)用例1如圖，ab、cd是半徑為a的圓o的兩條弦,它們相交于ab的中點p，pda,oap30，求cp的長思路點撥本題考查相交弦定理及垂徑定理、勾股定理的綜合應(yīng)用解決本題需要先在rtoap中，求得ap的長，然后利用相交弦定理求解精解詳析p為ab的中點,由垂徑定理得opab。在rtoap中，bpapacos30a。由相交弦定理，得bpapcpdp，即2cpa，解之得cpa.在實際應(yīng)用中，若圓中有兩條相交弦,要想到利用相交弦定理特別地，如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半

3、是它分直徑所成的兩條線段的比例中項1如圖，已知ab和ac是圓的兩條弦,過點b作圓的切線與ac的延長線相交于點d.過點c作bd的平行線與圓相交于點e，與ab相交于點f，af3，fb1，ef，則線段cd的長為_解析:因為af3，ef，fb1，所以cf2，因為ecbd，所以acfadb,所以，所以bd，且ad4cd，又因為bd是圓的切線，所以bd2cdad4cd2，所以cd.答案:切割線定理的應(yīng)用例2自圓o外一點p引圓的一條切線pa,切點為a，m為pa的中點,過點m引圓的割線交圓于b，c兩點,且bmp100，bpc40.求mpb的大小思路點撥本題考查切割線定理,由定理得出bmppmc而后轉(zhuǎn)化角相等進

4、行求解精解詳析因為ma為圓o的切線,所以ma2mbmc。又m為pa的中點,所以mp2mbmc。因為bmppmc，所以bmppmc，于是mpbmcp。在mcp中,由mpbmcpbpcbmp180，得mpb20。相交弦定理、切割線定理涉及與圓有關(guān)的比例線段問題，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割線定理能做到知二求一2。（北京高考)如圖，ab為圓o的直徑，pa為圓o的切線，pb與圓o相交于d.若pa3，pddb916,則pd_；ab_.解析：設(shè)pd9t，db16t，則pb25t，根據(jù)切割線定理得329t25t，解得t，所以pd，pb5.在直角三角形apb中，根據(jù)勾股定理得ab4。答案：4三個定理

5、的綜合應(yīng)用例3如圖所示,已知pa與o相切，a為切點,pbc為割線，弦cdap,ad、bc相交于e點,f為ce上一點，且de2efec.(1）求證：pedf；(2）求證：ceebefep；（3)若cebe32,de6，ef4,求pa的長思路點撥本題考查切割線定理、相交弦定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用解答本題需要分清各個定理的適用條件,并會合理利用精解詳析(1)證明:de2efec，deceefed。def是公共角，defced。edfc.cdap，cp.pedf。(2)證明：pedf,defpea,defpea。depeefea.即efepdeea。弦ad、bc相交于點e，deeace

6、eb.ceebefep。(3）de2efec,de6,ef4，ec9。cebe32，be6.ceebefep，964ep.解得：ep.pbpebe，pcpeec。由切割線定理得：pa2pbpc,pa2.pa。相交弦定理、切割線定理是最重要的定理,在與圓有關(guān)的問題中經(jīng)常用到，這是因為這三個定理可得到的線段的比例或線段的長，而圓周角定理、弦切角定理得到的是角的關(guān)系,這兩者的結(jié)合，往往能綜合討論與圓有關(guān)的相似三角形問題因此,在實際應(yīng)用中，見到圓的兩條相交弦要想到相交弦定理；見到切線和割線要想到切割線定理3如圖所示，過點p的直線與o相交于a，b兩點若pa1,ab2，po3,則o的半徑等于_解析：設(shè)o的

