自動(dòng)控制原理答案 鄭有根

1、第1章 控制系統(tǒng)的基本概念1.5 圖1.1所示的轉(zhuǎn)速閉環(huán)控制系統(tǒng)中，若測(cè)速發(fā)電機(jī)的正負(fù)極性接反了，試問系統(tǒng)能否正常工作？為什么？解：若測(cè)速發(fā)電機(jī)的正負(fù)極性接反，偏差電壓則為系統(tǒng)將由負(fù)反饋?zhàn)優(yōu)檎答?，而正反饋不能進(jìn)行系統(tǒng)控制，會(huì)使系統(tǒng)的偏差越來(lái)越大。因此，系統(tǒng)不能正常工作。1.9 倉(cāng)庫(kù)大門自動(dòng)控制系統(tǒng)原理如圖1.8所示。試說明倉(cāng)庫(kù)大門開啟、關(guān)閉的工作原理。如果大門不能全開或全關(guān)，應(yīng)該怎樣進(jìn)行調(diào)整？圖1.8倉(cāng)庫(kù)大門自動(dòng)控制系統(tǒng) 解 當(dāng)給定電位器和測(cè)量電位器輸出相等時(shí)，放大器無(wú)輸出，門的位置不變。假設(shè)門的原始位置在“關(guān)”狀態(tài)，當(dāng)門需要打開時(shí)，“開門”開關(guān)打開，“關(guān)門”開關(guān)閉合，給定電位器和測(cè)量電位器

2、輸出不相等。電位器組會(huì)測(cè)量出開門位置與大門實(shí)際位置間對(duì)應(yīng)的偏差電壓，偏差電壓經(jīng)放大器放大后，驅(qū)動(dòng)伺服電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絞盤轉(zhuǎn)動(dòng)，將大門向上提起。與此同時(shí)，和大門連在一起的電刷也向上移動(dòng)，直到電位器組達(dá)到平衡，即測(cè)量電位器輸出與給定電位器輸出相等，則電動(dòng)機(jī)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，大門達(dá)到開啟位置。反之，當(dāng)合上關(guān)門開關(guān)時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)絞盤使大門關(guān)閉，從而可以實(shí)現(xiàn)大門遠(yuǎn)距離開閉自動(dòng)控制。系統(tǒng)方框圖如圖1.9所示。圖1.9 倉(cāng)庫(kù)大門自動(dòng)控制系統(tǒng)方框圖關(guān)門位置對(duì)應(yīng)的電位開門位置、放大器絞盤ue實(shí)際位置電動(dòng)機(jī)大門給定電位器測(cè)量電位器如果大門不能全開或者全閉，說明電位器組給定的參考電壓與期望的開門位置或關(guān)門位置不一致，應(yīng)該調(diào)整電位

3、器組的滑臂位置，即調(diào)整“開門”或“關(guān)門”位置對(duì)應(yīng)的參考電壓。第2章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 求圖2.1中RC電路和運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。解：（a）令Z1=為電容和電阻的復(fù)數(shù)阻抗之和；Z2=為電阻的復(fù)數(shù)阻抗。由此可求得傳遞函數(shù)為：(c) 該電路由運(yùn)算放大器組成，屬于有源網(wǎng)絡(luò)。運(yùn)算放大器工作時(shí)，A點(diǎn)的電壓約等于零，稱為虛地。輸入、輸出電路的復(fù)數(shù)阻抗Z1和Z2分別為 Z1=，Z2=。又由虛短得故有2.4 已知某系統(tǒng)滿足微分方程組為試畫出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和。解：在零初始條件下，對(duì)上述微分方程組取拉氏變換得：圖2.9 題2.4系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖R(s)E(s)C(s)B(s)10連桿、

4、電位器每個(gè)等式代表一個(gè)環(huán)節(jié)，且系統(tǒng)的輸入信號(hào)為，輸出信號(hào)為，是偏差信號(hào)。根據(jù)各環(huán)節(jié)輸入、輸出變量之間的關(guān)系式，推出系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖2.9所示?；?jiǎn)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為2.5 簡(jiǎn)化圖2.10所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求輸出的表達(dá)式。圖2.10 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖RLC網(wǎng)絡(luò)(a)圖2.11 題2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效過程rr+=r+解：本系統(tǒng)為多輸入-單輸出系統(tǒng)，可利用線性系統(tǒng)的疊加定理，分別求取各個(gè)輸入信號(hào)作用下的輸出，其和即為所求的系統(tǒng)總輸出。系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可化簡(jiǎn)為圖2.11(a)。考慮到輸入信號(hào)D1(s)附近相鄰的相加點(diǎn)可交換，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖2.11(a)簡(jiǎn)化為圖2.11(b)。(b)圖2.11

