第3章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

1、Page 1 第3章 計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 Page 2 設(shè)設(shè)n n階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：階定常離散系統(tǒng)的差分方程為： 101 ( )(1)()( )(1)() nm y ka y ka y knb u kbu kb u kmLL Page 3 11 101 (1) ( )() ( ) nm nm a za zY zbb zb zU z L LL L 1 01 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 m m n n bb zb zY z G z U z a za z L L G(z)就稱為線性定常離散系統(tǒng)的就稱為線性定常離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)。即：在零。即：在零 初始條件下離散系統(tǒng)

2、的輸出與輸入序列的初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的Z變換之比。變換之比。 Page 4 對于大多數(shù)實際系統(tǒng)來說，其對于大多數(shù)實際系統(tǒng)來說，其輸出往往是連續(xù)信號輸出往往是連續(xù)信號y(t) ， 而而不是離散信號不是離散信號，如下圖所示。在這種情況下，如果著眼，如下圖所示。在這種情況下，如果著眼 點僅是采樣時刻的輸出，就可以在輸出端點僅是采樣時刻的輸出，就可以在輸出端虛設(shè)一個理想的虛設(shè)一個理想的 采樣開關(guān)采樣開關(guān)，并與輸入采樣開關(guān)同步工作，這樣前面的定義，并與輸入采樣開關(guān)同步工作，這樣前面的定義 仍然適用。仍然適用。 Page 5 ( )( )u tt 1 ( )( ) ( )y tg tLG

3、s ( )g t 設(shè)設(shè)G(s)的輸入為理想的脈沖信號的輸入為理想的脈沖信號 則輸出則輸出 稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)。 對任意的輸入對任意的輸入( )u t，輸出函數(shù)的時域表達式為，輸出函數(shù)的時域表達式為 00 ( )() ( )( ) () tt y tg tudg t u td 稱為系統(tǒng)響應(yīng)的稱為系統(tǒng)響應(yīng)的卷積積分公式卷積積分公式。 Page 6 一個一個離散序列離散序列作用于連續(xù)被控對象，系統(tǒng)的輸出是作用于連續(xù)被控對象，系統(tǒng)的輸出是t的連的連 續(xù)函數(shù)。設(shè)續(xù)函數(shù)。設(shè)G(s)的輸入為任意的脈沖序列，有的輸入為任意的脈沖序列，有 *( ) (0 ) ( )(1 ) ()(2

4、) (2 ).() ().u tuTtu TtTuTtTu iTtiT 0 () () i u iTtiT 輸出響應(yīng)為輸出響應(yīng)為 0 00 ( )()() ()() () t ii y tg tu iTiT dg tiT u iT 上式描述了一個脈沖序列作用于連續(xù)系統(tǒng)時，連續(xù)系統(tǒng)輸上式描述了一個脈沖序列作用于連續(xù)系統(tǒng)時，連續(xù)系統(tǒng)輸 出的表達式?？梢钥闯?，由此式來計算出的表達式?？梢钥闯?，由此式來計算y(t)相當(dāng)困難。如果相當(dāng)困難。如果 只關(guān)心在采樣時刻的輸出采樣值只關(guān)心在采樣時刻的輸出采樣值，或者能通過輸出采樣值，或者能通過輸出采樣值 y(kT)來描述來描述y(t)特性，在這種情況下，輸出序列

5、為特性，在這種情況下，輸出序列為 Page 7 0 ()() () i y kTg kTiT u iT 0 ( )() () i y tg tiT u iT 對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，當(dāng)對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，當(dāng)ki時，時，g(kT-iT)=0 0 ()() () k i y kTg kTiT u iT 0 () () k i g iT u kTiT Page 8 Z Z傳遞函數(shù)的含義是：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的含義是：系統(tǒng)Z Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(z)G(z)就是系統(tǒng)單位就是系統(tǒng)單位 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)g(t)g(t)的采樣值的采樣值g g* *(t)(t)的的Z Z變換變換 0 )()( k k zkTgzG

