第四章_圖形變換的矩陣方法(已排)

1、1 第第4章圖形變換的矩陣方法章圖形變換的矩陣方法 要求：要求： 1.掌握各種圖形變換的變換矩陣。掌握各種圖形變換的變換矩陣。 2.掌握圖形變換矩陣的一般形式。掌握圖形變換矩陣的一般形式。 3.掌握齊次坐標(biāo)表示法。掌握齊次坐標(biāo)表示法。 計算機(jī)產(chǎn)生圖形的過程大致可分為三步：計算機(jī)產(chǎn)生圖形的過程大致可分為三步： 圖形輸入圖形輸入圖形處理圖形處理圖形輸出圖形輸出 計算機(jī)對圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就是計算機(jī)對圖形數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，就是圖形處理圖形處理。 圖形變換圖形變換 - - 就是要變換圖形的幾何關(guān)系就是要變換圖形的幾何關(guān)系( (即改變頂點(diǎn)坐標(biāo)即改變頂點(diǎn)坐標(biāo)),), 同時保持圖形的原拓?fù)潢P(guān)系不變同時保持圖形的

2、原拓?fù)潢P(guān)系不變. . 一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象 所處的環(huán)境和顯示屏幕的環(huán)境是很不同的，不僅位置不同，大多數(shù)所處的環(huán)境和顯示屏幕的環(huán)境是很不同的，不僅位置不同，大多數(shù) 情況下，尺寸也很不相同。這就要求協(xié)調(diào)二者的關(guān)系。此外，三維情況下，尺寸也很不相同。這就要求協(xié)調(diào)二者的關(guān)系。此外，三維 的圖形要在二維的圖紙或屏幕上表示出來要通過投影變換。為了從的圖形要在二維的圖紙或屏幕上表示出來要通過投影變換。為了從 不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和平不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉(zhuǎn)變換，放大縮小和

3、平 移變換更是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi)移變換更是經(jīng)常要用的。繪圖過程中還要用窗口來規(guī)定要顯示的內(nèi) 容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕上或圖紙上顯示的位置。本章學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)上容，用視區(qū)來規(guī)定在屏幕上或圖紙上顯示的位置。本章學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)上 述功能的算法。述功能的算法。 2 圖形變換圖形變換 幾何變換幾何變換 投影變換投影變換 又稱坐標(biāo)變換又稱坐標(biāo)變換:它是將點(diǎn)集的坐標(biāo)變換達(dá)到改變位它是將點(diǎn)集的坐標(biāo)變換達(dá)到改變位 置、形狀置、形狀 幾何變換幾何變換 基本變換基本變換 組合變換組合變換：上述變換的連續(xù)實(shí)施上述變換的連續(xù)實(shí)施 投影變換投影變換 正投影變換正投影變換 斜投影變換斜投影變換 中心變換中心

4、變換 ：三面正投影圖、：三面正投影圖、軸測圖軸測圖 ：斜軸測圖：斜軸測圖 變位變換變位變換 變形變換變形變換 ：旋轉(zhuǎn)、：旋轉(zhuǎn)、鏡像、鏡像、 ：比例、：比例、 錯切錯切 周分布、周分布、 陣列、陣列、 線框圖的變換線框圖的變換通常以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點(diǎn)作一系列通常以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)，把圖形的頂點(diǎn)作一系列 的幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)系列即可產(chǎn)生新的圖形。的幾何變換后，連接新的頂點(diǎn)系列即可產(chǎn)生新的圖形。 用參數(shù)方程描述的圖形的變換用參數(shù)方程描述的圖形的變換通過參數(shù)方程作幾何變換實(shí)現(xiàn)。通過參數(shù)方程作幾何變換實(shí)現(xiàn)。 我們在這只討論圖形我們在這只討論圖形拓?fù)潢P(guān)系拓?fù)潢P(guān)系不變的幾何變換。重點(diǎn)討論線框圖不變

