重慶市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題 理

1、重慶市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題 理重慶市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題 理年級：姓名：- 27 -重慶市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題 理（含解析）一、選擇題1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 ， ，選c.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】 ,所以的虛部為,選c.3.下列說法正確的是（ ）a. ，“”是“”的必要不充分條件b. “為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件c. 命題“，使得”的否定是：“，”d. 命題“，”，則是真命題【答案】a【解析】【分析】對每

2、一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】a. 由得或,所以，“”是“”的必要不充分條件，所以該選項(xiàng)命題正確；b. “為真命題”即“和都是真命題”，“為真命題”即“中至少有一個(gè)真命題”， 所以 “為真命題”是“為真命題”的充分不必要條件，所以該選項(xiàng)命題是假命題；c. 命題“，使得”的否定是：“，”，所以該選項(xiàng)命題是假命題；d. ， 所以命題“，”是真命題，則是假命題，所以該選項(xiàng)命題是假命題.故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判斷和復(fù)合命題的真假的判斷，考查特稱命題的真假的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.我國古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一

3、尺，重二斤,中間三尺重幾何”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重多少斤？”（ ）a. 6斤b. 7斤c. 8斤d. 9斤【答案】d【解析】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】原問題等價(jià)于等差數(shù)列中，已知，求的值.由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，則，即中間三尺共重斤.本題選擇d選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5.設(shè)，則a,b,c的大小關(guān)系是（ ）a. acbb. cabc. bacd. cba【答案

4、】b【解析】【分析】由三角函數(shù)的單調(diào)性可得：，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：，即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋矗?，即， ，即，即，故選b.【點(diǎn)睛】本題考查了利用三角函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較值的大小，屬基礎(chǔ)題.6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)分別為，由題得，化簡即得解.【詳解】設(shè)的坐標(biāo)分別為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，由題得，由此解得.故選：d.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7.一架飛機(jī)有若干引擎，在飛行中每個(gè)

5、引擎正常運(yùn)行的概率為，且相互獨(dú)立.已知引擎飛機(jī)中至少有個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可安全飛行；引擎飛機(jī)要個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可安全飛行.若已知引擎飛機(jī)比引擎飛機(jī)更安全，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題得，解不等式即得解.【詳解】設(shè)事件為“引擎飛機(jī)安全飛行”，則.設(shè)事件為“引擎飛機(jī)成功飛行”，則，依題意，即，所以，故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算，考查互斥事件的概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8.下列關(guān)于函數(shù)的圖像或性質(zhì)的說法中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)函數(shù)在

6、區(qū)間上單調(diào)遞增若，則a. 個(gè)b. 個(gè)c. 個(gè)d. 個(gè)【答案】b【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析每一個(gè)命題得解.【詳解】令，解得，當(dāng)時(shí)，則，故正確；將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得，故錯誤；令，得，故錯誤；若，故正確.故選：b.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.9.已知，且中有三個(gè)元素，若中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合共有（ ）個(gè)a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】設(shè)中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為，則有，可得應(yīng)該同奇同偶，求出同為奇數(shù)和偶數(shù)的可能的情況都為，即得解.【詳解】設(shè)中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為，則有，由此可得應(yīng)該同奇同

7、偶，而當(dāng)同奇同偶時(shí)，則必存在中間項(xiàng)，所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙谥袑ふ彝嫱紨?shù)的情況.同為奇數(shù)的可能的情況為，同為偶數(shù)的可能的情況為，所以一共有種，故選：c.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因?yàn)?，所以外接圓的半徑是，設(shè)外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，由題設(shè)最大體積對應(yīng)的高為，故，即，解之得，所以外接球的體積是，應(yīng)選答案d11.若曲線和上分別存在點(diǎn)，使得是以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且

8、斜邊的中點(diǎn)軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】 ,由 得 在 上單調(diào)遞減，所以 ，設(shè) ，因?yàn)樾边?的中點(diǎn)在 軸上，所以 ，又因?yàn)?，所以 ，可得 設(shè) 則 ，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選b.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題. 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1) 已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2) 己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3) 巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn)) 求切點(diǎn), 設(shè)出切點(diǎn)利用求解.12.在平面直角坐標(biāo)系中，和是圓上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答

9、案】a【解析】【分析】取中點(diǎn)為，延長至，使得，求出，根據(jù)已知求出的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，再利用數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍.【詳解】，取中點(diǎn)為，且，延長至，使得，所以，因?yàn)椋缘能壽E是以為圓心，為半徑的圓，因?yàn)?，所? 故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系和軌跡問題，考查向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題13.雙曲線的漸近線與圓相切，則=_【答案】【解析】【分析】求出漸近線方程，再求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)此距離和圓的半徑相等，求出【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，即，圓心到直線的距離，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、直線與圓的位

