第三章__線性系統(tǒng)的時域分析法

1、自動控制原理自動控制原理 東華理工大學機電學院自動化系東華理工大學機電學院自動化系 3.13.1系統(tǒng)時間響應的性能指標系統(tǒng)時間響應的性能指標 3.23.2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 3.33.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 3.43.4高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析 3.53.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 3.63.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算 3.1 3.1 概述概述 系統(tǒng)的數(shù)學模型建立后，便可對系統(tǒng)進行分分 析和校正析和校正。 分析和校正是自動控制原理課程的兩大任務。 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性 能指標； 校正校正

2、是根據(jù)需要在系統(tǒng)中加入一些機構和裝 置并確定相應的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其 滿足所要求的性能指標。系統(tǒng)分析的目的在于系統(tǒng)分析的目的在于 “認識認識”系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于“改造改造”系系 統(tǒng)。統(tǒng)。系統(tǒng)的分析校正方法一般有時域法、根軌跡 法和頻域法，本章介紹時域法。 3.1系統(tǒng)時間響應的性能指標系統(tǒng)時間響應的性能指標 1典型輸入信號典型輸入信號 動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程又稱瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程又稱瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應 (Transient Response & Steady state Response)。在典型輸 入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都

3、有動態(tài)動態(tài) 過程過程和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 在典型輸入信號作用下，指系統(tǒng)從初始 狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣 性、摩擦、阻尼等原因，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復現(xiàn) 輸入量的變化。動態(tài)過程表現(xiàn)為、或 。一個實際運行的系統(tǒng)其動態(tài)過程必須是的， 即系統(tǒng)必須是的。 在典型輸入信號作用下，當 t 趨于無窮 大時，系統(tǒng)的輸出量的表現(xiàn)方式。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的 一種度量。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)一種度量。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài) 響應，如達到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系響應，如達到新的穩(wěn)定

4、狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，。 ： 在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標，常在許多實際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標，常 以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標，系以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標，系 統(tǒng)在初始條件為零（靜止狀態(tài)，輸出量和輸入量的各階導統(tǒng)在初始條件為零（靜止狀態(tài)，輸出量和輸入量的各階導 數(shù)為數(shù)為0），對階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。實際控制系統(tǒng)的），對階躍輸入信號的瞬態(tài)響應。實際控制系統(tǒng)的 瞬態(tài)響應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，瞬態(tài)響應，在達到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程， 為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信

5、號的瞬態(tài)響應特性，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應特性， 通常采用下列一些性能指標。通常采用下列一些性能指標。 1、延遲時間td：響應曲線 從運動開始第一次達到穩(wěn) 態(tài)值的一半所需的時間， 叫延遲時間。 2、上升時間tr：響應曲線 從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到 90%，所需的時間。上升 時間越短，響應速度越快。 3、峰值時間tp：響應曲 線超過其終值到達第一個 峰值所需要的時間。 4、調(diào)節(jié)時間ts:在響應曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)（通常 取5%或2%）作一個允許誤差范圍，響應曲線達到并永遠保持在這 一允許誤差范圍內(nèi)，所需的時間 ( )( ) %100% ( ) p h th h 5、

6、最大超調(diào)量 % trtr、tptp評價系統(tǒng)的響應速度評價系統(tǒng)的響應速度 . .tsts同時反映響應速度和阻尼程度的同時反映響應速度和阻尼程度的 綜合性指標綜合性指標 . . 評價系統(tǒng)的阻尼程度評價系統(tǒng)的阻尼程度 % 3.2 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 i(t) + r(t) c(t) + （a） 電路圖 R C )(trU dt du RC c c )()()(trtCtCT R(s) C(s) （b）方塊圖 I(s) R(s) C(s) （c）等效方塊圖 1 1 )( )( )( TSsR sC s 當初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為 這種系統(tǒng)實際上是一個非周期性的這種系統(tǒng)實際上是一個

7、非周期性的慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)。 下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響 應。應。 其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。 1、一階系統(tǒng)單位階躍響應 其傳遞函數(shù)為 ( )11/ ( ) ( )11/ C sT s R sTSST T 1 1 特征方程：特征方程：0 1 T s 特征根：特征根： 11/ ( )( ) ( )( )( ) 11/ T C ss R sR sR s TSST 1 ( )1( )( ) r ttR s s TssTs B s A sTs sRssC 1 11 1 1 1 1 )()

