高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)50 不等式選講（含2017高考試題）

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)50 不等式選講一、 選擇題1。(2017天津高考理科t8）已知函數(shù)f(x）=設(shè)ar,若關(guān)于x的不等式f(x)在r上恒成立,則a的取值范圍是（)a。b。c。d?！久}意圖】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，題目綜合了分段函數(shù)、絕對(duì)值不等式、二次函數(shù)最值、基本不等式等知識(shí)點(diǎn).要求考生掌握分類討論思想,具有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與綜合運(yùn)算能力.【解析】選a。不等式f（x)可化為-f（x)+af(x），當(dāng)x1,式為x2+x3+ax2x+3，即x2+3ax2x+3，又-x2+-3=-，x2-x+3=+，所以,a。當(dāng)x1，式為-x-+ax+，所以xax+，又-x=-2，x+2，所以2a2，

2、綜上a2。2。(2017天津高考文科t8)已知函數(shù)f（x）= 設(shè)ar，若關(guān)于x的不等式f（x)在r上恒成立,則a的取值范圍是（）a。-2，2 b.-2,2c。2,2d.-2,2【命題意圖】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，題目綜合了分段函數(shù)、絕對(duì)值不等式等知識(shí)點(diǎn)。要求考生掌握分類討論思想，具有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與數(shù)形結(jié)合思想。【解析】選a.方法一:因?yàn)楹瘮?shù)f（x)=所以，令g(x）= =,當(dāng)x=-2a時(shí),g（x)取最小值，最小值為0,g(x）是斜率為的一簇折線,當(dāng)x1時(shí),函數(shù)f(x）的最小值在x=時(shí)取到,最小值為2,所以函數(shù)f（x）和g(x）的圖象如圖所示,所以要使f（x）恒成立,當(dāng)a0時(shí),應(yīng)滿足解得0a

3、2；當(dāng)a=0時(shí),f（x）恒成立;當(dāng)a0時(shí)，應(yīng)滿足a2,解得2a0.綜上所述,a的取值范圍是2a2.方法二:滿足題意時(shí)f(x）的圖象恒不在函數(shù)y=下方，當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，排除c,d選項(xiàng);當(dāng)a=-2時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，排除b選項(xiàng)，二、填空題1（2017浙江高考t17）已知ar，函數(shù)f=+a在區(qū)間1，4上的最大值是5，則a的取值范圍是。【命題意圖】本題主要考查基本不等式和求解絕對(duì)值不等式.【解析】當(dāng)x時(shí),x+.(1)當(dāng)a5時(shí),f(x）=ax-+a=2a-x,函數(shù)的最大值2a-4=5，所以a=(舍去）.(2)當(dāng)a4時(shí)，f（x）=x+-a+a=x+5，此時(shí)符合題意.（3)當(dāng)4a5時(shí)，=ma

4、x,則或解得a=或a，綜上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：三、簡(jiǎn)答題1。(2017全國(guó)丙卷文科t23）同（2017全國(guó)丙卷理科t23）選修45:不等式選講（10分）已知函數(shù)f(x)=x+1-x-2.（1)求不等式f（x)1的解集。(2）若不等式f（x）x2x +m的解集非空，求m的取值范圍?！窘馕觥?1）當(dāng)x1時(shí),f(x）=-（x+1）+（x-2）=31，無(wú)解;當(dāng)1x2時(shí),f(x）=x+1+（x2）=2x-1,令2x-11,得x1,所以1x1,所以g(x）g(-1)=5;當(dāng)-1x2時(shí)g（x）=x2+3x-1，其開口向下,對(duì)稱軸為x=，所以g(x）g=,當(dāng)x2時(shí)g（x)=x2+x+3，其開口向下

5、，對(duì)稱軸為x=,所以g（x)g（2)=1,綜上：g(x）max=，即m的取值范圍為。2.（2017全國(guó)乙卷理科t23)選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x）=x2+ax+4,g（x)=x+1+x-1。(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g（x)的解集。（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含-1，1,求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問(wèn)題的解決策略.【解析】方法一:（1）當(dāng)a=1時(shí),f=x2+x+4,是開口向下,對(duì)稱軸x=的二次函數(shù).g=+=當(dāng)x(1,+)時(shí)，令x2+x+4=2x，解得x=g在(1,+)上單調(diào)遞增，f在（1,+）上單調(diào)遞減，所以此時(shí)fg解集為。當(dāng)x時(shí)

