高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何階段質(zhì)量檢測A卷（含解析）2-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（a卷學(xué)業(yè)水平達標(biāo)）第三章 空間向量與立體幾何(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題（本題共10小題，每小題6分，共60分)1設(shè)l1的方向向量為a（1,2,2)，l2的方向向量為b(2，3,m),若l1l2，則m等于(）a1b2c. d3解析:選b若l1l2，則ab,ab0，1（2)23(2)m0,解得m2.2已知a，b是平面內(nèi)的兩個不相等的非零向量,非零向量c在直線l上，則ca0且cb0是l的（)a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件解析：選b若l，則l與a，b所在的直線垂直，ca，cb，ca0，cb0,是必要條件;ab，當(dāng)a與b同

2、向(或反向）時,由ca0且cb0可以推出ca且cb，但不能推出l,不是充分條件3已知向量i，j,k是一組單位正交向量，m8j3k,ni5j4k,則mn（)a7 b20c28 d11解析:選c因為m（0,8,3)，n(1，5，4），所以 mn0401228。4已知二面角l。的大小為，m,n為異面直線，且m，n，則m,n所成的角為()a. b.c. d。解析：選b設(shè)m，n的方向向量分別為m，n。由m，n知m,n分別是平面,的法向量cos45，a，j60，則a，k（)a30 b45c60 d90解析：選c如圖所示,設(shè)a|m(m0），a,pa平面xoy，則在rtpbo中,pb|sina，im，在rtp

3、co中，|oc|cosa，j，ab|，在rtpab中，|pa| ,od，在rtpdo中，cosa，k。又0a，k180，a，k60.9在長方體abcda1b1c1d1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點a1到截面ab1d1的距離為（）a. b.c. d。解析：選c取，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求得平面ab1d1的法向量為n(2，2,1）故a1到平面ab1d1的距離為d。10三棱柱abc。a1b1c1中，底面abc為正三角形，側(cè)棱長等于底面邊長，a1在底面的射影是abc的中心,則ab1與底面abc所成角的正弦值等于（）a。 b。c. d.解析：選b如圖，設(shè)a1點在底面abc

4、內(nèi)的射影為點o，以o為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)abc邊長為1,則a，b1，.平面abc的法向量n（0，0,1），則ab1與底面abc所成角的正弦值為sin |cos，n.二、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分）11已知a（3，6，6)，b（1,3，2)為兩平行平面的法向量，則_。解析：由題意知ab，,解得2.答案：212若a（2,3，1），b（2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_解析：cosa，b，得sina,b，由公式s|a|b|sina，b可得結(jié)果答案：613在平行六面體abcd。a1b1c1d1中，若a2b3c，則abc_。解析:a2b3c，a1，

5、b，c。abc。答案：14.如圖，在矩形abcd中，ab3,bc1，efbc且ae2eb，g為bc的中點,k為af的中點沿ef將矩形折成120的二面角a。ef.b，此時kg的長為_解析:如圖，過k作kmef，垂足m為ef的中點,則向量與的夾角為120，60。又， 222211211cos 603.|.答案：三、解答題(本題共6小題，共70分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15(本小題滿分10分)如圖所示，在平行六面體abcd.a1b1c1d1中,設(shè)a，b，c，m,n，p分別是aa1，bc，c1d1的中點，試用a，b，c表示以下各向量:（1)；（2） ；(3).解:(1)點p是c1d

6、1的中點，aacacb.(2)n是bc的中點，abababc.(3)m是aa1的中點，aabc，又ca，abc.16（本小題滿分12分）已知三棱柱abca1b1c1的側(cè)棱垂直于底面，bac90，abaa12,ac1,m，n分別是a1b1，bc的中點（1)證明：abac1；（2）證明:mn平面acc1a1.證明：依條件可知ab，ac，aa1兩兩垂直如圖,以點a為原點,建立空間直角坐標(biāo)系axyz.根據(jù)條件容易求出如下各點坐標(biāo)：a(0，0，0)，b(0，2,0），b1（0,2,2）,c1（1,0,2)，m(0,1，2），n.（1)（0，2，0）,（1,0,2）,0(1)20020。，即abac1。（