8、()( 待定系數(shù)如下待定系數(shù)如下 s A sTs sRs 1 1 1 )()(1 1 1 1 )()( 0 S sTs ssRsA當：當：有：有： 1 1 1 1 )()( Ts B sTs sRs 1 11 1 1 - S T B(Ts)T Tss 當：當：有：有： t T esCLth 1 1 1)()( T s sTs T ssTs sRssC 1 11 1 11 1 1 )()()( 求拉氏反變換有：求拉氏反變換有： 1 ( )10 t T h tet 圖3-4指數(shù)響應曲線 1 0 63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% T 2T3T 4T 5T 0.632 t c(t

9、)=1-ec(t) ( )h t 傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應傳遞函數(shù)的極點是產(chǎn)生系統(tǒng)響應 的瞬態(tài)分量。這一個結論不僅適的瞬態(tài)分量。這一個結論不僅適 用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也 適用于高階線性定常系統(tǒng)。適用于高階線性定常系統(tǒng)。 Ttd69. 0Ttr20. 2誤差帶）%5(3Tts 不存在和 p t 2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 響應曲線呈單調(diào)下降，無超調(diào)，無振蕩， 在t=0 處下降速率最大，之后速率變小，且 下降速率 與時間常數(shù) 成反比，即T越小，下 降速率越快。 t ( )c t 0 3. 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應 2 1 ( )*1( )( ) r tttR s

10、 S 單位斜坡函數(shù)輸入時 TS T S T SSTS sRssC 1 11 1 1 )()()( 2 22 t T t T TeTteTttc 11 )1 ()( r(t)c(t) r(t) c(t) t 0 圖3-5 一階系統(tǒng)的斜坡響應 所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為 Ttee t ss )(lim 結論：一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號時，總存在位置誤 差，且位置誤差的大小隨時間而增大，最終趨時間常數(shù) T，因此T越大則誤差也越大。 減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應的速度，還 可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差 4. 一階系統(tǒng)的單位加速度響應 2 2 1 )(ttr 3 1 )( S s

11、R T S T s 1 1 )( T S T S T S T S T S D S C S B S A STS sRssC 1 1 1 1 ) 1 1 ()()()( 22 23233 當 )0()1 ( 2 1 )( 1 22 teTTtttc t T )1 ()()()( 1 2 t T eTTttctrte 積分積分 積分積分 3.3 3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析 2 2222 ( )1 ( ) ( )221 n nn C s s R sST ST 02 2 2 nnS S二階系統(tǒng)的特征方程： 2 1,2 1 nn Sj 根表達式： 若系統(tǒng)阻尼比 :0 n jS 2, 1

12、零阻尼系統(tǒng) :10欠阻尼系統(tǒng) 2 1.2 2 1 1 nn nnnd s jj :1 n s 2 . 1臨阻尼系統(tǒng) :1過阻尼系統(tǒng) :0 負阻尼系統(tǒng) 0 2, 1 S S1,2 = 為兩個不相等的負實根 一對純虛根 （一對復數(shù)根 ） （一對負的重實根 ） 取值范圍不同，特征根形式不同，響應特性也不同 1. 二階系統(tǒng)的階躍響應 (1)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應 10 2 1,2 1 nnd Sjj n 2 1 nd 令 衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率 2 222222 11 ( )( ) ( ) 2()() nnn nnndnd S C ss R s SSSSSS 取拉氏反變換 sin 1 cos1)

13、( 2 ttetc dd t n 2 1 1sin()0 1 nt d ett 1 2 1 arccos 1 2 arctg阻尼角阻尼角 一對共軛負復數(shù)根 (2)臨界阻尼1 S sRtutr 1 )(,)()( nn n n n SSSSS sC 1 )( 11 )( )( 22 2 0)1 (11)( tteeteth n tt n t nnn 單位階躍響應是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線單位階躍響應是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線 取拉氏反變換 2 1,2 1 nnd Sjj (3)過阻尼 1 S sRtutr 1 )(,)()( 2 1,2 1 nnd Sjj 一對負的重實根 為兩個不相等的負實根

14、0 )1(12 1 )1(12 1 1)( )1( 22 )1( 22 22 teeth tt nn =1 1 (4)無阻尼情況無阻尼情況(=0) 系統(tǒng)的單位階躍響應為 nnn js1 2 2, 1 ttc n cos1)( 2222 2 22 2 111 2 )( nn n nn n s s ssssss sC 系統(tǒng)一對純虛根系統(tǒng)一對純虛根 所以, 無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應是 等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示), 振 蕩角頻率是n。 根表達式：根表達式： 其振蕩頻率為而只能測得 實際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比， 因此不可能通過實驗方法測得 n 而只能測得d 0200400600800

