任務(wù)2-9 地球橢球與高斯投影計(jì)算

1、任務(wù)2-9 地球橢球與高斯投影計(jì)算 野外測(cè)量工作是在地球表面上進(jìn)行的，它是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面、 以鉛垂線為基準(zhǔn)線的，而大地水準(zhǔn)面是一個(gè)略有起伏的不規(guī)則的曲面， 由于地表起伏以及地層內(nèi)部密度變化造成質(zhì)量分布不均勻，無(wú)法用數(shù)學(xué) 公式將其表示出來(lái)，也就不確知其形狀。另由于地球內(nèi)部質(zhì)量分布不均， 從而導(dǎo)致鉛垂線呈現(xiàn)不規(guī)則的變化。因此大地水準(zhǔn)面不能作為控制測(cè)量 計(jì)算的基準(zhǔn)面。這就需要尋求一個(gè)大小和形狀與大地體非常相近，且兩 者之間相對(duì)位置關(guān)系確定的旋轉(zhuǎn)橢球來(lái)代替地球，這個(gè)橢球稱為地球橢 球，簡(jiǎn)稱為橢球?？梢詫⒌孛嫔纤杏^測(cè)元素歸算至其表面上來(lái)完成計(jì) 算。因此，參考橢球面是測(cè)量?jī)?nèi)業(yè)工作的基準(zhǔn)面，其法線是

2、內(nèi)業(yè)計(jì)算的 基準(zhǔn)線。 一、地球橢球及其定位 任務(wù)2-9 地球橢球與高斯投影計(jì)算 用參考橢球體取代地球必須解決兩個(gè)問(wèn)題：一是橢球參數(shù)的選擇； 二是將橢球與地球的相關(guān)位置確定下來(lái)，即橢球的定位。 1.橢球參數(shù)的選擇 確定橢球形狀和大小的基本元 素有長(zhǎng)半軸、短半軸、扁率、第一 偏心率和第二偏心率，如圖2-48所 示。其中a、 b稱為長(zhǎng)度元素；扁率 反映了橢球體的扁平程度。偏心率 是子午橢圓的焦點(diǎn)離開(kāi)橢圓中心的 距離與橢圓半徑之比，它們也反映 橢球體的扁平程度，偏心率愈大， 橢球愈扁。 圖 2-48 地球橢球的基本幾何參數(shù) 2.橢球定位 橢球定位就是將具有一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置確定下 來(lái)，從

3、而確定出測(cè)量計(jì)算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測(cè)量起算的具體數(shù) 據(jù)。橢球定位一般都是通過(guò)大地原點(diǎn)的天文觀測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因所采用 的橢球不同，所依據(jù)的基準(zhǔn)不同，橢球的定位方法也有所不同。 常規(guī)做法是：首先選定某一適宜的點(diǎn)K作為大地原點(diǎn)，在該點(diǎn)上實(shí)施精 密的天文測(cè)量和高程測(cè)量，由此得到該點(diǎn)的天文經(jīng)度k ，天文緯度 k，至某一相鄰點(diǎn)的天文方位角 k 和正高H正k ，代入下式即可推算出 大地測(cè)量起算數(shù)據(jù)，即完成橢球的定位。 L K =l K-h Ksecj K BK =jK -xK A K =aK-h Ktanj K H K = H正 K + N K 橢球面是測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。在野外的各種測(cè)量都是在大地水準(zhǔn)面

4、上進(jìn)行，觀測(cè)的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的鉛垂 線，各點(diǎn)的鉛垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在大地水準(zhǔn)面 上處理觀測(cè)成果，而應(yīng)將大地水準(zhǔn)面上的觀測(cè)元素（包括方向和距離等） 歸算至橢球面。 二、將地面觀測(cè)值歸算至橢球面 1.將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面 將地面觀測(cè)方向歸算至橢球面上，有三個(gè)基本內(nèi)容：一是將測(cè)站點(diǎn) 鉛垂線為基準(zhǔn)的地面觀測(cè)方向換算成橢球面上以法線為準(zhǔn)的觀測(cè)方向； 二是將照準(zhǔn)點(diǎn)沿法線投影至橢球面，換算成橢球面上兩點(diǎn)間的法截線方 向；三是將橢球面上的法截線方向換算成大地線方向。要完成上述三個(gè) 內(nèi)容的轉(zhuǎn)換，則需要加入三差改正，即垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截 面差改