6、根據(jù)根據(jù)Z變換的變換的卷積定理卷積定理，得，得 ( )( ) ( )Y zG z u z Page 9 Page 10 （1 1）G(s)是連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而G(z)則是表則是表 示示G(s)與采樣開關(guān)兩者組合體的脈沖傳遞函數(shù)。與采樣開關(guān)兩者組合體的脈沖傳遞函數(shù)。 （2 2）G(z)與與G(s)雖然都使用同一字母雖然都使用同一字母G，但，但G(z) 決不是把決不是把G(s)中的中的s換成換成z得來的，它們之間滿足得來的，它們之間滿足 關(guān)系式關(guān)系式 （3 3）在系統(tǒng)中系統(tǒng)的輸入端有采樣開關(guān)。而在系）在系統(tǒng)中系統(tǒng)的輸入端有采樣開關(guān)。而在系 統(tǒng)的輸出端有沒有采樣開關(guān)都不影

7、響系統(tǒng)的脈沖統(tǒng)的輸出端有沒有采樣開關(guān)都不影響系統(tǒng)的脈沖 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)G(z)。 Page 11 在系統(tǒng)中在系統(tǒng)中 ，試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z). 解：解： 1 1 ( ) 1 G s Ts 1 11 1 1 1 1 11 1 1 ()( ) 1 1 1 1 111 1 t T TT TT GzZ GsZ T s T ZZe T s T z TT zeze Page 12 圖圖 3-2 連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)的三種情況連續(xù)系統(tǒng)串聯(lián)的三種情況 Page 13 (a)(a)中間不帶采樣開關(guān)的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)中間不帶采樣開關(guān)的兩個連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián) ： 一般情況下一般情況下 ： 12

8、( )( )( )G sG s G s 1212 ( )( )( )( )G zZ G s G sGG z 11 ( )( ) ( )C zG z R z 21 ( )( )( )C zGz Cz 21 ( )( )( ) ( )( ) ( )C zG z G z R zG z R z 12 ( )( )( )G zG z G z (b)(b)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有一個同步周期采樣開關(guān)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有一個同步周期采樣開關(guān) ： 1212 ( )( )( )GG zG z G z Page 14 上述兩種情況說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無同步上述兩種情況說明：在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無同步 采樣器，其脈沖傳遞函數(shù)是不同的

9、。采樣器，其脈沖傳遞函數(shù)是不同的。 (c)(c)串聯(lián)環(huán)節(jié)的輸入端無采樣器：串聯(lián)環(huán)節(jié)的輸入端無采樣器： 11 ( )( ) ( )C sG s R s 111 ( )( ) ( )( )C zZ G s R sG R z 22121 ( )( )( )( )( )CzGz C zGz G R z Page 15 普遍結(jié)論：普遍結(jié)論： (1) (1)n n個環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之個環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之 間有同步采樣器，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)間有同步采樣器，總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián) 環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積，即環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積，即 (2)(2)如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒

10、有采樣器，需要將如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣器，需要將 這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個整體，即先求出這些串聯(lián)環(huán)這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個整體，即先求出這些串聯(lián)環(huán) 節(jié)的傳遞函數(shù)，然后再根據(jù)節(jié)的傳遞函數(shù)，然后再根據(jù)G(s)G(s)求求G(z)G(z)。 (3) (3)如果串聯(lián)環(huán)節(jié)的輸入端無采樣器，不能寫如果串聯(lián)環(huán)節(jié)的輸入端無采樣器，不能寫 出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，只能寫出系統(tǒng)輸出信號的出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，只能寫出系統(tǒng)輸出信號的z z 變換。變換。 12 ( )( )( )( ) n G zG z G zG zL 1212 ( )( )( )( )( ) nn G zGGGzZ G s G sG sLL Page 1