15、100012001400 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 1 01 5.二階系統(tǒng)階躍響應的性能指標計算 （1）延遲時間td 10 2 1,2 1 nnd Sjj 一對共軛負 復數(shù)根 延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、最大超調(diào)量% 0,)sin( 1 1 1)( 2 tteth d t n arccos 1 ,5 . 0)( 2 arctgth d 令令 2 10.60.210.7 d nn t 10所以當所以當延遲時間td （2）上升時間tr 1)( r th令令 2 1 sin()0 1 nt d r et 求得 r

16、d t 求得 r t n 欠阻尼二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng) 的特征參量的特征參量 各指標之間是有矛盾的各指標之間是有矛盾的 （3）峰值時間tp 對h(t)求導，并令其為零， d p t ( ) 0 dh t dt 解得 （4）最大超調(diào)量% 超調(diào)量在峰值時間發(fā)生在tp時刻 %100%100 )( )()( % 2 1 e h hth p （5）調(diào)節(jié)時間ts )02. 0( 4 )05. 0( 3 n S n S t t 2 0.10.911 當 通過對調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量與阻尼比之間關系得比較，可以得出如下 的基本結論：調(diào)節(jié)時間 ts、 % 2 1 p 2 , 100%exp() 100% 1 r d

17、te 某位置控制系統(tǒng)(隨動系統(tǒng))，其閉環(huán)傳遞函數(shù) 2 ( ) m K s T SSK mn m TK KT 2 1 矛盾 阻尼大，超調(diào)小 矛盾！矛盾！ n一定, tr 速度慢 用什么辦法來改善 系統(tǒng)性能呢？ K nK 6二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善 在前向通道串連一 個一階微分環(huán)節(jié)(PD)，閉 環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?22 22222 (1)() ( ) 2(2) ndn ndnnnn T SSz s SS TSz SS = +0.5nTd， z=Td-1（零點） （1）比例）比例微分控制微分控制 1 C(s) R(s) n2 s(s+2n) Tds 1+Tds C(s) R(s) n2 s

18、(s+2n) 可通過適當選擇微分時間常數(shù)Td，改變系統(tǒng)阻尼比x(變大)； 比例微分控制(PD)可以不改變自然頻率wn，但可增大系統(tǒng)的阻尼比x； 阻尼比x增大，但自然頻率wn不變，因此系統(tǒng)的性能得到了改善(sp,ts)。 但PD控制同時給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點，零點是如何影響系統(tǒng)響應的還需 進行深入的研究： 2.速度反饋控制 標準二階系統(tǒng)加速度負反饋， 其開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別 變?yōu)椋?2 0 22 2 222 ( ) (2) ( ) (2) n nn n nnn G s ss s ss 系統(tǒng)自激振蕩頻率不變，阻 尼比增大為： 0.5n s C(s)R(s) n2 s(s+2n) 結論： 測速反

19、饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率不變； 系統(tǒng)的阻尼比增大； 測速反饋不形成閉環(huán)零點，與PD對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度不相同； 設計時，可適當增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。 3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高 階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù) 求出它的時域響應，進而確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標。但 是，高階系統(tǒng)的分析計算比較困難，同時，在工程設計 的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是 無意義的。 3.

20、4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應 3.4.2閉環(huán)主導極點的概念 3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應的近似分析 設系統(tǒng)的所有零點、極點互不相同，且極點中有q個實 數(shù)極點和r對復數(shù)極點(q+2r=n)，零點中只有實數(shù)極點， 則系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為 ()/2 22 iknknk 11 ( ) 1( ) ( ) ( ) ()(2) qn q ik M sM s C s D ss ssPss 零初始條件下的單位階躍響應為： (3-32) iknk qr Pt t knk 0idkk i=1k=1 dk B ( ) e+esin( t+ ) C t 式中A0、Ai、Bk都是進行部分分式展開時所確定 的常數(shù)，

21、與系統(tǒng)零極點分布有關。 結論： 1)系統(tǒng)響應由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié) 的瞬態(tài)響應分量所組成； 2)瞬態(tài)分量取決于它們的指數(shù)Pi、knk的值和相 應項的系數(shù)Ai、Bk： 系統(tǒng)閉環(huán)極點距虛軸越遠，即Pi或knk 值越大，則該項衰減越快，反之亦然； 瞬態(tài)分量的系數(shù)與閉環(huán)零極點相對位置 有關:如果某極點與零點很靠近【偶極子】，則 相應分量的系數(shù)也很小(Pi-Zi0)，這對零極點對 系統(tǒng)過渡過程的影響也將很小。 3)即系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由那些靠近虛軸而又遠 離零點的極點主導極點來決定。 3.4.2 3.4.2 閉環(huán)主導極點的概念閉環(huán)主導極點的概念 如系統(tǒng)的某個(對)極點離虛軸最近，且其附 近又無