5、正,具體如下: 1）垂線偏差改正 地面上所有水平方向的觀測(cè)都是以鉛垂線為依據(jù)的，而在橢 球面上則要求以該點(diǎn)的法線為依據(jù)。把以鉛垂線為依據(jù)的地面觀 測(cè)的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義 為垂線偏差改正。垂線偏差改正的數(shù)值主要與測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差 和觀測(cè)方向的天頂距（或垂直角）及方位角有關(guān)。一般情況下， 這項(xiàng)改正數(shù)是很小的，只有在國(guó)家一、二等三角測(cè)量計(jì)算中，才 加入該項(xiàng)改正。 2）標(biāo)高差改正 標(biāo)高差改正又稱由照準(zhǔn)點(diǎn)高度而引起的改正。不在同一子午面或同 一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的。當(dāng)進(jìn)行水平方向觀測(cè)時(shí)，如果照 準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度，則照準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線同橢球面 的

6、交點(diǎn)，由此引起的方向偏差的改正叫做標(biāo)高差改正。 標(biāo)高差改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正后，便將地面 觀測(cè)的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧(過(guò)橢球面上任意一點(diǎn) 可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截 面同橢球面交線叫法截弧)方向。 一般情況下標(biāo)高差改正的數(shù)值微小，在進(jìn)行局部地區(qū)的控制測(cè)量時(shí)， 可不必考慮此項(xiàng)改正。 3）截面差改正 在橢球面上，緯度不同的兩點(diǎn)由于其法 線不共面，所以在對(duì)向觀測(cè)時(shí)相對(duì)法截弧不 重合，應(yīng)當(dāng)用兩點(diǎn)間的大地線( 橢球面上兩 點(diǎn)間的最短程曲線叫做大地線,假如在橢球模 型表面 A、B兩點(diǎn)之間，畫(huà)出相對(duì)法截線如圖 2-49所示，然后在A、B兩

7、點(diǎn)上各插定一個(gè)大 頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一圖 2-49 大地線 條細(xì)橡橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒(méi)有摩擦力，則橡皮筋形成一條 曲線，恰好位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線，由于橡皮筋處于拉 力之下，所以它實(shí)際上是兩點(diǎn)間的最短線；在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)， 應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算 成相應(yīng)大地線的方向、距離。)代替相對(duì)法截弧，這樣將法截弧方向化為大 地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正。通常只有在一等三角測(cè)量中，才進(jìn)行 截面差改正。 在一般情況下，一等三角測(cè)量應(yīng)加三差改正，二等三角測(cè)量應(yīng)加垂 線偏差改正和標(biāo)高差改正，而不加截面差改正；三等和四

8、等三角測(cè)量可 不加三差改正。但當(dāng)x =h 10 時(shí)或者H2000m時(shí)，則應(yīng)分別考慮加垂 線偏差改正和標(biāo)高差改正。在特殊情況下，應(yīng)該根據(jù)測(cè)區(qū)的實(shí)際情況作 具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表2-27所示： 表227 三差改正 三、四等 酌情 三差改正主要關(guān)系量是否要加改正 一等二等 加加垂線偏差 標(biāo)高差 截面差 不加 x ,h H S 目前，將地面觀測(cè)方向值歸算至橢球面上所進(jìn)行的三差改正，基 本上都是在平差軟件中完成的，因此，這里就不具體介紹三差改正的 計(jì)算公式了。 H m 2.電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算至橢球面 電磁波測(cè)距儀測(cè)得的長(zhǎng)度是連接地面 兩點(diǎn)間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考 橢球面

9、上?？臻g直線的長(zhǎng)度與端點(diǎn)的鉛垂 線沒(méi)有關(guān)系，可以直接沿端點(diǎn)的法線歸算 到橢球面上。如圖2-50所示，大地點(diǎn)Q1和Q2 的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測(cè)距 圖 2-50 電磁波測(cè)距邊歸算至橢球面 儀測(cè)得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點(diǎn)在橢球面 上沿法線的投影點(diǎn)Q1 和Q2 間的大地線的長(zhǎng) 度S。 電磁波測(cè)距邊長(zhǎng)歸算橢球面上的計(jì)算公式為： R A D 3 24 RA 2 1 Dh2 2 D S = D-D+ 式中： 1 Hm = (H1+ H2 ) 2 Dh=H2-H 1 計(jì)算公式中右端第二項(xiàng)是由于控制點(diǎn)之高差引起的傾斜改正的主項(xiàng)， 經(jīng)過(guò)此項(xiàng)改正，測(cè)線已變成平距； 第三項(xiàng)是由平均測(cè)線高出參考橢球面

