江西師范大學本科畢業(yè)生學士學位論文

1、江西師范大學2006屆本科畢業(yè)生學士學位論文題目：利用特殊函數(shù)求解氫原子the solution of hydrogen atom by special functions姓 名： 楊 躍 明 學 號： 026010063 學 院： 物理與通信電子學院 專 業(yè)： 物理學 指導老師： 馬善鈞（教授） 選題編號： 完成時間： 2006年4月25日 摘 要本論文是利用特殊函數(shù)來求解氫原子的薛定諤方程，采用分離變量法,將其化為一元微分方程，對分解后的一元微分方程求解，得出氫原子的能級和波函數(shù)形式，從而討論出氫原子的能級分立，不等間距和核外電子在空間的分布情況。關鍵詞：氫原子、薛定諤方程、氫原子能級和波

2、函數(shù)、特殊函數(shù)。abstractin this paper，we introduce the schrdinger equation of hydrogen atom and transform it into ordinary differential equation by variable separation method.solving the latter,we get energy levels and wave function of hydrogen atom directly. by discussing about energy levels and wave funct

3、ion, we can find eigenenergies are discrete, inequally spaced, and we obtain spatial distribution of electron.keywords：hydrogen atom，schrdinger equation ，energy levels and wave function of hydrogen atom，special function.目 錄1 引言12 氫原子的薛定諤方程12.1 自然坐標下的薛定諤方程12.2 以相對坐標和質(zhì)心坐標表示的薛定諤方程12.3 時間函數(shù)22.4 質(zhì)心運動狀態(tài)33

4、 電子相對核的運動狀態(tài)33.1 波函數(shù)在球坐標下的表示33.2 求解球函數(shù)43.2.1 對球函數(shù)分離變量43.2.2 求解53.2.3 求解53.2.4 球函數(shù)的解63.3 求解徑向方程74 氫原子的波函數(shù)、能級形式105 討論105.1 對能級的討論105.2 對波函數(shù)形式的討論115.2.1 徑向分布函115.2.2 角分布函數(shù)136 小結(jié)147 附錄15參考文獻19致謝201 引言巴耳末公式可以成功地計算氫原子躍遷的一些問題，卻未能給出合理的解釋，在氫原子一些問題的處理中，玻爾曾應用經(jīng)典理論和量子化條件導出氫原子的能級公式，但是量子化條件的引進沒有適當?shù)睦碚摻忉?隨量子力學的發(fā)展，我們知

5、道微觀粒子具有波粒二象性，其微觀體系的狀態(tài)可以用波函數(shù)(r,t)描述,且波為一種幾率波,波函數(shù)在空間某一點的強度(幾率振幅的模的平方)和在該點找到粒子的幾率成正比,且波函數(shù)隨時間變化遵從薛定諤方程, 利用薛定諤方程我們可以精確求解氫原子的的能級和波函數(shù)形式，有了能級和波函數(shù)，我們不需要假設更不需要人為的規(guī)定就可以成功地解釋氫原子的光譜，得出能級分立，最可然半徑，躍遷公式等。本文利用特殊函數(shù)求解氫原子的薛定諤方程，采用分離變量法，將特殊函數(shù)化為一元微分方程，從而得出氫原子的的能級和波函數(shù)形式。2 氫原子的薛定諤方程 2.1 自然坐標下的薛定諤方程在氫原子問題中，嚴格說來，我們應當考慮核的運動，也

6、就是說應當考慮兩個粒子（電子與核）在庫侖相互作用下的運動；這是一個兩體問題1，在經(jīng)典力學中，我們知道兩體問題可以歸結(jié)為一個粒子在場中的運動；我們將看到，在量子力學中，情況也是這樣，下面將給出其解析解，并根據(jù)所得出的能級和能量本征函數(shù)，對氫原子光譜線的規(guī)律及一些重要性質(zhì)給予定量說明。氫原子包含原子核及核外電子，是個二體問題，由多粒子體系的薛定諤方程2，我們可以寫出氫原子的薛定諤方程： （1）式中 分別是電子和核的坐標；分別是電子和核的質(zhì)量。2.2 以相對坐標和質(zhì)心坐標表示的薛定諤方程前面已說過，為簡化問題，量子力學與經(jīng)典力學一樣，可以把二體問題化為單體問題。由質(zhì)心坐標公式，我們可以得出質(zhì)心坐標，