22、零點存在，而其他所有極點與虛軸的距離 都在此極點與虛軸的距離的5倍以上，則系統(tǒng)的 瞬態(tài)特性將主要由這個(對)極點來確定，而其它 極點的影響可以忽略不計，這個(對)極點就稱為 高階系統(tǒng)的主導極點。如： s1 s2 s3 n 主導極點示意圖 5n s1,2是主導極點，因 為Res35Res1 高階系統(tǒng)的主導極點常常是共軛復數(shù)極點，因此高階系統(tǒng) 可以常用主導極點構成的二階系統(tǒng)來近似。相應的性能指標可按 二階系統(tǒng)的各項指標來估計。在設計高階系統(tǒng)時，常利用主導極 點的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預期的一對共軛復數(shù)主導 極點，故可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標來設計系統(tǒng)。 閉環(huán)主導極點的應用 1)閉環(huán)零點

23、的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉閉環(huán)零點的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應速度加快，并且閉 環(huán)零點越接近虛軸，這種作用越顯著；環(huán)零點越接近虛軸，這種作用越顯著； 2)閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應速度變緩；閉環(huán)非主導極點的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應速度變緩； 3)若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響相互削若閉環(huán)零、極點彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應速度的影響相互削 弱；弱； 4)若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點和非主導極點，則式若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點和非主導極點，則式(369)還原為式還原為式(3 22)。 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題 是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題

24、。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外 界或內(nèi)部的一些因素擾動時，會使被控制量偏 離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā) 散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。 在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要 條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。 3.5.1 穩(wěn)定的概念與定義 3.5.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 3.5.3 穩(wěn)定判據(jù) 1 穩(wěn)定的概念與定義 穩(wěn)定性有多種定義，這里只討論其中最常用 的一種，即漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性： 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入 信號無關。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學模 型是建立在小偏差線性化的基礎上，則認為系統(tǒng) 中各信號的變化均不超出其線性范圍。此時，該 系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的

25、定義。 2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 假設系統(tǒng)的初始條件為零，外部激勵為輸入信號 ( )( )r tt 線性系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足 的條件，實際上取決于其特征根，也 即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點 . ( )0 lim t g t c(t)=A0+A1es1t+Anesnt 3 3勞思勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) （1）赫赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程： 0 43 2 2 3 1 4 0 asasasasa 420 31 420 31 0 00 0 00 aaa aa aaa aa系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 特征方程的全部系數(shù)都為正，特征方程的全部系數(shù)

26、都為正， 且主行列式及對角線上的子行且主行列式及對角線上的子行 列式都大于零。列式都大于零。 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0, 0, 0, 0 24 640 31 420 31 3 2 1413 31 420 31 2 3021 20 31 1 4321 a aaa aa aaa aa aaa aa aaa aa aaaa aa aa aaaa 即：即： 當系統(tǒng)特征方程的次數(shù)當系統(tǒng)特征方程的次數(shù) 較高時，應用赫爾維茨較高時，應用赫爾維茨 判據(jù)的計算工作量較大判據(jù)的計算工作量較大 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)

27、可能 穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零， 系統(tǒng)必定穩(wěn)定。系統(tǒng)必定穩(wěn)定。 (2) (2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程的標準形式： 0 1 1 10 nn nn aSaSaSa 0246 1 1357 2 1234 3 1234 2 12 1 1 0 1 n n n n Saaaa Saaaa Sbbbb Scccc See Sf Sg 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 b baab c b baab c b baab c a a

28、aaa b a aaaa b a aaaa b 判別方法： 如果勞斯表中第一列的 系數(shù)均為正值，則其特征 方程式的根都在S的左半平 面，相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果勞斯表中第一列系 數(shù)的符號有變化，其變化 的次數(shù)等于該特征方程式 的根在S的右半平面上的個 數(shù)，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 舉例(1)三階系統(tǒng)特征方程式： 0 32 2 1 3 0 asasasa 3 0 1 3021 31 2 20 3 0 as a aaaa s aas aas 列勞斯表： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 0)( 0, 0, 0, 0 3021 3210 aaaa aaaa 特殊情況一（第一列中有一元素為零） 0122 34

29、 ssss 1 0 22 1 22 111 0 2 3 4 s s s s s 22 , 0 有兩個根位于右 半平面，系統(tǒng)不 穩(wěn)定。 注意：勞斯表每 列元素同時乘或 除某一個數(shù)，不 影響計算結果。 特殊情況二（勞斯表中一行元素均為零）： 01616201282 23456 ssssss征方程為: 8 0 3 4 83 0124 000 861 016122 162081 0 2 3 3 4 5 6 s s s s s s s s 輔助方程： sssA sssA 124)( 86)( 3 24 第一列沒改變符號，右半平面沒有根 086 24 ss 2,2 0)2)(4(84286 4321 22