5、的幾何變換。重點(diǎn)討論線框圖 的變換。的變換。 ：透視圖：透視圖 由于顯示器和繪由于顯示器和繪 圖機(jī)只能用二維空間圖機(jī)只能用二維空間 來表示圖形，要顯示來表示圖形，要顯示 三維圖形就要用投影三維圖形就要用投影 方式來降低其維數(shù)。方式來降低其維數(shù)。 3 1.二維平面上點(diǎn)的表示法二維平面上點(diǎn)的表示法 改變頂點(diǎn)坐標(biāo)改變頂點(diǎn)坐標(biāo), 也就是對向量的變換也就是對向量的變換,向量運(yùn)算必須用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。向量運(yùn)算必須用矩陣運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)。 2. 圖形變換的矩陣表示圖形變換的矩陣表示 一對坐標(biāo)一對坐標(biāo)(x,y) 一個向量一個向量x y 設(shè)設(shè): 點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)點(diǎn)點(diǎn)P (x, y) 其數(shù)學(xué)表達(dá)方法其數(shù)學(xué)表達(dá)方法 cy

6、axx ; dybxy 矩陣表達(dá)方法矩陣表達(dá)方法 yx yx dc ba dybxcyax 變換后的位置矢量矩陣變換后的位置矢量矩陣 變換矩陣變換矩陣 位置矢量矩陣位置矢量矩陣 4.1二維圖形變換二維圖形變換 4 就是將圖形放大或縮小的變換方法。就是將圖形放大或縮小的變換方法。 變換式為：變換式為： x=Sx* x y=Sy* y 討論：討論：1. Sx Sy1，點(diǎn)的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換點(diǎn)的位置、圖形形狀不變，又稱恒等變換 2. Sx Sy1，點(diǎn)的位置變了、圖形放大了點(diǎn)的位置變了、圖形放大了Sy倍。倍。 3. Sx Sy1 4. Sx Sy，圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均

7、勻圖形產(chǎn)生了畸形圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均勻 比例變換。比例變換。 4.1.1比例變換比例變換 5 x O y (x,y)(-x,y) (-x,-y) (x,-y)x O y y=x (x,y) (x,y) x O y=-x (x,y) (x,y) y 4.1.2對稱變換對稱變換 6 yxyxyx 10 01 12.關(guān)于關(guān)于y軸的對稱變換軸的對稱變換 yxyxyx 10 01 3.關(guān)于關(guān)于45度平分線的對稱變換度平分線的對稱變換 4.關(guān)于關(guān)于-45度平分線的對稱變換度平分線的對稱變換 5.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱變換 xyyxyx 01 10 xyyxyx 01 10 yxyx

8、yx 10 01 1.關(guān)于關(guān)于x軸的對稱變換軸的對稱變換 7 沿沿x軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換沿沿y軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換 1.沿沿X軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換 4.1.3錯切變換錯切變換 ycyx c yxyx 1 01 (1)變換過程中變換過程中,點(diǎn)的點(diǎn)的y坐標(biāo)保持不變坐標(biāo)保持不變,而而x坐標(biāo)值發(fā)生線性變化坐標(biāo)值發(fā)生線性變化; (2)平行于平行于X軸的線段變換后仍平行于軸的線段變換后仍平行于X軸軸; (3)平行于平行于Y軸的線段變換后錯切成與軸的線段變換后錯切成與Y軸成角的直線段軸成角的直線段 (4)X軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在

9、變換后都平移了一段距離。其余點(diǎn)在變換后都平移了一段距離。 （2）沿）沿Y軸方向錯切軸方向錯切 （1）沿）沿X軸方向錯切軸方向錯切 (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) 8 ycyx b yxyx 10 1 (1)變換過程中變換過程中,點(diǎn)的點(diǎn)的x坐標(biāo)保持不變坐標(biāo)保持不變,而而y坐標(biāo)值發(fā)生線性變化坐標(biāo)值發(fā)生線性變化; (2)平行于平行于Y軸的線段變換后仍平行于軸的線段變換后仍平行于Y軸軸; (3)平行于平行于X軸的線段變換后錯切成與軸的線段變換后錯切成與X軸成角的直線段軸成角的直線段 (4)Y軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變軸上的點(diǎn)在變換過程中保持不變,其余點(diǎn)在變換后都平其余點(diǎn)在變換后都平