11、6 n 在圖在圖3-23-2（a a）中，）中， n 試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 12 11 ( ),( ), 12 G sG s ss 1212 2 2 2 1 ( )( )( ) (1)(2) 11 12 () ()() TT TT TT GG zZ G s G sZ ss zz Z sszeze z ee zeze Page 17 11 22 2 2 12 2 1 ( )( )(), 1 1 ( )( )(), 2 ( )( )( ). ()() T T TT z G zZ G sZ sze z G zZ G sZ sze z G zG z G z zeze n 在圖在圖3

12、-23-2（b b）中，）中， n 試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 12 11 ( ),( ), 12 G sG s ss Page 18 對于兩個環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，對于兩個環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開關(guān)設(shè)輸入采樣開關(guān)設(shè) 在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個環(huán)節(jié)的輸入端在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個環(huán)節(jié)的輸入端 分別設(shè)置一個采樣開關(guān)，分別設(shè)置一個采樣開關(guān)，如圖所示。如圖所示。 (b) 采樣開關(guān)在總輸入端(a) 采樣開關(guān)在各個環(huán)節(jié)輸入端 G1 (s) Y(s)T U(s) Y1(s) Y(z) G2 (s) TY2(s) G1 (s) T U(s) Y1(s) G2 (s) Y2

13、(s) Y(s) Y(z) Page 19 根據(jù)上圖可知，總的根據(jù)上圖可知，總的Z Z傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)Z Z 傳遞函數(shù)之和，即傳遞函數(shù)之和，即 12 12 () () () ()() ()() Yz Gz Uz ZGsGs GzGz 12 ( )( )( )( ) n G zGzGzGzL 上述關(guān)系可以推廣到上述關(guān)系可以推廣到n n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時、在總的個環(huán)節(jié)并聯(lián)時、在總的 輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開關(guān)時的情況?？偟妮敵龆伺c輸入端分別設(shè)有采樣開關(guān)時的情況?？偟?Z Z傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)Z Z傳遞函數(shù)之和，即傳遞函數(shù)之和，即 Page 20 其分析過程與

14、連續(xù)系統(tǒng)相似，但需要注意系統(tǒng)其分析過程與連續(xù)系統(tǒng)相似，但需要注意系統(tǒng) 各通道中各通道中采樣開關(guān)的位置采樣開關(guān)的位置。采樣開關(guān)的位置不同，。采樣開關(guān)的位置不同， 所得到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。閉環(huán)采樣控制所得到的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。閉環(huán)采樣控制 系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)隨著同步采樣開關(guān)的位置的不系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)隨著同步采樣開關(guān)的位置的不 同而不同。同而不同。 對于閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)，可采用與上一節(jié)所對于閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)，可采用與上一節(jié)所 闡述的原則類似地進行分析，得到它的閉環(huán)脈沖闡述的原則類似地進行分析，得到它的閉環(huán)脈沖 傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 Page 21 圖圖3-33-3 采樣開關(guān)在誤差通道

15、的閉環(huán)系統(tǒng)采樣開關(guān)在誤差通道的閉環(huán)系統(tǒng) 圖圖3-33-3所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為: : ( )( ) ( )1( ) C zG z R zGH z G(s) (z) E(s) C(s) C (s) * C(z) B(s) R(z) R (s) * E (s) * E(z) R(s) - H(s) Page 22 計算機控制系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)和整計算機控制系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)和整 個系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。個系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。 圖圖3-43-4 計算機控制系統(tǒng)計算機控制系統(tǒng) D(z) (z) c(t) C(z) R(z) e (t) * E(z)