7、半徑為r（r0)，pa1,ab2，pbpaab3。延長po交o于點c，則pcpor3r.設(shè)po交o于點d,則pd3r。由圓的割線定理知，papbpdpc,13(3r)(3r），9r23，r .答案：對應(yīng)學(xué)生用書p27一、選擇題1.如右圖，o的直徑cd與弦ab交于p點，若ap4,bp6,cp3，則o半徑為(）a5.5b5c6 d6.5解析：由相交弦定理知appbcppd，ap4，bp6,cp3，pd8。cd3811,o的半徑為5。5。答案：a2如圖，p是圓o外一點，過p引圓o的兩條割線pb，pd，paab ，cd3，則pc等于()a2或5 b2c3 d10解析：設(shè)pcx，由割線定理知papbpc

8、pd.即2 x(x3)，解得x2或x5（舍去）故選b。答案：b3.如圖,ad、ae和bc分別切o于d，e，f,如果ad20，則abc的周長為（)a20 b30c40 d35解析：ad，ae,bc分別為圓o的切線aead20,bfbd，cfce。abc的周長為abacbcabacbfcf（abbd）（acce）adae40。答案：c4如圖，abc中，c90,o的直徑ce在bc上，且與ab相切于d點，若coob13，ad2,則be等于（）a。 b2c2 d1解析：連接od,則odbd,rtbodrtbac。設(shè)o的半徑為a，ocob13，oeoc，beec2a.由題知ad、ac均為o的切線，ad2，

9、ac2.,bd2a2.又bd2bebc，bd22a4a8a2。4a48a2，a。be2a2.答案：b二、填空題5（重慶高考）過圓外一點p作圓的切線pa(a為切點),再作割線pbc分別交圓于b，c。若pa6，ac8，bc9，則ab_.解析:如圖所示，由切割線定理得pa2pbpcpb（pbbc)，即62pb（pb9）,解得pb3（負值舍去)由弦切角定理知pabpca,又apbcpa,故apbcpa，則，即，解得ab4.答案：46如圖,已知圓中兩條弦ab與cd相交于點f，e是ab延長線上一點，且dfcf，affbbe421。若ce與圓相切，則線段ce的長為_解析：設(shè)bex，則fb2x，af4x，由相

10、交弦定理得dffcaffb，即28x2，解得x,ea,再由切割線定理得ce2ebea，所以ce。答案：7.如圖，o的弦ed、cb的延長線交于點a.若bdae，ab4，bc2，ad3,則de_；ce_.解析:由切割線定理知，abacadae。即463（3de），解得de5.bdae，且e、d、b、c四點共圓，c90.在直角三角形ace中，ac6，ae8，ce2.答案：528（重慶高考)如圖，在abc中,c90，a60，ab20，過c作abc的外接圓的切線cd，bdcd,bd與外接圓交于點e，則de的長為_解析：由題意得bcabsin 6010。由弦切角定理知bcda60,所以cd5，bd15，由

11、切割線定理知,cd2debd，則de5.答案:5三、解答題9如圖，pt切o于t，pab，pdc是圓o的兩條割線，pa3，pd4，pt6，ad2，求弦cd的長和弦bc的長解：由已知可得pt2papb，且pt6，pa3，pb12.同理可得pc9,cd5.pdpcpapb,，pdapbc,bc6.10如圖，o的半徑ob垂直于直徑ac,m為ao上一點,bm的延長線交o于n，過n點的切線交ca的延長線于p。(1）求證:pm2papc;（2)若o的半徑為2 ，oa om,求mn的長解：(1）證明:連接on，則onpn，且obn為等腰三角形,則obnonb，pmnomb90obn，pnm90onb，pmnpnm，pmpn。由條件，根據(jù)切割線定理，有pn2papc，所以pm2papc.(2）依題意得om2,在rtbom中,bm 4.延長bo交o于點d，連接dn。由條件易知bombnd，于是，即，得bn6。所以mnbnbm642.11如下圖，已知o1和o2相交于a、b兩點，過點a作o1的切線，交o2于點c,過點b作兩圓的割線分別交o1，o2于點d、e，de與ac相交于點p。(1)求證：papepcpd;（2)當(dāng)ad與o2相切，且pa6，pc2，pd12時,求ad的長解：（1)證明：連接ab，ce，ca切o1于點a,1d。又1e,de。又23,apdcpe。即papepcpd.（2)