10、而引起的投影改正，經(jīng)此項(xiàng)改正 后，測(cè)線已變成弦線； 第四項(xiàng)則是由弦長(zhǎng)改化為弧長(zhǎng)的改正項(xiàng)。 利用大地測(cè)量觀測(cè)成果（角度、距離），計(jì)算點(diǎn)在橢球上的大地坐 標(biāo)，或者根據(jù)兩點(diǎn)的大地坐標(biāo)，計(jì)算他們之間的大地線長(zhǎng)和大地方位角， 這類問(wèn)題通常叫做大地問(wèn)題解算，或稱大地坐標(biāo)解算。因?yàn)樵谇蛎嫔辖?算復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用比較少，一般過(guò)程都由平差軟件完成，故在此我們不 做過(guò)多說(shuō)明。 1.投影原因 野外測(cè)量是在復(fù)雜的非數(shù)學(xué)曲面地球表面上進(jìn)行的。為了測(cè)量 計(jì)算的需要，選取近似于地球表面的數(shù)學(xué)曲面參考橢球面作為測(cè)量 計(jì)算的基準(zhǔn)面。橢球面上的大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，它對(duì) 于研究地球形狀大小、大地問(wèn)題解算、編制地圖等都非

11、常有用。可是另 一方面，在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算仍然相當(dāng)復(fù)雜，人們總是期望將橢球 面上的測(cè)量元素歸算到平面上，以便在平面上進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，地形圖 測(cè)繪也是把地球表面上的地貌、地物按一定的要求用平面圖形表示出來(lái)。 測(cè)繪時(shí)我們把地面看作為平面看待，也就是把一個(gè)平面上的圖形通過(guò)比 例縮放畫(huà)到另一個(gè)平面上的問(wèn)題。當(dāng)測(cè)區(qū)范圍較小時(shí)是可以的，然而當(dāng) 在較大的測(cè)區(qū)內(nèi)布設(shè)整體的控制網(wǎng)時(shí)，就必須考慮到地面不是一個(gè)平面， 而是一個(gè)曲面（橢球面）。這就產(chǎn)生如何將橢球面上的圖形描繪到平面 上的問(wèn)題。 三、高斯投影與高斯平面直角坐標(biāo)系 我們知道，將大范圍的一塊橢球面展平是不可能的，強(qiáng)行展平就 必然出現(xiàn)折皺或破裂。如何解決

12、這個(gè)矛盾，在測(cè)繪工作中通常使用 “投影”的方法來(lái)解決。如果我們按照一定的投影規(guī)律，先將橢球面 上的起算元素和觀測(cè)元素化算為相應(yīng)的平面元素，然后在平面上進(jìn)行 各種計(jì)算就簡(jiǎn)單多了，也就解決了橢球面至平面的轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 2.地圖投影與變形 地圖投影就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長(zhǎng)度）按一定 的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個(gè)問(wèn)題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。 可用下面兩個(gè)方程式（坐標(biāo)投影公式）表示： x = F1 ( L , B) y = F 2 ( L , B ) 式中：（B L）是橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)，而（x，y）是該點(diǎn)投影 后的平面直角坐標(biāo)。 橢球面是一個(gè)凸起的、不可展平的曲面，將這個(gè)曲面上的元

13、素（距 離、角度、圖形）投影到平面上，就會(huì)和原來(lái)的距離、角度、圖形呈現(xiàn) 差異，這一差異稱為投影變形。 地圖投影所產(chǎn)生的變形的一般可分為角度變形、長(zhǎng)度變形和面積變 形3種。對(duì)于各種投影變形，人們可以根據(jù)需要來(lái)掌握和控制它?？梢?使某一種變形為零；也可以使全部變形都存在，但減小到某一適當(dāng)程度。 不過(guò)企圖使全部變形同時(shí)消失，顯然是不可能的。 根據(jù)投影變形的性質(zhì)，地圖投影分為等角投影、等距投影和等積投 影。 （1）等角投影是指投影前后的角度相等，但長(zhǎng)度和面積有變形； （2）等距投影是指投影前后的長(zhǎng)度相等，但角度和面積有變形； （3）等積投影是指投影前后的面積相等，但角度和長(zhǎng)度有變形。 3.控制測(cè)量對(duì)地

14、圖投影的要求 控制測(cè)量對(duì)地圖投影有下列要求： （1）控制測(cè)量應(yīng)當(dāng)采用等角投影（又稱為正形投影）；采用正形 投影時(shí)，在三角測(cè)量和導(dǎo)線測(cè)量中大量的角度觀測(cè)元素在投影前后保持 不變；在測(cè)制的地圖時(shí)，采用等角投影可以保證在有限的范圍內(nèi)使得地 圖上圖形同橢球上原形保持相似。 （2）在采用的正形投影中，要求長(zhǎng)度和面積變形不大，并能夠應(yīng) 用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由于這些變形而帶來(lái)的改正數(shù)。 （3）能按分帶投影。 4.高斯投影概述 1）基本概念 如圖2-51所示，假想有一個(gè)橢圓柱面橫套在地球橢球體外面，并與 某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的 中心軸通過(guò)橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央