7、 （2）式中=是體系的總質(zhì)量。由于為核坐標，為自然坐標下電子坐標，以（）表示電子相對核的坐標，則有： （3）把對兩個粒子坐標的微商變換成對相對坐標和質(zhì)心坐標的微商，直接通過微商運算3有： （4）將（2）（3）（4）式子代入（1）式后，得到以相對對坐標和質(zhì)心坐標表示的薛定諤方程： （5）式中稱為約化質(zhì)量。2.3 時間函數(shù)設可以表示為三個函數(shù)的乘積，其中僅是的函數(shù)，其中僅是的函數(shù)，其中僅是的函數(shù)4,以 （6）將（6）式代入方程（5），用除方程兩邊，則左邊僅與時間有關而與坐標無關，右邊僅與坐標有關而與時間無關，所以兩邊應等于同一個常數(shù)。以表示這常數(shù)，則由左邊有 它的解是 （7）2.4 質(zhì)心運動狀態(tài)將

8、（6）式代入方程（5），用除方程兩邊，右邊為： 這方程左邊第一項僅與有關，第二項和第三項僅與有關，所以它們應分別等于常數(shù)，兩常數(shù)之和是，以表示左邊第二，第三兩項之和；則 （8） （9）方程（9）是描寫質(zhì)心運動狀態(tài)的波函數(shù)5 所滿足的方程，很容易看出這是能量為的自由粒子的定態(tài)薛定諤方程。由此可見，質(zhì)心相當于質(zhì)量為的自由粒子運動，相應的能量為，相應的波函數(shù)是平面波。3 電子相對核的運動狀態(tài)在氫原子問題中，我們特別感興趣的是原子的內(nèi)部狀態(tài)，即電子相對核的運動狀態(tài)。因此對于兩體問題，關鍵是求解相對運動方程（8）式，對氫原子，原子核遠大于核外電子質(zhì)量，質(zhì)心位置就在核上，從而有，方程（8）正是描寫電子相對

9、于核運動波函數(shù)所滿足的方程，相對運動的能量e就是電子的能級?？梢钥闯?，方程（8）所描寫的運動正好是一個折合質(zhì)量的粒子在勢能力場中運動。3.1 波函數(shù)在球坐標下的表示在式（8）中，我們?nèi)∏蜃鴺讼担瑒輬鰹槲龓靵鰟?，于是我們得到在球坐標系下的波函?shù)6 。=（10）與無關，在球坐標下（8）式為： （11）因為分別為三個獨立變量，故可分離變量，記（12）將（12）式代入（11）式，則（11）式變?yōu)椋?（13）這方程的左邊僅與有關，右邊僅與有關，而都是獨立變量，所以只有當?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€常數(shù)時，等式才能成立，以表示這個常數(shù)，則（13）式可以分離為兩個方程: （14）= （15）通常（）（14）式稱為

10、徑向方程，（15）式為球函數(shù)方程。3.2 求解球函數(shù)3.2.1 對球函數(shù)分離變量接下來，我們對球函數(shù)進行分離變量7： 令 （16）代入球函數(shù)方程（15），得（17）用遍乘各項并適當移項，得（18）3.2.2 求解 通過觀察上式可知：方程左邊是函數(shù)，跟無關，右邊是的函數(shù)，跟無關，兩邊相等顯然是不可能，除非兩邊實際上是同一個常數(shù)，把這個常數(shù)記為 （19）這就分解為兩個常微分方程8： （20）（20b）的解很容易求解，由波函數(shù)的單值性，方向波函數(shù)的邊界條件是 （21）常微分方程（20b）和自然周期條件構(gòu)成本征值問題，本征值是 （22）本征函數(shù)是 （23）根據(jù)歐拉公式（23）式可寫成 （24）由方向的

11、歸一化條件得出=所以 （25）3.2.3 求解現(xiàn)在我們來求解方向的方程(20a) 9，將（20a）改寫為： （26）通常用把自變數(shù)從變?yōu)?只是代表，并不是直角坐標，則方程（26）化為：亦即 （27）式（25）叫作階連帶勒讓德方程10。作變換其，所以 （28）為的階導數(shù)。既然是次多項式，它最多只能求導次，超過次就得為0，因此，本征值中的整數(shù)對的一個確定值，連帶勒讓德函數(shù)中的只能取值。所以由可以算出其歸一化系 3.2.4 球函數(shù)的解 解出、后，于是我們得出球函數(shù)的解10： （29） （30）3.3 求解徑向方程解出后，最后我們求解方向即徑向方程11其中（ ） （31）上式變?yōu)椋?（32）我們注意到