16、r(t) - s 1- e -Ts G (s) p * u (t) G(z) ( )( )( ) ( ) ( )1( )( ) C zG z D z z R zG z D z Page 23 控制算法通常是由工控機、單片機或控制算法通常是由工控機、單片機或PLCPLC等部件完成等部件完成 的，它是計算機控制系統(tǒng)的核心部分。它根據(jù)系統(tǒng)的誤差，的，它是計算機控制系統(tǒng)的核心部分。它根據(jù)系統(tǒng)的誤差， 算出控制量算出控制量u u* *(t)(t)，以使系統(tǒng)沿著減少誤差的方向運動。，以使系統(tǒng)沿著減少誤差的方向運動。 Page 24 廣義對象的輸入為廣義對象的輸入為采樣信號采樣信號，可求其脈沖傳遞函數(shù)。，可

17、求其脈沖傳遞函數(shù)。 1 ( )( ) Ts p e G sGs s 1 ( ) ( )( ) Ts p e G zZ G sZGs s 所謂所謂廣義對象廣義對象通常是指保持器環(huán)節(jié)和被控對象環(huán)節(jié)串通常是指保持器環(huán)節(jié)和被控對象環(huán)節(jié)串 聯(lián)后所構(gòu)成的連續(xù)時間系統(tǒng)。聯(lián)后所構(gòu)成的連續(xù)時間系統(tǒng)。 1 ( ) ( ) p Gs g tL s 1 ( ) () pTs Gs Leg tT s 設(shè)設(shè) 則則 若設(shè)若設(shè) 1 11 ( )( ) ()( )Z g tG zZ g tTz G z ，則 11 1 ( ) ( )(1)( )(1) p Gs G zzG zzZ s Page 25 n 例例 設(shè)被控對象傳遞函

18、數(shù)設(shè)被控對象傳遞函數(shù) 并且采用零階保持器，求并且采用零階保持器，求 廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G（z）。）。 ( ), 1 p K Gs s 11 1 ( )(1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1)()() t TT TT K G zzZKzZe ss KzeKe z zzeze Page 26 一個控制系統(tǒng)在外信號作用下一個控制系統(tǒng)在外信號作用下從原有穩(wěn)定狀態(tài)變化到新從原有穩(wěn)定狀態(tài)變化到新 的穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)的整個動態(tài)過程稱之為控制系統(tǒng)的的整個動態(tài)過程稱之為控制系統(tǒng)的過渡過程過渡過程。 一般認(rèn)為被控變量進入新穩(wěn)態(tài)值附近一般認(rèn)為被控變量進入新穩(wěn)態(tài)值附近5

19、%5%或或3%3%的范的范 圍內(nèi)就可以表明過渡過程已經(jīng)結(jié)束。圍內(nèi)就可以表明過渡過程已經(jīng)結(jié)束。 通常，線性離散系統(tǒng)的動態(tài)特征是系統(tǒng)在單位階躍信號通常，線性離散系統(tǒng)的動態(tài)特征是系統(tǒng)在單位階躍信號 輸入下的過渡過程特性輸入下的過渡過程特性( (或者說系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性或者說系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性) )。如果。如果 已知線性離散系統(tǒng)在階躍輸入下輸出的已知線性離散系統(tǒng)在階躍輸入下輸出的Z Z變換變換Y Y( (z z) )，那么，對，那么，對 Y Y( (z z) )進行進行Z Z反變換，就可獲得動態(tài)響應(yīng)反變換，就可獲得動態(tài)響應(yīng)y y* *( (t t) )。將。將y y* *( (t t) )連成光滑連成

20、光滑 曲線，就可得到系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)（即超調(diào)量曲線，就可得到系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)（即超調(diào)量%與過渡與過渡 過程時間過程時間t ts s），如圖），如圖3-53-5所示。所示。 Page 27 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y(t) t ts 圖圖3-5 3-5 線性離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)線性離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) % %5 Page 28 采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為：采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為： 對上式的分子和分母多項式進行因式分解可得：對上式的分子和分