15、子午線兩側(cè)各一 定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開(kāi)即成為投影面， 如圖2-52所示，此投影為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種。 圖 2-51 橫軸橢圓柱等角投影圖 2-52 高斯投影平面 在高斯投影平面上，中央子午線和赤道的投影都是直線。若以中央 子午線與赤道的交點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸， 即x軸，以赤道的投影為橫坐標(biāo)軸，即y軸，這樣就形成了高斯平面直角 坐標(biāo)系。橢球面上任意一點(diǎn)A，其大地坐標(biāo)為（B，L），投影后在平面 上有一對(duì)應(yīng)點(diǎn)a，其高斯平面坐標(biāo)為（x，y）。 2）高斯投影的特征 （1）橢球面上的角度，投影后保持不變； （2）中央子午線投影后為一直線

16、，且其長(zhǎng)度保持不變； （3）赤道投影后是一條與中央子午線正交的直線； （4）橢球面上除中央子午線外，其余子午線投影后均向中央子午線彎 曲，并向兩極收斂； （5）橢球面上對(duì)稱于赤道的平行圈，投影后成為對(duì)稱的曲線，它與子 午線的投影正交，并凹向兩極； （6）距中央子午線越遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變形越大。 3）分帶投影 高斯投影存在長(zhǎng)度變形（除中央子午線），離開(kāi)中央子午線越遠(yuǎn)，長(zhǎng)度變 性越大。限制長(zhǎng)度變形最有效的方法是分帶投影，即把投影的區(qū)域限制在中央 子午線兩旁的一定范圍內(nèi)。具體做法是先將地球橢球面沿子午線劃分成若干個(gè) 經(jīng)差相等的瓜瓣形區(qū)域（例如6或3），然后分別按高斯投影規(guī)律進(jìn)行投影， 于是得出不同的投影帶。

17、位于各帶中央的子午線即為中央子午線；用以分帶的 子午線叫做分帶子午線，也叫邊界子午線。顯然在一定范圍內(nèi)，帶分得越多， 則各帶所包括的范圍越小，長(zhǎng)度變形越小。分帶后，各帶將有自己的坐標(biāo)原點(diǎn) 和坐標(biāo)軸，形成自己的坐標(biāo)系。如圖2-53所示。 按照國(guó)際上的統(tǒng)一規(guī)定，投影分帶主要有6分帶和3分帶。 高斯投影6帶是自0子午線起每隔經(jīng)差6自西向東分帶，依次編號(hào) 1,2,3,。帶號(hào)用N表示，中央子午線的經(jīng)度用L0表示，它們的關(guān)系是 高斯投影3帶：它的中央子午線一部分同6帶中央子午線重合， 一部分同6帶的分界子午線重合，如用 n表示3帶的帶號(hào)，L表示3 帶中央子午線經(jīng)度，它們的關(guān)系L=3n，如圖2-53橫線以下

18、。 6帶和3帶的位置關(guān)系圖如圖2-53所示。我國(guó)地域遼闊，西自 東經(jīng)73起，,東至東經(jīng)135止,分跨6帶的第13帶23帶，3帶的 24帶45帶。 L0 = 6N - 3。 4）高斯平面直角坐標(biāo)系的建立 各投影帶以中央子午線的投影為縱坐標(biāo)軸，赤道的投影為橫坐標(biāo)軸， 形成自己的坐標(biāo)系，為了區(qū)別各帶的坐標(biāo)值，我國(guó)對(duì)高斯平面直角坐標(biāo) 系的建立進(jìn)行了規(guī)定。如圖2-54（a）所示，在我國(guó) 坐標(biāo)都是正的， 坐標(biāo)的最大值（在赤道上）約為330km。為了避免出現(xiàn)負(fù)的橫坐標(biāo)，可 在橫坐標(biāo)上加上500 OOOm，如圖2-54（b）所示。此外，為了區(qū)分位于 不同投影帶的點(diǎn)的坐標(biāo)值，還應(yīng)在坐標(biāo)前面再冠以帶號(hào)。例如，設(shè)有

19、一 點(diǎn)Y =19 123 456.789m，可知該點(diǎn)位在19帶內(nèi)，其相對(duì)于中央子午線 而言的橫坐標(biāo)則是：首先去掉帶號(hào)，再減去500 000m,最后得 Y=-376 543.211m。 A B y A x A y B x B x y (a ) B Y A Y B A XAXB X Y (b ) 500km 圖2-54 高斯平面直角坐標(biāo)系 我國(guó)測(cè)量規(guī)范規(guī)定：所有國(guó)家大地點(diǎn)均按高斯正形投影計(jì)算其在 6內(nèi)的平面直角坐標(biāo)。在1:1萬(wàn)和更大比例尺測(cè)圖的地區(qū)，還應(yīng)加算其 在3帶內(nèi)的平面直角坐標(biāo)。我們通常將控制點(diǎn)在6帶或3帶內(nèi)的坐 標(biāo)稱為國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)。 5.高斯投影計(jì)算的內(nèi)容 地面觀測(cè)值歸算到橢球面上以后，可