12、= （33）因而可令 （34）代入上式可得： （35）為方便計，令 （36）方程化為（37）再令（38）上式變?yōu)椋海?9）為解這個方程，先研究其漸近形式：當（40）當（41）式中有兩個常數(shù)因此總能使它和有限遠處的方程式的解光滑連接，保證波函數(shù)連續(xù)和波函數(shù)微商連續(xù)這兩個方程式成立，表明大于0時一切值都是允許值，構(gòu)成連續(xù)譜，此處電子處于電離態(tài)，不屬于我們研究范圍。因此，當小于0時， （42）由于波函數(shù)有界12，因而=0于是解 （43）當 （44）令 （45）得 （46）解得即由于在處發(fā)散，故舍去，所以只存在的解綜上所述： （47）將上式代入徑向方程得的微分方程： （48）令簡化方程得： （49）此

13、方程與合流超比方程 （50）可知 （51）其解為合流超比函數(shù)有 （52）其中遞推關系 （53）當在無窮遠處發(fā)散，也發(fā)散，須將切斷為多項式。即只能含有限項，設最高次項是，可知，由遞推關系=0即，（=0，1，2，3）由上式的=，令于是有， （54）此時氫原子的束縛態(tài)徑向波函數(shù)13是對進行歸一化條件 （55）式中 其中稱為第一玻爾半徑14，為主量子數(shù)，為角動量量子數(shù)，為磁量子數(shù)，并注意到的取值是：4 氫原子的波函數(shù)、能級形式綜上所述，我們得出電子相對核運動的波函數(shù)15： （56）其和分別見上，且得出電子能量 （57）5 討論有了氫原子的波函數(shù)和能級形式，現(xiàn)在我們可以對氫原子的物理圖象和一些主要結(jié)果作

14、一些討論16：5.1 對能級的討論由于氫原子的束縛態(tài)能級20滿足.可知與成正比，即與成反比，我們可以討論得出幾點：由于為整數(shù)，所以氫原子的能級是分立的、不等間距的；當增加時，增加，即能級越高，能量越大，能級間距越小，能級越密；當=1時，氫原子處于基態(tài)，此時具有的能量稱為基態(tài)能，電子伏；當時，電子不再束縛在核的周圍，而可以完全脫離原子核，即開始電離；與電子基態(tài)能量之差稱為電離能，氫原子的電離能為：=13.60電子伏。如果用約化質(zhì)量，=13.597電子伏。另外，對于庫侖場，能級，只與主量子數(shù)有關，與角動量量子數(shù)及磁量子數(shù)無關，但波函數(shù)與，三個量子數(shù)有關，能級是簡并的，注意到的取值：因此簡并度是（2

15、）利用氫原子能級公式可解釋氫原子光譜17，并給出里德伯常數(shù)，電子能級躍遷到時輻射出光，它的頻率為這就是巴耳末公式。式中是里德伯常數(shù)；若用約化質(zhì)量，則=10967758。從理論得到的值與實驗值很好的符合，由此可見，量子力學比玻爾理論更成功，它可以直接從求解氫原子的薛定諤方程給出氫原子的光譜18，而無須依賴玻爾原子論中的各種假設，整個理論顯得更自然和更嚴密。5.2 對波函數(shù)形式的討論5.2.1 徑向分布函知道了氫原子的波函數(shù)，就可以進一步討論氫原子內(nèi)電子在空間各點的幾率分布。當氫原子處于態(tài)時，電子在點周圍的體積元內(nèi)的幾率是將此式對積分，并注意是歸一化的，我們便得到在半徑到的球殼內(nèi)找到電子的幾率是稱

16、為徑向概率分布函數(shù)，我們列出最低的幾個的表達式：在不同的值時對的曲線如下圖。曲線上的數(shù)字表示的值。圖1 與的函數(shù)關系圖 與的函數(shù)關系圖2 與的函數(shù)關系圖3 與的函數(shù)關系例如，30表示從圖中還可以看出是的節(jié)點數(shù)目；比如30曲線，=2，這曲線有兩個交點。從上式還可以證明，當氫原子處于基態(tài)時，在電子與核的距離為處的幾率最大。5.2.2 角分布函數(shù) 電子出現(xiàn)在角度為處的立體角的幾率1, 3是：下圖表示在各種的態(tài)中對的函數(shù)關系。由于與角無關，所以這些圖形是繞軸旋轉(zhuǎn)對稱的立體圖形。圖4 態(tài)電子角分布圖5 態(tài)電子角分布圖6 態(tài)電子角分布圖7 態(tài)電子角分布例如，在時幾率是它與也無關，所以在圖中是一個球面。又如