21、母多項式進行因式分解可得： 式中式中zi zi與與zj zj分別表示閉環(huán)零點和極點。分別表示閉環(huán)零點和極點。 1 110 1 110 ( ) mm mm nn n b zbzb zb G z zaza za 首先首先研究離散系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的瞬態(tài)響應(yīng)研究離散系統(tǒng)在單位脈沖信號作用下的瞬態(tài)響應(yīng)， 以了解離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。以了解離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。 1 1 () ( ) ( )() ( ) () m i i n j j Kzz Y z G znm R z zz Page 29 利用部分分式法，可將利用部分分式法，可將G(z)G(z)展開展開 ： 由此可見，由此可見，采樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)是它

22、各個極點時間采樣系統(tǒng)的時間響應(yīng)是它各個極點時間 響應(yīng)的線性疊加響應(yīng)的線性疊加。如果了解了位于任意位置的一個極點。如果了解了位于任意位置的一個極點 所對應(yīng)的時間響應(yīng)，則整個系統(tǒng)的時間響應(yīng)也就容易獲所對應(yīng)的時間響應(yīng)，則整個系統(tǒng)的時間響應(yīng)也就容易獲 得了。得了。 與連續(xù)系統(tǒng)類似，采樣系統(tǒng)的零點和極點在與連續(xù)系統(tǒng)類似，采樣系統(tǒng)的零點和極點在z z平面平面 上的分布對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起著決定性的作用。特別是上的分布對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起著決定性的作用。特別是 系統(tǒng)的極點不但決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性還決定了系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)的極點不但決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性還決定了系統(tǒng)響應(yīng) 速度速度。 12 2 1 ( ) n n A zAzA

23、 z G z zPzPzP Page 30 1230456 k k k k k k Rei Imiz平面 單位圓 圖圖3-3-6 6 不同位置的實數(shù)極點與脈沖響應(yīng)的關(guān)系不同位置的實數(shù)極點與脈沖響應(yīng)的關(guān)系 Page 31 1 , ii P Pajb 222 1 () 2 i iii ii A zz B zCA z zPzPzazab 2 222 ()() 2 ii LbzMzaz zazab ( )sin()cos() kk ii h kL rkM rk sin() k Ark Page 32 圖圖3-3-7 7 不同位置的共軛復(fù)數(shù)極點與脈沖響應(yīng)的關(guān)系不同位置的共軛復(fù)數(shù)極點與脈沖響應(yīng)的關(guān)系 0

24、k k Rei Imi z平面 單位圓 k k 1 1 2 2 3 3 4 4 Page 33 整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)實際是上述兩種情況脈沖響應(yīng)之整個系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)實際是上述兩種情況脈沖響應(yīng)之 和。因此，和。因此，采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點在采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z z平面上的位置，平面上的位置， 決定了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度。決定了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度。其中極點的模，即其中極點的模，即極點與原點的極點與原點的 距離，決定了系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列是發(fā)散的還是衰減的。也就是距離，決定了系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列是發(fā)散的還是衰減的。也就是 說，決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。說，決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 反之，若系統(tǒng)中有模大

25、于反之，若系統(tǒng)中有模大于1 1的極點，則當(dāng)?shù)臉O點，則當(dāng)kk時，即時，即 使式中的其它項都趨向于零，但是由于相應(yīng)于模大于使式中的其它項都趨向于零，但是由于相應(yīng)于模大于1 1的的 極點的那項的時間響應(yīng)趨向于無窮大，造成系統(tǒng)單位脈沖極點的那項的時間響應(yīng)趨向于無窮大，造成系統(tǒng)單位脈沖 響應(yīng)也趨向于無窮大，因此系統(tǒng)為不穩(wěn)定。響應(yīng)也趨向于無窮大，因此系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 如果系統(tǒng)所有的極點的模都小于如果系統(tǒng)所有的極點的模都小于1 1，或者說系統(tǒng)所有的，或者說系統(tǒng)所有的 極點都位于極點都位于z z平面上的以原點為圓心，以平面上的以原點為圓心，以1 1為半徑的單位圓內(nèi)，為半徑的單位圓內(nèi)， 則式中各項都對應(yīng)著衰減的脈