6、,g=2,ff=2。當(dāng)x時(shí),g單調(diào)遞減，f單調(diào)遞增，且g=f=2.綜上所述，fg的解集為。(2)依題意得：-x2+ax+42在恒成立.即x2ax-20在恒成立。則只需解得-1a1.故a取值范圍是。方法二：將函數(shù)g（x)=x+1|+|x-1|化簡(jiǎn),可得g(x)=（1)當(dāng)a=1時(shí)，作出函數(shù)圖象可得f（x)g（x)的范圍在f和g點(diǎn)中間，聯(lián)立可得點(diǎn)g,因此可得解集為。(2）即f（x）g(x)在1,1內(nèi)恒成立,故而可得-x2+ax+42x22ax恒成立,根據(jù)圖象可得：函數(shù)y=ax必須在l1,l2之間,故而可得-1a1.3.（2017全國(guó)乙卷文科t23)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f（x）=-x2+ax

7、+4，g(x)=x+1+x-1.（1）當(dāng)a=1時(shí),求不等式f（x）g(x）的解集。（2)若不等式f（x)g（x）的解集包含-1,1，求a的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問(wèn)題的解決策略?！窘馕觥糠椒ㄒ唬海?)當(dāng)a=1時(shí)，f=x2+x+4,是開口向下,對(duì)稱軸x=的二次函數(shù).g=+=當(dāng)x(1,+)時(shí)，令x2+x+4=2x,解得x=g在（1，+）上單調(diào)遞增，f在(1,+)上單調(diào)遞減，所以此時(shí)fg解集為。當(dāng)x時(shí),g=2，ff=2。當(dāng)x時(shí)，g單調(diào)遞減，f單調(diào)遞增,且g=f=2.綜上所述，fg的解集為。(2）依題意得：x2+ax+42在恒成立.即x2ax20在恒成立。則只需解得

8、1a1.故a取值范圍是.方法二:將函數(shù)g（x）=|x+1|+|x1|化簡(jiǎn),可得g（x)=(1)當(dāng)a=1時(shí),作出函數(shù)圖象可得f(x）g(x）的范圍在f和g點(diǎn)中間，聯(lián)立可得點(diǎn)g，因此可得解集為.(2）即f（x）g(x）在-1，1內(nèi)恒成立,故而可得x2+ax+42x2-2ax恒成立,根據(jù)圖象可得:函數(shù)y=ax必須在l1，l2之間，故而可得-1a1.4。(2017全國(guó)甲卷文t23）選修45：不等式選講（10分）已知a0,b0，a3+b3=2,證明:（1）(a+b）（a5+b5)4。（2）a+b2.【命題意圖】不等式的證明、基本不等式的運(yùn)用,意在考查學(xué)生的推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法?！咀C明】（1

9、）（a+b）（a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4）=4+ab(a2-b2)24。（2)因?yàn)?a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b）2+ （a+b)=2+,所以（a+b)38，因此a+b2。5.(2017全國(guó)丙卷理科t23)選修45:不等式選講（10分)已知函數(shù)f（x)=x+1x-2。(1)求不等式f（x）1的解集.(2）若不等式f(x)x2-x+m的解集非空，求m的取值范圍.【解析】(1）當(dāng)x1時(shí),f（x)=-（x+1）+（x-2)=-31,無(wú)解。當(dāng)11,所以x2。綜上所述，f1的解集為1，+）.(2)原式等價(jià)于存

10、在xr,使f-x2+xm成立，即m。設(shè)g（x)=f（x)x2+x,由(1)知g=當(dāng)x1時(shí),g=x2+x3，其開口向下,對(duì)稱軸為x=1,所以gg=5。當(dāng)-1x0,b0,a3+b3=2，證明：(1）(a+b）（a5+b5）4。(2）a+b2?！久}意圖】不等式的證明、基本不等式的運(yùn)用,意在考查學(xué)生的推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.【證明】(1)（a+b）(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=（a3+b3)22a3b3+ab(a4+b4)=4+ab（a2b2)24.（2)因?yàn)椋╝+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+（a+b)=2+,所以（a+b）38,因此a+b2。7。（2017江蘇高考t21）d。選修4-5：不等式選講已知a,b,c，d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16，證明ac+bd8.【命題意圖】主要考查不等式的證明方法,突出考查柯西不等式的應(yīng)用,考查推理論證能力?！咀C明】由柯西不等式可得：(ac+bd）2(a2+b2）(c2+d2）,因?yàn)閍2+b2=4，c2+d2=16,所以（ac+bd)264，因此ac+bd8.【反思總結(jié)】柯西不等式的一般形式:設(shè)a