17、，時，幾率在=（不論取何值）有最大值，在極軸方向（）的值為0，而在時，情況則恰好相反，在=0處幾率有最大值，=處幾率為0。6 小結(jié)本文是利用特殊函數(shù)來求解氫原子的薛定諤方程，采用分離變量法，將其化為常微分方程，在對分解后的常微分方程求解過程中，引入特殊函數(shù)，從而解出氫原子的能級及波函數(shù)形式19，由能級和波函數(shù)形式，我們更有力更合理地解釋氫原子光譜以及推導出巴耳末公式，同時由波函數(shù)形式，我們根據(jù)其歸一性也更好的說明電子在核內(nèi)分別按徑向和角向兩種分布情況，分別對能量和波函數(shù)形式加以討論得出能級分立，最可然半徑，躍遷公式20等。7 附錄附錄（一）連帶勒讓德函數(shù)為了得到一般情況下的球函數(shù)，首先要求解連

18、帶勒讓德方程:（）連帶勒讓德方程常點，可以在的鄰域上求連帶勒讓德方程的級數(shù)解，但是直接運用級數(shù)解法所得系數(shù)遞推公式比較復雜，每個遞推公式涉及三個系數(shù)，從而難于寫出系數(shù)的一般表示式。因此，通常作變換把待求函數(shù)從變換為，在這變換下把以上三個式子代入連帶勒讓德方程，就把它化為的微分方程：事實上，微分方程就是勒讓德方程逐項求導次后得到的方程，應用關于乘積求導的萊布尼茨求導規(guī)則把勒讓德方程求導次，其結(jié)果是即 這正是的微分方程，因此，解應當是勒讓德方程的解的 階導數(shù)，我們知道，勒讓德方程和自然邊界條件（在為有限）構(gòu)成本征值問題，本征值是，而為整數(shù)，本征函數(shù)則是勒讓德多項式，那么，方程也就與自然邊界條件構(gòu)成

19、本征值問題，本征值同上，本征函數(shù)則是的階導數(shù)，即以此代回得這叫做連帶勒讓德函數(shù)，通常記作其中只是的階導數(shù)?？傊?，連帶勒讓德方程和自然邊界條件也構(gòu)成本征值問題，本征值是，本征函數(shù)則則是連帶勒讓德函數(shù)。是階多項式，它最多只能求導次，超過次就得到0，因此，本征值中的整數(shù)應大于等于，對的一個確定值，連帶勒讓德函數(shù)中的只能取值當=0時，連帶勒讓德函數(shù)簡化為勒讓德多項式，下面列出的連帶勒讓德函數(shù)的具體形式。附錄（二）合流超幾何函數(shù)形式如下的微分方程稱為合流超幾何方程=0點則是方程的正則奇點，=是非正則奇點，其余為常點，先研究方程的解在奇點=0附近的行為。當0時，方程漸近形式表示成 令代入，可得出指標方程它

20、的兩個根為當整數(shù)時，可以用級數(shù)解法求得微分方程的兩個線性無關解。先討論與相應和級數(shù)解代入合流超幾何方程，要求方程左邊的各次項的系數(shù)為0，得出和遞推關系為 由此可得出 所有系數(shù)均可用表示出來，為任意常數(shù)，這樣，我們得到了方程和一個解，通常到=1，級數(shù)解記為 其中： =這級數(shù)解只當和負整數(shù)才有意義，由定義的函數(shù)稱為合流超幾何函數(shù)21。由于整數(shù)，即整數(shù)，與根相對應，方程的另一個線性獨立的級數(shù)解可表示為代入式得與合流超幾何方程比較，形式上完全相同，只是參數(shù)不同，上式的一個解可以表示成這樣，在整數(shù)和情況下，我們找到了的二個線性獨立解，為在的性質(zhì)，按遞推關系，當時，這個比值與和冪級數(shù)展開的系數(shù)比值相同，因

21、此，時當可負整數(shù)，應取解，此時一般沒有意義，除非也是負整數(shù)，此時可令為一個多項式22而=為無窮級數(shù)，當，兩解相同，均為當正整數(shù)，應取，因為一般失去意義，除非是不小于負整數(shù)，此時是一個多項式，而則為無窮級數(shù)（因為），因此當整數(shù)時，而又非適當?shù)呢撜麛?shù)時，要用另個的辦法找第二解。參考文獻1 周世勛.量子力學教程m.北京:高等教育出版社,1979.64-77.2 蘇汝鏗.量子力學m.上海:復旦大學出版社,1997.99-110.3 蘇汝鏗.量子力學m. 北京:高等教育出版社,2001.62-70.4 汪德新.數(shù)學物理方法m.武漢:華中科技大學出版社，2001.99-130.5 梁昆淼.數(shù)學物理方法m.

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