銳角三角函數(shù)

1、1.1 銳角三角函數(shù)（第1課時(shí)） 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 直角三角形直角三角形 三邊關(guān)系三邊關(guān)系 兩銳角關(guān)系兩銳角關(guān)系 勾股定理勾股定理 互余互余 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 邊角關(guān)系邊角關(guān)系 30角所對(duì)的角所對(duì)的 直角邊等于斜直角邊等于斜 邊的一半邊的一半 自學(xué)指導(dǎo)1 認(rèn)真閱讀認(rèn)真閱讀P2P2P4P4，思考下列問(wèn)題，思考下列問(wèn)題 v如何判斷梯子的陡與緩？如何判斷梯子的陡與緩？ v正切的含義是什么？正切的含義是什么？ v梯子的傾斜度與梯子的傾斜度與tanAtanA有何關(guān)系？有何關(guān)系？ 三分鐘后完成問(wèn)題探究一三分鐘后完成問(wèn)題探究一 梯子,地面與墻之間就形成一個(gè)直角三 角形。墻AC和地面BC看成是直角

2、邊，梯子 AB看成是斜邊。 梯子與地面的夾角 稱(chēng)為傾斜角 從梯子的頂端A到墻角C的距離，稱(chēng)為梯子 的鉛直高度 從梯子的低端B到墻角C的距離，稱(chēng)為梯子 的水平寬度 A C CB 梯子在上升變陡過(guò)程中，傾斜角的大小有無(wú)變化？ 如何變 ？ 水平寬度水平寬度 1 12 2 傾斜角傾斜角越大越大梯子越梯子越陡陡 實(shí)例:如圖，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣 判斷的？ 當(dāng)鉛直高度一樣，水平寬度越小，梯子越陡 當(dāng)水平寬度一樣，鉛直高度越大，梯子越陡 甲組甲組乙組乙組 實(shí)例:如圖，梯子AB和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判 斷的？ 9m 8m 如圖，三部梯子的傾斜程度一樣，通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)其中兩 部梯子的數(shù)據(jù)如下，請(qǐng)你用

3、上面的方法分析當(dāng)傾斜角相 等時(shí)，鉛直高度和水平寬度之間有何關(guān)系。 1 2 3 4 2 3 2 5 請(qǐng)你判別下列哪部梯子最陡 在RtABC中,如果 銳角A確定,那么 A的對(duì)邊與鄰邊的比隨之確定, 這個(gè)比叫做 A的正切 記作:tanA tanA= 梯子的傾斜程度與tanA的關(guān)系 tanA越大，梯子越陡， A越大 B A C 斜 邊 A的對(duì)邊BC A的鄰邊AC 在RtABC中 一一. . 去假存真去假存真( (搶答）搶答） 1. 如圖 (1)( ). AC BC A tan A B C A B C 7m 10m (1) (2) 4如圖 (2)( ). BC AC A tan 2如圖 (2)( ).

4、AB BC A tan 3如圖 (2)( ). 7 10 tanB 錯(cuò)錯(cuò) 對(duì)對(duì) 錯(cuò)錯(cuò) 錯(cuò)錯(cuò) 反饋練習(xí)一反饋練習(xí)一 w例1 下圖表示兩個(gè)自動(dòng)扶梯的幾何模型,那 一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡? w解解: :甲梯中甲梯中 乙梯中乙梯中 . 12 5 513 5 tan 22 . 2 1 8 4 tan tan tan 甲梯更陡甲梯更陡 4 m 8 m 甲 甲梯甲梯 A B C 乙 5 m 13 m 乙梯乙梯 D E F v1.tanA是在直角三角形中定義的,A是一個(gè)銳 v角（注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形）. v2.tanA是一個(gè)完整的符號(hào),表示A的正切,習(xí)慣 v省去“”號(hào)（注意tanA不表示tan乘以A).