10、移了一段距離。移了一段距離。 2. 沿沿Y軸方向的錯切變換軸方向的錯切變換 9 )cos( OPx )sinsincos(cos OP sincosyx )sin( OPy )sincoscos(sinOP cossinyx yxyx cossin sincos cossinsincosyxyx 其矩陣表示法：其矩陣表示法： 4.1.4繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換繞坐標(biāo)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 10 變換過程為：變換過程為： x=xl y=y+m 1 1 y l x m 變換矩陣為變換矩陣為 如變換矩陣改為：如變換矩陣改為： ml 1 0 0 1 則點(diǎn)的坐標(biāo)（則點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y)（x,y,1) P=P*T= 1

11、yx ml 1 0 0 1 1mylx= xO (x,y) (x,y) y 4.1.5平移變換平移變換 11 它是用一個它是用一個n+1維向量表示一個維向量表示一個n維向量的方法維向量的方法 如：二維點(diǎn)如：二維點(diǎn)x y 用用 X Y H表示表示 如：空間點(diǎn)如：空間點(diǎn)x y z 用用 X Y Z H表示表示 正常化齊次坐標(biāo)正?；R次坐標(biāo) 怎樣由齊次坐標(biāo)求正常化齊次坐標(biāo)怎樣由齊次坐標(biāo)求正?；R次坐標(biāo)? H可以任意選取可以任意選取, 齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。齊次坐標(biāo)與普通坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)關(guān)系。 如二維平面上的一點(diǎn)如二維平面上的一點(diǎn)3,4, 用齊次坐標(biāo)表示為用齊次坐標(biāo)表示為3,4,16

12、,8,2 1.5,2,0.5 通常將通常將H=1的齊次坐標(biāo)稱為的齊次坐標(biāo)稱為 x=X/H y=Y/H z=Z/H 齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)，可以防止溢出齊次坐標(biāo)表示點(diǎn)，可以防止溢出 能將上述的所有變換統(tǒng)一用一個矩陣描述能將上述的所有變換統(tǒng)一用一個矩陣描述 4.1.6齊次坐標(biāo)與變換通式齊次坐標(biāo)與變換通式 12 snm qdc pba T 比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切 投影變換投影變換 平移平移總體比例變換總體比例變換 snm qdc pba yxHyx 1 sqypxH ndybxy mcyaxx sqypx ndybx y sqypx mcyax x 齊次化坐標(biāo) 4.1.7二維圖形變換矩

13、陣的一般形式二維圖形變換矩陣的一般形式 二維圖形變換矩陣的通式二維圖形變換矩陣的通式T: 13 (1)復(fù)合平移復(fù)合平移 T 21 *TT 1 010 001 11 nm 1 010 001 22 nm 1 010 001 2121 nnmm (2)復(fù)合比例復(fù)合比例 T 21 *TT 100 00 00 1 1 d a 100 00 00 2 2 d a 010 0*0 00* 11 21 dd aa 組合變換組合變換: :由多個基本變換的連續(xù)實(shí)施而成的復(fù)雜變換由多個基本變換的連續(xù)實(shí)施而成的復(fù)雜變換, ,又稱又稱基本變換的級連基本變換的級連. . 4.1.8二維組合變換二維組合變換 14 (3)

14、復(fù)合旋轉(zhuǎn)復(fù)合旋轉(zhuǎn) T 21 *TT 100 0cossin 0sincos 11 11 100 0cossin 0sincos 22 22 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 2121 2121 15 1cossinsincos 0cossin 0sincos 100 0cossin 0sincos 1 010 001 1 nmnm nm T * 先平移先平移,再旋轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)* 先旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn),再平移再平移 1 0cossin 0sincos 1 010 001 100 0cossin 0sincos 1 nm nm T 級聯(lián)的順序不同級聯(lián)的順序不同,最終的圖形不同最終的圖形不