20、以通過(guò)2種途徑獲得各點(diǎn)的高斯平面直 角坐標(biāo)：通過(guò)解算球面圖形，推算各邊大地方位角，解算出各點(diǎn)大地坐標(biāo)； 然后按高斯投影坐標(biāo)計(jì)算公式求解各點(diǎn)高斯平面直角坐標(biāo)。將橢球面上的起 算元素和觀測(cè)元素歸算至高斯投影平面，然后根據(jù)導(dǎo)線坐標(biāo)方位角的原理推算 各邊坐標(biāo)方位角，在平面上進(jìn)行平差計(jì)算，求解各點(diǎn)平面直角坐標(biāo)。 上述兩種途徑所得結(jié)果是完全一樣的。但第一種做法工作量太大。通常做 法是通過(guò)第二種途徑，把控制網(wǎng)直接歸化到高斯投影平面上，在平面上完成平 差和計(jì)算工作。下面以三角網(wǎng)為例介紹。 圖2-55（a）表示橢球面上的三角網(wǎng)，圖2-55（b）為該三角網(wǎng)在高斯平面上的 投影。橢球面上的大地線12、13等在高斯平

21、面上的投影是曲率很小的曲線12、 13 等。由于是等角投影，所以橢球面上大地線的夾角等于它們?cè)谄矫嫔贤队扒?線的夾角。但是，各大地線的長(zhǎng)度并不等于其在平面上的投影曲線的長(zhǎng)度，因 為產(chǎn)生了投影長(zhǎng)度變形。 2 3 4 n t g 1 (b) A 12 a 12 d 12 D12 b o x A12 S 12 1 2 4 3 (a) b O 中 央 子 午 線 L 0 l N 赤道 圖2-55 橢球面三角系化算到高斯投影面 為了在平面上進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，必須把橢球面上一大地線為邊的三角形，換 算成高斯平面上以直線為邊的三角形。為此需要作下列工作: （1）將起算點(diǎn)（如圖2-55（a）中的點(diǎn)1）的大地坐標(biāo)

22、換算為其在高斯投影平 面上投影點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)（x1，y1），稱為高斯坐標(biāo)正算，依照專門的公式進(jìn) 行。為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算，亦即根據(jù)（x1，y1）反算（B1，L1） ，稱為高斯坐 標(biāo)反算。 （2）將起算邊（如圖2-55（a）中的12邊）的大地方位角A12換算為高斯平面上 相應(yīng)邊12的平面坐標(biāo)方位角 12。由圖2-55（b）可知 a12 = A 12 -g +d12 式中：坐標(biāo)北方向1t相對(duì)于真北方向1n構(gòu)成的夾角，稱為子午線收斂角； 12為投影曲線的弦線12相對(duì)于投影曲線構(gòu)成的夾角，稱為方向改正數(shù)； 12為弦線12的坐標(biāo)方位角； A12即大地線12的大地方位角。 可見(jiàn)，將大地方位角換算為高斯平

23、面坐標(biāo)方位角需要先計(jì)算出子午線收斂 角和方向改正數(shù)。 （3）通過(guò)計(jì)算距離改正 S，將起算邊的大地線長(zhǎng)度S12歸算為高斯平面上的直 線長(zhǎng)度D12 。即 （4）將橢球面上的其他觀測(cè)的角度和邊長(zhǎng)按照上述方法歸算到高斯投影平面上， 并保持整體網(wǎng)形不變。 （5）當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫В枰M(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。 導(dǎo)線網(wǎng)的歸化原理和過(guò)程同三角網(wǎng)。 D12 = S12 + DS 3 2 2 4 sin cos (5 9 4 ) N B B t h h - + + l 3 l 3 2 2 cos (1 ) N B t h - +cos y lN B = + 6 5 l 5 2 4 2 2 2 cos (

24、5 18 14 58 ) N B t t t h h - + + -+ 四、將橢球面上的觀測(cè)值歸算至高斯平面 1.高斯投影坐標(biāo)計(jì)算 高斯投影坐標(biāo)計(jì)算包括高斯投影坐標(biāo)正算和高斯投影坐標(biāo)反算。 1）高斯投影坐標(biāo)正算 高斯投影坐標(biāo)正算是指已知橢球面上某點(diǎn)的大地坐標(biāo)（L，B），求該點(diǎn)在 高斯投影平面上的直角坐標(biāo)（x，y），即(L,B) (x, y)的坐標(biāo)變換。高斯投影坐 標(biāo)正算公式為 6 2 24 720 l2 l 4 x = X + N sin BcosB + + N sin Bcos5 B(61-58t2 +t 4 ) 120 t f (5 + 3t 2 f +h 2 f - 9h 2 f t2