5、v3.tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角 形中A的對(duì)邊與鄰邊的比. 4.tanA的大小只與A的大小有關(guān),而與直角三角 v形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān). v5.角相等,則正切值相等；兩銳角的正切值相等, v則這兩個(gè)銳角相等. 請(qǐng)你用不同的符號(hào)表示下列圖 形中兩個(gè)銳角的正切 閱讀P5下面的內(nèi)容，思考下面問(wèn)題 v什么是坡度（坡比）？ v坡度和坡角的聯(lián)系與區(qū)別是什么？ 2分鐘后完成問(wèn)題探究二 自學(xué)指導(dǎo)2 w斜坡的傾斜程度常用坡度表示.例如，有一 山坡在水平方向上每前進(jìn)80m就升高60m,山 坡的坡度 1.1.坡面與水平面的夾角坡面與水平面的夾角()()叫叫坡角坡角 2.2.坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱(chēng)為坡

6、面的鉛直高度與水平寬度的比稱(chēng)為坡度坡度i i ( (或坡比或坡比),),即坡度等于坡角的正切。即坡度等于坡角的正切。 3.3.坡度越大坡度越大, ,坡面越陡。坡面越陡。 603 tan. 1005 i 100m 60m 例：例： 如圖，為攔水壩的橫截面，其中如圖，為攔水壩的橫截面，其中ABAB面的坡度面的坡度 i i ，若壩高，若壩高BC=20BC=20米，求壩面米，求壩面ABAB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 320 解解: :在在RtRtABCABC中中,BC=20,BC=20米米 坡度坡度i i： 則則AC= AC= 米米. . 又又ABAB2 2=BC=BC2 2+AC+AC2 2 AB= AB=202

7、02 2+( )+( )2 2=40=40米米 3 3 1 AC BC 320 3:1 在在RtABC中中, 如果如果 銳角銳角A確定確定, 那么那么 A的對(duì)邊與鄰邊的比的對(duì)邊與鄰邊的比 隨之確定隨之確定, 這個(gè)比叫做這個(gè)比叫做 A的正切的正切. 記作記作:tanA tanA= A的對(duì)邊的對(duì)邊 A的鄰邊的鄰邊 B A C A的對(duì)邊的對(duì)邊 A的鄰邊的鄰邊 tanA越大，梯子越陡，越大，梯子越陡， A越大越大 課堂小結(jié)課堂小結(jié)： 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系 1.1 銳角三角函數(shù)（第2課時(shí)） 復(fù)習(xí)引入 2、在RtABC中，C90， tanA ，AC10求BC,AB的長(zhǎng)。 1、如圖，RtABC中，t

8、anA = ，tanB= 。 4 3 3、若梯子與水平面相交的銳角（傾斜角）為A， A越大，梯子越 ；tanA的值越大，梯子 越 。 4、當(dāng)RtABC中的一個(gè)銳角A確定時(shí),其它邊之間的 比值也確定嗎? 可以用其它的方式來(lái)表示梯子的傾 斜程度嗎？ B1 B2 AC1C2 探究活動(dòng)1：如圖 （1）RtAB1C1和RtAB2C2的關(guān)系 是 。 （2） 。 （3）如果改變B2在斜邊上的位置， 則 。 的的關(guān)關(guān)系系是是 A AB B C CB B 和和 A AB B C CB B 2 2 2 22 2 1 1 1 11 1 的的關(guān)關(guān)系系是是 A AB B C CB B 和和 A AB B C CB B

9、2 2 2 22 2 1 1 1 11 1 思考：從上面的問(wèn)題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個(gè)銳 角的大小已確定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值_， 根據(jù)是_。 它的鄰邊與斜邊的比值呢？ 歸納概念 在RtABC中,銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的 正弦,記作sinA,即 在RtABC中,銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦,記作cosA,即 銳角A的正弦,余弦,正切 和余切都叫做A的三角 函數(shù). A B C A的對(duì)邊 A的鄰邊 斜邊 sinA= 斜邊 A的對(duì)邊 cosA= 斜邊 A的鄰邊 溫馨提示 v（1）sinA，cosA是在直角三角形中定義的,A是一個(gè) 銳角； v（2）sinA，cosA中常省去角的符號(hào)