26、沖響應(yīng)序列，隨著則式中各項都對應(yīng)著衰減的脈沖響應(yīng)序列，隨著kk，各項，各項 都趨向于零。因此，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。都趨向于零。因此，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 Page 34 例例 某離散系統(tǒng)如圖某離散系統(tǒng)如圖3.8所示，分析該系統(tǒng)的過渡過程。所示，分析該系統(tǒng)的過渡過程。 設(shè)系統(tǒng)輸入是單位階躍函數(shù)設(shè)系統(tǒng)輸入是單位階躍函數(shù) r(t) e(t) e*(t)y(t) T 圖3.8 離散系統(tǒng) s e Ts 1 )1(ss K )368.01)(1 ( )717.01 (368.0 )( 11 11 zz zz zG 21 21 632.01 264.0368.0 )(1 )( )( zz zz zG zG zW

27、 解：解： (1)(1)設(shè)設(shè) K=K=1 1，T=T=1 1；則；則 Page 35 從上述數(shù)據(jù)可以看出，系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的從上述數(shù)據(jù)可以看出，系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的 過渡過程具有衰減振蕩的形式，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量過渡過程具有衰減振蕩的形式，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。其超調(diào)量 約為約為40%40%，且峰值出現(xiàn)在第，且峰值出現(xiàn)在第3 3、4 4拍之間，約經(jīng)拍之間，約經(jīng)1212個采樣周個采樣周 期過渡過程結(jié)束，如圖期過渡過程結(jié)束，如圖3-93-9曲線曲線a a所示。所示。 )()()(zRzWzY 12 123 1234567 8910111213 141516 0.3680.264 1

28、21.6320.632 0.3681.41.41.1470.8950.802 0.8680.9931.0771.0811.0320.981 0.9610.9730.997 zz zzz zzzzzzz zzzzzz zzz Page 36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y(t) t a b 圖圖3-9 3-9 離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線離散系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 Page 37 由以上數(shù)據(jù)可知該二階離散系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，超調(diào)量由以上數(shù)據(jù)可知該二階離散系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的，超調(diào)量 約為約為21%21%，峰值產(chǎn)生在第

29、，峰值產(chǎn)生在第3 3拍，調(diào)整時間為拍，調(diào)整時間為5 5拍，如圖拍，如圖3-93-9 曲線曲線b b所示?？梢?，所示。可見，無保持器比有保持器的系統(tǒng)的動態(tài)性無保持器比有保持器的系統(tǒng)的動態(tài)性 能好。這是因為保持器有滯后作用所致能好。這是因為保持器有滯后作用所致。 )368.01)(1 ( 632.0 )( 11 1 zz z zG 21 1 368.0736.01 632.0 )(1 )( )( zz z zG zG zW 321 1 368. 0104. 1736. 11 632. 0 )()()( zzz z zRzWzY 7 654321 98.0 97.002.112.121.11 .16

30、32.0 z zzzzzz (2)(2)現(xiàn)將圖中的保持器去掉，現(xiàn)將圖中的保持器去掉，k=k=1 1，T=T=1 1；則；則 Page 38 Ts ez js 一個控制系統(tǒng)穩(wěn)定，是它能正常工作的前提條件。連一個控制系統(tǒng)穩(wěn)定，是它能正常工作的前提條件。連 續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是在續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析是在S S平面平面進行的，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定進行的，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定 性分析是在性分析是在Z Z平面平面進行的。進行的。 1.1.S S平面與平面與Z Z平面的關(guān)系平面的關(guān)系 S S平面與平面與Z Z平面的映射關(guān)系，可由平面的映射關(guān)系，可由來確定。來確定。 設(shè)設(shè) Tz ez eez T TjT | Page 39