25、f) y6 t f (61+ 90t f + 45tf) - y y3 (1+ 2t2 f +h 2 f) - N f cos Bf6N f cos Bf + (5 + 28t 2 + 24t 4 + 6h 2 + 8h 2t2 ) 坐標(biāo)正算公式為 D12 = S12 + D S 2）高斯投影坐標(biāo)反算 高斯投影坐標(biāo)反算是指已知某點(diǎn)的高斯投影平面上直角坐標(biāo)（x，y），求 該點(diǎn)在橢球面上的大地坐標(biāo)（B，L），即 (x,y) (L,B) 的坐標(biāo)變換。高斯投影 2 4 f f y 2 2 M f Nf y4 24M f N3 f B = B f -t f + l = 720 M f N5 3 y 5

26、120N 5 cosB f 由于控制測(cè)量數(shù)據(jù)處理軟件均有高斯投影坐標(biāo)計(jì)算的功能，因此， 實(shí)際工作中一般采用軟件完成高斯投影坐標(biāo)計(jì)算工作。 g = sin Bl + sin Bcos2 Bl3(1+3h 2 + 2h 4)+sin Bcos4 Bl5(2-t 2 ) +L 2.子午線收斂角的計(jì)算 子午線收斂角是指坐標(biāo)北方向和真北方向之間的夾角。其計(jì)算公式為： 1 3 1 15 3.方向改化 1）基本概念 在常規(guī)平面測(cè)量中，角度測(cè)量是最基本觀測(cè)量。而方向改化不僅應(yīng)用于大 地方位角和平面坐標(biāo)方位角的換算，更多的則用于實(shí)地觀測(cè)方向歸算至高斯投 影平面的計(jì)算。而正形投影的保角性質(zhì)，是橢球面上大地線間形成

27、的角度與投 影在平面上的相應(yīng)曲線所成的角度相等。在平面上解算曲線形式的導(dǎo)線網(wǎng)不方 便，需要把平面上的曲線方向改化為兩點(diǎn)間的弦線方向，這就是方向改化。如 圖2-57所示，若將橢球面上的大地線AB方向改化為平面上的弦線ab方向，其相 差一個(gè)角值ab ,即稱為方向改化值。 r 圖 2-57 方向改化 方向改化的計(jì)算公式為： m b b r dab = ym (xa -x) 2 R 2 dba =- 2 ym (xa -x) 2Rm 式中：Rm為橢球平均曲率半徑；ym為兩端點(diǎn)平均橫坐標(biāo)，如為國(guó)家控制點(diǎn)， 應(yīng)去掉投影帶號(hào)及500km；xa、xb 為端點(diǎn)的縱坐標(biāo)。 24Rm 2 圖 2-58 距離改化 4

28、.距離改化 橢球面上的大地線長(zhǎng)度S改換為平面上的投影曲線兩端點(diǎn)的弦線D，稱為 距離改化。D和 的差異，就是距離改正數(shù)S S。將地面測(cè)量長(zhǎng)度換算至高斯 投影平面，或根據(jù)高斯投影平面上的長(zhǎng)度換算為實(shí)地距離時(shí)，都需要考慮這 個(gè)距離改正數(shù)。 如圖2-58所示，設(shè)橢球體上有兩點(diǎn)P1、P2 及其大地線S，在高斯投影面 上的投影為P1 P2 及s 。s是一條曲線，而連接 P1 P2 兩點(diǎn)的直線為D,如前所 述由S化至D所加的改正，即為距離改正S 。 距離改化的計(jì)算公式為： ym 2 2Rm 2 + Dy m 2 D = S1 + 式中：Rm為測(cè)區(qū)中點(diǎn)的平均曲率半徑；ym 為距離兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)平均值。 五、坐標(biāo)

29、換帶計(jì)算及不同坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 1. 坐標(biāo)換帶計(jì)算 1）產(chǎn)生換帶的原因 高斯投影為了限制高斯投影的長(zhǎng)度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶，把投 影范圍限制在中央子午線東、西兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。因而，使得統(tǒng)一的坐標(biāo) 系分割成各帶的獨(dú)立坐標(biāo)系。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)， 有時(shí)工程測(cè)量中要求采用3帶、1.5帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有 6帶坐標(biāo)，這時(shí)就產(chǎn)生了6帶同3帶（或1.5帶、任意帶）之間的相互 坐標(biāo)換算問(wèn)題，如圖2-59所示。 此外，在投影帶邊緣地區(qū)測(cè)圖或施工放樣時(shí)，往往需要利用到另一帶的 控制點(diǎn)，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中；或當(dāng)布設(shè)的控制網(wǎng)分跨 于不同的投影帶時(shí)，為了便于平差