15、同 ABBA 由于矩陣乘法不滿足交換率由于矩陣乘法不滿足交換率, (4)級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響級聯(lián)順序?qū)M合變換的影響 16 1 010 001 1 nm T 100 0cossin 0sincos 2 T 3. 將圖形從原點(diǎn)平移到將圖形從原點(diǎn)平移到p(m,n) 1 010 001 3 nm T 1.將圖形從點(diǎn)將圖形從點(diǎn)p(m,n)平移到原點(diǎn)平移到原點(diǎn)O 2.繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) P(m,n) 0 P(m,n) 0 P(m,n) 0 P(m,n) 0 （1）（2）（3） (5)繞平面上任意點(diǎn)繞平面上任意點(diǎn)P(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的二維旋轉(zhuǎn)變換 17 T1*T2*T3 1 010 001 n

16、m 100 0cossin 0sincos 1 010 001 nm 1cossinsincos 0cossin 0sincos nmnnmm T= = 繞平面上任意點(diǎn)繞平面上任意點(diǎn)p(m,n)的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣的二維旋轉(zhuǎn)變換的總變換矩陣 18 設(shè)直線方程設(shè)直線方程 Ax+By+C =0 A Ax+By+C =0 x+By+C =0 -C/B-C/B - - C/AC/A E E F F FF EE G G G G 則：則：x軸上的截距為軸上的截距為 -C/A y軸上的截距為軸上的截距為 -C/B 斜率為斜率為 -A/B 10/ 010 001 1 AC T 2.讓直線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)

17、讓直線繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 角，角， 使之與使之與X 軸重合軸重合 100 0)cos()sin( 0)sin()cos( 2 T 1.將直線沿將直線沿X軸平移軸平移C/A， 使之過原點(diǎn)使之過原點(diǎn) 對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換可分解為以下五步可分解為以下五步: : (6)對任意直線的對稱變換對任意直線的對稱變換 19 3.圖形對直線的對稱變換圖形對直線的對稱變換 變成對變成對x軸的對稱變換軸的對稱變換 100 010 001 3 T 4.讓直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)讓直線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 角，角， 恢復(fù)到原來的傾斜位置恢復(fù)到原來的傾斜位置 100 0cossin 0sincos 4 T 10

18、/ 010 001 5 AC T5.將直線平移將直線平移回回原來的位置原來的位置 T 54321 TTTTT 12sin/) 12(cos/ 02cos2sin 02sin2cos ACAC 組合變換矩陣 20 三維圖形變換矩陣通式為三維圖形變換矩陣通式為4 x 4 方陣方陣 比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切比例、反射、旋轉(zhuǎn)、錯切 平移平移 投影變換投影變換 總體比例變換總體比例變換 空間點(diǎn)空間點(diǎn)x y z 的四維齊次坐標(biāo)的四維齊次坐標(biāo) X Y Z H表示表示 三維空間點(diǎn)的變換為三維空間點(diǎn)的變換為x y z 1 T = x y z 1 變換前點(diǎn)的坐標(biāo)變換前點(diǎn)的坐標(biāo)變換后點(diǎn)的坐標(biāo)變換后點(diǎn)的坐標(biāo) 三維圖形的變換矩陣三維圖形的變換矩陣 33x jih fed cba l m n 1 x 3 p q rT s1x1 s r q p n j f c m i e b l h d a T 4.2三維圖形變換三維圖形變換 21 三維圖的基本變換三維圖的基本變換 4.2.2軸向比例變換軸向比例變換 變換矩陣主對角線上變換矩陣主對角線上 的元素的元素a、e、j、s的作用是的作用是 是圖形產(chǎn)生比例變換。是圖形產(chǎn)生比例變換。 s T 0