30、2424 jPjP sssssss 有一對共軛虛根。輔助方程： 至少有三種情況： 1、特征方程有一對實根，大小相等，符號相反 2、有一對虛根 3、有對稱于S平面原點的共軛復根 舉例：試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值范圍 ) 125. 0)(11 . 0(SSS K R(s) C(s) ksss k ksss k sWB 404014 40 40)4)(10( 40 )( 3 閉環(huán)傳函： 系統(tǒng)特征方程式：0404014 23 ksss ks k s ks s 40 0 14 40560 4014 401 0 1 2 3 為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 40k0即k0 0k14 56040 014

31、14 k K k0是終值定理 3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù) .)(,)( 0 00 S R sRRRtr常量。 00 000 0 ( ) lim( )limlim* ( )* 1( ) ( )1( ) ( )1 lim( ) ( )1 ss sss s RRsR sss esE sR s H s G sH s G sH s G ssKp 0 lim( ) ( ) p s KH s G s 靜態(tài)位置誤差系數(shù): p K令 1, 0, K K p 1,0 0, 1 0 const K R ess 則 00 0 lim( )( )( )( ) s KK G s H sG s Hs s

32、s 由 如果要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用型及 型以上的系統(tǒng)。習慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。 4、斜坡輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0 00 2 ( )( ) = v r tv tvconstR s s )673( )()(lim)()( lim )()(1 lim 0 0 00 0 2 0 0 v s ss ss K v sGsSH v sGsSHS v sGsH S v S e )683(lim)()(lim 1 00 S K sGsSHK ss v 令 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù) ， 指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入 作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 與輸入之間存在 2 1

33、00 KKv 20 1 0 0 K v ess 00 0 lim( )( )( )( ) s KK G s H sG s Hs ss 由 結論： 0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入 型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時能跟蹤斜坡輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差 型及型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差 5、加速度輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù) )613()(, 2 1 )( 3 0 0 2 0 由式 S a sRconstatatr )693(lim )()( lim )()(1 lim)(lim 0 0 22 0 0 3 0 00 a ssss ss K a sHsGSS a sHsG S a

34、 S sSEe )703(lim)()(lim 2 0 2 0 v ss a S K sHsGSK 度誤差系數(shù)定義為系統(tǒng)的靜態(tài)加速 a K 3 2 1 , 00 KKa 30 2 1 , 0 0 const K a ess 令令 令令 關）有關、開環(huán)傳遞函數(shù)有就越?。ㄅc系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)K 分析結論： （1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關 （2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)放大倍數(shù)K基本成反比關系。對于有差 的系統(tǒng)，K值越大穩(wěn)態(tài)誤差越小。 （3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)數(shù)有關。積分環(huán) 節(jié)數(shù)增加，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但 同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。 0 /K 例例 系統(tǒng)結構圖如圖所示，系統(tǒng)結構圖如

35、圖所示， 求求 r(t)r(t)分別為分別為A1(t), At, AtA1(t), At, At2 2/2 /2 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解解 KTss Tss sR sE s e )1( )1( )( )( )( )( 1)(tAtr 0 )1( )1( lim 0 1 s A KTss Tss se s ss tAtr )( K A s A KTss Tss se s ss 2 0 2 )1( )1( lim 2 2 )(t A tr 3 0 3 )1( )1( lim s A KTss Tss se s ss 系統(tǒng)自身的結構參數(shù)系統(tǒng)自身的結構參數(shù) 影響影響 e ess ss

36、 的因素： 的因素： 外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等） 外作用的類型（控制量，擾動量及作用點）外作用的類型（控制量，擾動量及作用點） 構根據(jù)定義求解構根據(jù)定義求解 例例 系統(tǒng)結構圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結構圖如圖所示，已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 2 42)(tttr 解解 )( ) 1( )( 2 1 ass TsK sG 2 1 v aKK )1()( )( 1 2 1 TsKass K s 0)( 11 23 KTsKasssD ttr2)( 1 0 1 ss e 22 2 2 1 84)(tttr 1 2 8 K a K A ess 1 21 8 K a eee ssssss 首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定 勞斯表勞斯表 6、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 )(sR )(sG )(sE )( 1 sG)(sG)( 2 sG )(sH )(sC )(sN - - N N( (s s) )C C( (s s) ) H H( (s s) ) )( 2