7、2）因為，(0，2，0）是平面acc1a1的一個法向量，且002(2)00,所以.又因為mn平面acc1a1，所以mn平面acc1a1.17（本小題滿分12分)如下（左）圖，在rtabc中,c90，bc3，ac6，d，e分別為ac、ab上的點，且debc,de2，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如下（右)圖（1）求證：a1c平面bcde；（2）若m是a1d的中點，求cm與平面a1be所成角的大小解：（1)acbc，debc，deac。dea1d，decd，de平面a1dc。dea1c。又a1ccd,a1c平面bcde。(2）如圖所示，以c為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系cxyz

8、，則a1（0，0，2）,d(0，2,0)，m（0，1，），b（3，0,0），e（2，2，0）設(shè)平面a1be的法向量為n(x,y，z)，則n0，n0.又(3,0,2)，（1，2，0）,令y1，則x2，z，n（2，1，）設(shè)cm與平面a1be所成的角為。（0，1，)，sin cosn，。cm與平面a1be所成角的大小為。18（本小題滿分12分）如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab，af1，m是線段ef的中點(1）求證：am平面bde；（2)試在線段ac上確定一點p,使得pf與cd所成的角是60.解：(1）證明:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)acbdn，連接ne,則n，e(0,0

9、，1)，.又a(，0)，m，。，且ne與am不共線neam.又ne平面bed，am平面bde，am平面bde.(2）設(shè)p(t，t,0）（0t），則(t,t，1），（，0，0）又與所成的角為60,，解之得t，或t（舍去)故點p為ac的中點19。（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，點e為棱pc的中點（1）證明：bedc；（2）求直線be與平面pbd所成角的正弦值；(3）若f為棱pc上一點，滿足bfac，求二面角fab。p的余弦值解:依題意，以點a為原點建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，可得b(1，0,0）,c（2，2,0）,d(0,

10、2,0），p（0，0，2)由e為棱pc的中點,得e(1，1,1)(1）證明：(0,1,1)，(2,0，0），故0。所以，bedc.（2）(1,2,0），（1,0，2)設(shè)n（x，y，z)為平面pbd的法向量則即不妨令y1，可得n（2，1,1)為平面pbd的一個法向量于是有cosn，所以，直線be與平面pbd所成角的正弦值為。（3）(1，2,0),(2，2，2)，（2,2，0），(1，0,0）由點f在棱pc上，設(shè),01。故（12，22，2）由bfac,得0,因此,2(12)2(22)0，解得。即。設(shè)n1（x，y，z)為平面fab的法向量，則即不妨令z1，可得n1（0,3，1)為平面fab的一個法向

11、量取平面abp的法向量n2(0，1，0），則cosn1，n2。易知，二面角f.ab.p是銳角，所以其余弦值為。20（本小題滿分12分)(山東高考)在如圖所示的圓臺中，ac是下底面圓o的直徑，ef是上底面圓o的直徑，fb是圓臺的一條母線(1）已知g,h分別為ec，fb的中點,求證:gh平面abc；（2）已知effbac2，abbc，求二面角f。bc.a的余弦值解：（1）證明:設(shè)cf的中點為i,連接gi，hi.在cef中,因為點g,i分別是ce，cf的中點，所以gief.又efob，所以giob.在cfb中，因為h，i分別是fb，cf的中點，所以hibc。又higii，bcobb,所以平面ghi平面abc.因為gh平面ghi,所以gh平面abc.(2）連接oo，則oo平面abc。又abbc，且ac是圓o的直徑，所以boac。以o為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o。xyz.由題意得b(0,2，0），c(2,0,0)過點f作fmob于點m，所以fm 3，可得f（0，3)故（2，2