10、“”。但BAC 的正弦和余弦表示為: sinBAC，cosBAC。1的正 弦和余弦表示為: sin1，cos1； v（3）sinA，cosA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值； v（4）sinA，cosA是一個(gè)完整的符號(hào)，不表示 “sin”,“cos”乘以“A” ； v（5）sinA，cosA的大小只與A的大小有關(guān),而與直角 三角形的邊長(zhǎng)沒(méi)有必然的關(guān)系。 鉛直高度 水平寬度 傾斜角 探究活動(dòng)2：我們知道，梯子的傾斜 程度與tanA有關(guān)系，tanA越大，梯子 越陡，那么梯子的傾斜程度與sinA和 cosA有關(guān)系嗎？是怎樣的關(guān)系？ A 探究新知 探索發(fā)現(xiàn)： 梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān) cosA越

11、 ,梯子越陡. sinA越大,梯子 ; 探究3：如圖:在RtABC中,C=900,AB=20, sinA=0.6，求BC和cosB. 20 A B C 解:在RtABC中, 6.0 20 sin BC AB BC A 126 . 020 BC 0.6 20 12 AB BC cosB 思考:通過(guò)上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)sinA與cosB有什么關(guān)系呢? sinB與 cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一樣呢？請(qǐng)舉例說(shuō)明。 在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于另一個(gè) 銳角的余弦。 小結(jié)規(guī)律： 在直角三角形中，一個(gè)銳角的正 弦等于另一個(gè)銳角的余弦。 即sinA=cosB 1、如圖,在RtABC中,銳角A的

12、對(duì)邊和鄰邊同 時(shí)擴(kuò)大100倍,sinA的值（ ） A.擴(kuò)大100倍 B.縮小100倍 C.不變 D.不能確定 2、已知A,B為銳角 (1)若A=B,則sinA sinB; (2)若sinA=sinB,則A B. A B C c = = 及時(shí)檢測(cè) 3、如圖, C=90CDAB A C BD .sinB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AC CD AB AD BC AC 歸類(lèi)提升 類(lèi)型一： 已知直角三角形兩邊長(zhǎng)，求銳角三角函數(shù)值 例1 在RtABC中,C=90, AC=3,AB=6,求 B的三個(gè)三角函數(shù)值。 類(lèi)型二： 利用三角函數(shù)值求線段的長(zhǎng)度 例2 如圖，在RtABC中,C=90

13、, BC=3,sinA= ,求AC和AB。 13 5 類(lèi)型三： 利用已知三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值 例3 在RtABC中，C=90，BC=6， sinA= ，求cosA、tanB的值。 5 3 類(lèi)型四： 求非直角三角形中銳角的三角函數(shù)值 例4 如圖:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB. 求銳角三角函數(shù)時(shí),勾股定理的運(yùn)用是很重要的. 1、銳角三角函數(shù)定義： sinA= ， cosA= ， tanA= ； 總結(jié)延伸 A B C A的對(duì)邊 A的鄰邊 斜邊 2、溫馨提示： （1）sinA，cosA，tanA， 是在直角三角形中定 義的，A是銳角(注意數(shù)形結(jié)

14、合，構(gòu)造直角三角 形)； （2）sinA，cosA，tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，表 示A的正切，習(xí)慣省去“”號(hào)； （3）sinA，cosA，tanA都是一個(gè)比值，注意區(qū) 別,且sinA,cosA,tanA均大于0,無(wú)單位； （4）sinA，cosA，tanA的大小只與A的大小有 關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)沒(méi)有必然關(guān)系； （5）兩銳角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳 角的三角函數(shù)值相等，則這兩個(gè)銳角相等。 3、在用三角函數(shù)解決一般三角形或四邊形的 實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)注意構(gòu)造直角三角形。 AD BC E F C A B D A B CD 隨堂小測(cè)（8min） 3 1、如圖,分別求,的三個(gè)三角函數(shù)值。 2、在等腰ABC中, AB=AC=13,BC=10