30、計(jì)算，也需要將鄰帶的部分（或全部）坐 標(biāo)換算到同一帶中。 圖2-59 產(chǎn)生換帶的原因 時(shí) 。這種方法適用于各種不同寬度的相鄰?fù)队皫еg的坐標(biāo)換算。 0 l L L = - 2）換帶計(jì)算的基本方法 把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過(guò)渡坐標(biāo)。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi) 如6帶換算為另一個(gè)6帶；6帶換算為3帶；3帶換算為另一個(gè)3帶 或6帶；3帶和6帶與任意帶間的互相換算。 有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)（x，y），利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大 地坐標(biāo)（l，B） ，進(jìn)而得到 L = LI 0+ l ；然后再由大地坐標(biāo)（l，B），利用 投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平面坐標(biāo)（x，y） 。在這一 步計(jì)算時(shí)，要根

31、據(jù)第帶的中央子午線L0來(lái)計(jì)算經(jīng)差l，亦即此 II 3）利用控制測(cè)量數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行坐標(biāo)換帶計(jì)算 目前，坐標(biāo)換帶計(jì)算都是通過(guò)相關(guān)控制測(cè)量數(shù)據(jù)處理軟件來(lái)完成。常用 的軟件主要有如南方平差易，GPS數(shù)據(jù)處理軟件如HDS2003全球版。下面以南 方平差易2005為例，對(duì)坐標(biāo)換帶計(jì)算的基本過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。 換帶計(jì)算中可以實(shí)現(xiàn)任意帶之間的坐標(biāo)換算，換算時(shí)只要輸入換帶前的 中央子午線和換帶后的中央子午線即可。如下圖2-60【換帶計(jì)算】所示。注 意：無(wú)論是換算前的直角坐標(biāo)還是換算后的直角坐標(biāo)都不包含帶號(hào)。 打開(kāi)南方平差易軟件，打開(kāi)【工具】【大地正反算】進(jìn)行下列操作，如圖 2-60所示： 先在【計(jì)算方案】中選取【

32、換帶計(jì)算】，然后在【坐標(biāo)系統(tǒng)】中選擇轉(zhuǎn)換前 的坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)系，并輸入換帶前的中央子午線經(jīng)度和換帶后的中 央子午線經(jīng)度，最后輸入需要轉(zhuǎn)換的高斯投影坐標(biāo)并點(diǎn)擊【計(jì)算】即可。 圖2-60 投影換帶計(jì)算 【算例2-2】已知數(shù)據(jù)： 換帶前坐標(biāo)：X：3 439 796.21633Y：505 444.828565 坐標(biāo)系統(tǒng)：北京54坐標(biāo)系 換帶前中央子午線：117 換帶后中央子午線：119 將已知數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的窗口中，然后點(diǎn)擊【換帶計(jì)算】鍵即可。 Y：314 574.031749（包含500公計(jì)算結(jié)果：X：3 441 418.181379 里）。 2.不同坐標(biāo)系下坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換 工程施工過(guò)程中，常常會(huì)

33、遇到不同坐標(biāo)系統(tǒng)間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的問(wèn)題。目前國(guó) 內(nèi)常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換有以下幾種：大地坐標(biāo)（BLH）對(duì)平面直角坐標(biāo)（XYZ）； 北京54或全國(guó)80及WGS84坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換；任意兩空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。其 中第2類可歸入第3類中。所謂坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的過(guò)程就是轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解過(guò)程。常 用的方法有三參數(shù)法、四參數(shù)法和七參數(shù)法。以下對(duì)上述三種情況作詳細(xì)描 述如下： 1）大地坐標(biāo)（B，L，H）與平面直角坐標(biāo)（X，Y，H）的轉(zhuǎn)換 常規(guī)的轉(zhuǎn)換應(yīng)先確定轉(zhuǎn)換參數(shù)，即橢球參數(shù)、分帶標(biāo)準(zhǔn)（3帶、6帶） 和中央子午線的經(jīng)度。橢球參數(shù)就是指平面直角坐標(biāo)系采用什么樣的橢球基 準(zhǔn)，對(duì)應(yīng)有不同的長(zhǎng)短軸及扁率。一般的工程中3帶應(yīng)用較為廣泛。對(duì)于中 央