10、置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式解答的關(guān)鍵是利用圓心到切線的距離等于半徑來判斷直線與圓的位置關(guān)系14.某個(gè)四棱柱被一個(gè)平面所截，得到的幾何的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為_.【答案】8【解析】【分析】先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體原圖是abcd-efgh.由于長方體被平面所截，可以考慮沿著截面再接上一個(gè)一模一樣的幾何體，從而拼成了一個(gè)長方體，長方體由兩個(gè)完全一樣的幾何體拼成，所求體積為長方體體積的一半.從圖上可得長方體的底面為正方形，且邊長為，長方體的高為，.故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要三視圖還原幾何體，考查幾何體體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知

11、識的理解掌握水平.15.的展開式中的系數(shù)為，則_【答案】【解析】由條件知的展開式中的系數(shù)為： 解得= 故答案為16.已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】先求出，根據(jù)得，根據(jù)得，綜合即得解.【詳解】數(shù)列滿足：，.，化為，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，解得；再由，可得，對于任意的恒成立，.綜上得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法和數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題17.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，.（1）求面積.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由余弦定理

12、求得，再求出的面積；（2）利用正弦定理求出，再根據(jù)求解.【詳解】（1）由題意，在中，由余弦定理可得，即，所以或（舍），的面積.（2）在中，由正弦定理得，代入得，由為銳角，故，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函數(shù)求值，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18.如圖，在斜三棱柱中，正三角形的邊長為，.（1）求證：面面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接和，先證明平面，面面即得證；（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中

13、點(diǎn)，連接和，底面是邊長為的正三角形，且；，又，.又平面，平面，又平面，平面平面.（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可知，則，設(shè)為平面的法向量，則，即，令，得；設(shè)為平面的法向量，則；，設(shè)二面角的平面角為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.19.某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生的視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如下直方圖:年級名次/是否近視1-50951-1000近視4132不近視918（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，

14、試估計(jì)全年級視力在5.0以下的人數(shù)；（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在150名和9511000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如上述表格中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系;（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在150名的學(xué)生人數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（）；（）

15、；（）分布列見解析，【解析】試題分析：（）先利用可得第一、二組的頻率，由已知條件可得第三、六組的頻率，進(jìn)而可得視力在5.0以下的頻率，再利用可得全年級視力在5.0以下的人數(shù)；（）先算出的值，再與表中的數(shù)據(jù)比較即可得在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系；（）先分析確定隨機(jī)變量的所有可能取值，再計(jì)算各個(gè)取值的概率即可得的分布列，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望公式即可得數(shù)學(xué)期望試題解析：（）設(shè)各組的頻率為，依題意，前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，故，1分所以由得， 2分所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83， 3分故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為4分（）6分因

16、此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系. 7分（）依題意9人中年級名次在150名和9511000名分別有3人和6人， 8分可取0,1,2,3，x的分布列為x0123p x的數(shù)學(xué)期望12分考點(diǎn)：1、頻率分布直方圖；2、獨(dú)立性檢驗(yàn)；3、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與直線垂直的直線與線段（不包括端點(diǎn)）相交，且也橢圓相交、兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的對稱性可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，恰

17、在橢圓上，所以，再結(jié)合，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線與橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，設(shè)直線的方程為：，由直線與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦長公式可得，利用可表示四邊形面積，利用直線與線段相交可得的范圍，代入所得面積即可求解【詳解】（1）焦距為4，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好在橢圓上，由橢圓的對稱性可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，恰在橢圓上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）由題意可知，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得：，即，且，由（1）可知，直線的方程為：，代入橢圓方程可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，同理可得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線與線段交于點(diǎn)，滿足，四邊形面積的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題主要考查

18、了橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力21.已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（1）若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有唯一的極大值，求的取值范圍；（2）若，試研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）有個(gè)零點(diǎn)【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)得，再分和兩種情況討論求得的取值范圍；（2）分析可知，只需研究時(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，再分兩種情形討論即可.詳解】（1）當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，且，當(dāng)，時(shí)，恒成立，在是增函數(shù)，無極值；，當(dāng)，時(shí)，使得，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減，為唯一的極大值點(diǎn)，所以（2），可知，（i）時(shí)，無零點(diǎn)；所以只需研究，（ii）時(shí)，可知單調(diào)遞減，唯一的，；（iii）當(dāng)，是減函數(shù)，且，則，在是增函數(shù)，是減函數(shù)，并且，所以，；，且知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又因?yàn)?，所以，綜上所述，由（i）（ii）（iii）可知，有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和零點(diǎn)問