31、 在在Z 平面上，當(dāng)平面上，當(dāng)為某個定值為某個定值時時z=eTs隨隨由由- -變變 到到的軌跡是一個圓，的軌跡是一個圓，圓心位于原點圓心位于原點，半徑為半徑為 z=eT ，而，而圓心角是隨圓心角是隨線性增大的線性增大的。 當(dāng)當(dāng)=0時，時，| |z|=1|=1，即，即S平面上的虛軸映射到平面上的虛軸映射到Z平面平面 上的是以原點為圓心的上的是以原點為圓心的單位圓單位圓。 當(dāng)當(dāng)0時，時，| |z|1|0時，時，| |z|1|1，即，即S平面的右半面映射到平面的右半面映射到Z平面平面 上的是以原點為圓心上的是以原點為圓心單位圓的外部單位圓的外部。 S平面與平面與Z平面的映射關(guān)系如圖平面的映射關(guān)系如圖

32、3-10所示。所示。 Page 40 -1 1 -j j Z jIm Re0 S j 0 圖圖3-10 3-10 S S平面與平面與Z Z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系 Page 41 于是得到下面結(jié)論：于是得到下面結(jié)論： 1 1S S平面的虛軸對應(yīng)于平面的虛軸對應(yīng)于Z Z平面的單位圓的圓周。平面的單位圓的圓周。 在在S S平面上，平面上，每變化一個每變化一個s s時，則對應(yīng)在時，則對應(yīng)在Z Z 平面上重復(fù)平面上重復(fù) 畫出一個單位圓，在畫出一個單位圓，在S S平面中平面中- -s s/2/2s s/2/2的頻率范圍的頻率范圍 內(nèi)稱為主頻區(qū)，其余為輔頻區(qū)（有無限多個）。內(nèi)稱為主頻區(qū)，其余為輔頻區(qū)（

33、有無限多個）。S S平面平面 的主頻區(qū)和輔頻區(qū)映射到的主頻區(qū)和輔頻區(qū)映射到Z Z平面的重迭稱為頻率混迭現(xiàn)平面的重迭稱為頻率混迭現(xiàn) 象象，由于實際系統(tǒng)正常工作時的頻率較低，因此，實，由于實際系統(tǒng)正常工作時的頻率較低，因此，實 際系統(tǒng)的工作頻率都在主頻區(qū)內(nèi)。際系統(tǒng)的工作頻率都在主頻區(qū)內(nèi)。 S S平面的原點對應(yīng)于平面的原點對應(yīng)于Z Z平面正實軸上平面正實軸上z=z=1 1的點。的點。 Page 42 2 2S S平面的左半面對應(yīng)于平面的左半面對應(yīng)于Z Z平面的單位圓內(nèi)部。平面的單位圓內(nèi)部。 S S平面的負(fù)實軸對應(yīng)于平面的負(fù)實軸對應(yīng)于Z Z平面的單位圓內(nèi)正實軸。平面的單位圓內(nèi)正實軸。 S S平面左半面

34、負(fù)實軸的無窮遠(yuǎn)處對應(yīng)于平面左半面負(fù)實軸的無窮遠(yuǎn)處對應(yīng)于Z Z平面單位圓的平面單位圓的 圓心。圓心。 3 3S S平面的右半面對應(yīng)于平面的右半面對應(yīng)于Z Z平面單位圓的外部。平面單位圓的外部。 在連續(xù)系統(tǒng)中，在連續(xù)系統(tǒng)中，如果其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點都在如果其閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點都在S S平面平面 的左半部分，或者說它的閉環(huán)特征方程的根的實部小的左半部分，或者說它的閉環(huán)特征方程的根的實部小 于零，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。于零，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由此可見，由此可見，離散系統(tǒng)的閉離散系統(tǒng)的閉 環(huán)環(huán)Z Z傳遞函數(shù)的全部極點（特征方程的根）必須在傳遞函數(shù)的全部極點（特征方程的根）必須在Z Z平平 面中的單位圓內(nèi)時，