34、子午線的確定有兩種方法，一是取平面直角坐標(biāo)系中Y坐標(biāo)的前兩位*3，即 可得到對(duì)應(yīng)的中央子午線的經(jīng)度。如x=3 250 212m，y=395 121 123m，則中 央子午線的經(jīng)度L3=39*3=117度。另一種方法是根據(jù)大地坐標(biāo)經(jīng)度，如果經(jīng)度 是在155.5185.5之間，那么對(duì)應(yīng)的中央子午線的經(jīng)度L=（155.5+185.5） /2=117，其他情況可以據(jù)此3帶類推。 另外一些工程采用自身特殊的分 帶標(biāo)準(zhǔn)，則對(duì)應(yīng)的參數(shù)確定不在上述之列。 確定參數(shù)之后，可以用軟件進(jìn)行 轉(zhuǎn)換。 2）任意兩空間直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 由于測(cè)量坐標(biāo)系和施工坐標(biāo)系采用不同的標(biāo)準(zhǔn)，要進(jìn)行精確轉(zhuǎn)換，必須 知道至少3個(gè)重合點(diǎn)（即

35、為在兩坐標(biāo)系中坐標(biāo)均為已知的點(diǎn)），采用綜合法即 就是在相似變換（Bursa七參數(shù)轉(zhuǎn)換）的基礎(chǔ)上，再對(duì)空間直角坐標(biāo)殘差進(jìn)行 多項(xiàng)式擬合，系統(tǒng)誤差通過(guò)多項(xiàng)式系數(shù)得到消弱，使統(tǒng)一后的坐標(biāo)系框架點(diǎn) 坐標(biāo)具有較好的一致性，從而提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。 3）利用軟件進(jìn)行坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換 以南方平差易軟件為例進(jìn)行說(shuō)明。 （1）大地坐標(biāo)（B，L，H）與平面直角坐標(biāo)（X，Y，Z） 的轉(zhuǎn)換 大地坐標(biāo)（B、L、H）對(duì)平面直角坐標(biāo)（X、Y、Z） 的轉(zhuǎn)換，即大地坐標(biāo)正、 反算問(wèn)題。大地正反算中無(wú)論是換算前的直角坐標(biāo)還是換算后的直角坐標(biāo)都 不包含帶號(hào)。利用南方平差易進(jìn)行計(jì)算的基本過(guò)程如下： 大地正算 大地正算是指控制點(diǎn)的大地坐

36、標(biāo)（B，L）轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)（X、Y）。 打開(kāi)軟件工具大地正反算，先在【計(jì)算方案】中選取 【正算】，然后在【坐標(biāo)系統(tǒng)】中選擇轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)系以及投影帶后， 最后輸入需要轉(zhuǎn)換的大地坐標(biāo)并點(diǎn)擊【計(jì)算】即可。如圖2-61所示。 轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系有：北京54坐標(biāo)系、國(guó)家80坐標(biāo)系、WGS84坐標(biāo)系和自定義 坐標(biāo)系。如為自定義坐標(biāo)系，則需要輸入地球橢球的長(zhǎng)半軸和短半軸。 投影帶有：6帶、3帶和1.5帶，正算時(shí)不能選任意帶。 【算例2-3】某點(diǎn)的大地坐標(biāo) =310444. 421, =1170325.407。轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)系統(tǒng)要求為北京54坐標(biāo)系，投影帶為 3度帶，Y坐標(biāo)含500公里。 將已知數(shù)據(jù)輸入到相應(yīng)的窗口中，然

37、后點(diǎn)擊【計(jì)算】鍵即可。 計(jì)算結(jié)果： =3 439 796.2163m， = 505 444.8286m。如圖2-61所示。 圖2-61 大地正算 大地反算 大地反算是通過(guò)控制點(diǎn)的高斯投影坐標(biāo)計(jì)算它的大地坐標(biāo)。 先在【計(jì)算方案】中選取【反算】，然后在【坐標(biāo)系統(tǒng)】中選擇轉(zhuǎn) 換前的坐標(biāo)系和中央子午線經(jīng)度，最后輸入需要轉(zhuǎn)換的高斯投影坐標(biāo)并 點(diǎn)擊【計(jì)算】即可。如圖2-62所示。 轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)系包括：北京54坐標(biāo)系、國(guó)家80坐標(biāo)系、WGS84坐標(biāo)系和自 定義坐標(biāo)系。若是自定義坐標(biāo)系，則需要輸入地球橢球的長(zhǎng)半軸和短半 軸。 投影帶包括：6帶、3帶、1.5帶和任意帶。 注意：計(jì)算時(shí)要先輸入換算前數(shù)據(jù)的中央子午線經(jīng)度。換算前的直 角坐標(biāo)要去掉帶號(hào)。 圖2-62 大地反算 【算例2-4】已知某控制點(diǎn)在北京