35、系統(tǒng)是穩(wěn)定的。面中的單位圓內(nèi)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 Page 43 例例 某離散系統(tǒng)的閉環(huán)某離散系統(tǒng)的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 1 12 3.16 ( ) 120.75 z w z zz （1）直接求特征根）直接求特征根 2.2.穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) Page 44 ； 1 , 1 w z w 1 , 1 z w z z w 22 2222 1() 12 1(1)(1) xjyxyy wujvj xjyxyxy ,wujv,zxjy wjv0,u 22 10 xy 22 1xy z （2）勞斯判據(jù)）勞斯判據(jù) Page 45 圖圖3-3-1111 Z Z平面和平面和WW平面的對應(yīng)關(guān)系平面的對應(yīng)關(guān)系

36、 Im Z平面 (1,0) Re Im Re 平面 0 0 22 1xy w w (0)u (0)u 22 1xy Page 46 判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題就變成了判定特判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題就變成了判定特 征方程根的分布問題。征方程根的分布問題。 利用變換和勞斯判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用變換和勞斯判據(jù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 W Page 47 例例1 1 設(shè)采樣控制系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)采樣控制系統(tǒng)的特征方程為： 32 ( )45117119390.F zzzz 32 1 1 111 ( )45()117()119()39 0. 111 w z FF z 32 115127127410. 3 2

37、 1 0 127 41 0 0 115 127 164 41 解：解： 進行進行W變換得變換得 化簡后化簡后 作勞斯陣列作勞斯陣列 F（z）在單位圓外有一個根，所以該采樣系統(tǒng)不穩(wěn)定。）在單位圓外有一個根，所以該采樣系統(tǒng)不穩(wěn)定。 試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 Page 48 Page 49 2 1 ( ) (1)1 T zTzzz G zK zzzze 1 (1) 1 (1)(1) (1)() T TTT T Tz K zze TezeTe K zze 0.3680.264 ( ) (1)(0.368) KzK G z zz 2 ( )1( ) (0.3681.368)(0.2640.3

38、68)0 D zG z zKzK Page 50 ，則有，則有令令 1 1 w w z ，則有，則有令令 1 1 w w z 2 ( )0.632(1.2640.528)(2.7360.104)0P wKwK wK 02.4K 0.1070.09 ( ) (1)(0.607) KzK G z zz 2 ( )1( ) (0.1071.607)(0.090.6078)0 D zG z zKzK 2 ( )0.197(0.7860.18)(3.2140.017)0P wKwK wK 04.37K Page 51 ，則有，則有令令 1 1 w w z 1 2 11 ( )() 11 (1)0.632

39、 (1)()1.3680.368 T T T T zz G zK ZK sszze KezKz zzezz 2 ( )1( )(0.6321.368)0.3680D zG zzKz 2 ( )0.6321.264(2.7360.632)0P wKwwK 04.33K Page 52 ( ) (1) K G s s s 2 ( )1( )0D sG sssK 0K 0K Page 53 02.4K 04.37K Page 54 04.33K 02.4K Page 55 圖圖3-3-1212 單位反饋系統(tǒng)單位反饋系統(tǒng) 利用利用z z變換的終值定理，可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為變換的終值定理，可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)

40、誤差為 ： 根據(jù)根據(jù)G(z)G(z)中包含有中包含有z z= =1 1的極點個數(shù)，可以將系統(tǒng)分成的極點個數(shù)，可以將系統(tǒng)分成0 0型型( (沒沒 有有z z1 1的極點的極點) )，1 1型型(1(1個個z z1 1的極點的極點) )，2 2型型(2(2個個z z1 1的極點的極點) )等。等。 1 1( ) ( )lim ( )lim() 1( ) zk zR z ee k zG z r(t) T G(s) c(t) - e(t)e (t) * Page 56 ( ) 1 z R z z 1 1111 ( )lim. 1( )11(1) z p zz e zG zzGK 位置誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)p K 在在單位階躍單位階躍函數(shù)作用下，函數(shù)作用下，0 0型型離散系統(tǒng)在采樣瞬