5、題2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效過程r+=r1） 求輸入信號(hào)R(s)用下的輸出CR(s)，此時(shí)假定其他兩個(gè)輸入為零，即D1(s)= D2(s)=0，則根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2.11(b)，化簡(jiǎn)可得輸出CR(s)為(c)圖2.11 題2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效過程r2） 求輸入信號(hào)D1(s)用下的輸出CD1(s)，此時(shí)假定R(s)= D2(s)=0，則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效為圖2.11(c)?；?jiǎn)可得輸出CD1(s)為3） 求輸入信號(hào)D2(s)用下的輸出CD1(s)，此時(shí)假定R(s)= D1(s)=0，則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效為圖2.11(d)。(d)圖2.11 題2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效過程rr化簡(jiǎn)可得輸出CD2(s)為4）綜上所述

6、，本系統(tǒng)的總輸出為圖2.12 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖RLC網(wǎng)絡(luò)2.6 簡(jiǎn)化圖2.12所示各系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)。解：圖2.12（a）是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用移動(dòng)相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的方法處理。圖中a、b兩點(diǎn)，一個(gè)是相加點(diǎn)，一個(gè)是分支點(diǎn)，二者相異，不可以任意交換，但可以相對(duì)各串聯(lián)環(huán)節(jié)前移或后移，如圖2.13(a)所示。求解步驟：（1）將分支點(diǎn)a后移，等效圖如圖2.13(b)所示。（2）將相加點(diǎn)b前移，等效圖如圖2.13(c)所示。（3）將相加點(diǎn)b與前一個(gè)相加點(diǎn)交換，并化簡(jiǎn)各負(fù)反饋及串、并聯(lián)環(huán)節(jié)，得圖2.13(d)。（4）化簡(jiǎn)局部負(fù)反饋，故得圖2.13(e)。（5）前向通道兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，

7、再化簡(jiǎn)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，得到系統(tǒng)(a)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為r=r=r+=rr=r=r+=rr=rr圖2.13 題2.6(a)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化過程abaab(b)(c)(d)(e)(a)r=r=r+=rb2.10 分別用結(jié)構(gòu)圖變換法及梅遜公式求圖2.21所示各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(a) 解：1） 結(jié)構(gòu)圖變換法如圖2.22(a)所示，虛線框內(nèi)部分為典型的負(fù)反饋環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換如圖2.22(b)所示。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為r+（a） r（b） 圖2.22 題2.10(a)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換(e)解：結(jié)構(gòu)圖變換法為解除交叉連接，可分別將相加點(diǎn)a前移、分支點(diǎn)b后移，如圖2.26(a)所示。動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的

8、等效變換見圖2.26(b)、(c)、(d)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為+=r+=r+=r+=rrrr（a）+=r+=r+=r+=rrrr（b）rrr（d）+=r+=r+=r圖2.25題2.10(d)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換（c）=r=r=rA=rA=r=r=r=rB=rC=rC=r連桿、電位器B=r2.12 已知各系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（2）解：(2) 方法1：在零初始條件下，等式兩端取拉氏變換，根據(jù)拉氏變換的時(shí)域平移定理，得由歐拉公式，且，則有方法二根據(jù)三角函數(shù)的求和定理，系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)可展開為在零初始條件下，等式兩端取拉氏變換，得第3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.2 某單位負(fù)反饋系統(tǒng)

9、的開環(huán)傳遞函數(shù)為試分別求出s1和s1時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，及單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。并討論的大小對(duì)過渡過程性能指標(biāo)的影響。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的零極點(diǎn)表達(dá)式為，閉環(huán)傳遞系數(shù)K=1 比較可得，系統(tǒng)的性能參數(shù)為=，且有，說明K值的大小對(duì)系統(tǒng)的快速性影響較小。（1）當(dāng)K=10時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的性能參數(shù)為=0.5，=10系統(tǒng)相關(guān)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為（2）當(dāng)K=20時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 系統(tǒng)的性能參數(shù)為=，系統(tǒng)相關(guān)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為由以上分析可見，增大系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)K，將增大系統(tǒng)超調(diào)量，使系統(tǒng)振蕩加劇，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不利。圖3.3 加入速度負(fù)反饋的系統(tǒng)3.4

10、 如圖3.3所示，若某系統(tǒng)加入速度負(fù)反饋，為使系統(tǒng)阻尼比，試確定（1）的取值；（2）系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和。解：（1）該控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為與二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的零極點(diǎn)表達(dá)式比較，可得并考慮到：，所以（2）系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下3.5 實(shí)驗(yàn)測(cè)得單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3.4所示。試確定該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3.4 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線解：由圖3.4所示，可知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)峰值時(shí)間為聯(lián)立以上方程可得：0.515，=18.33并由于系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為1，說明系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞系數(shù)K=1，故求得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)為單位負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，因此有推出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下3.7

11、已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1） （4）試分別用勞斯判據(jù)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳函為：閉環(huán)特征方程為：=0，列勞斯表如下s31 5s26 20s1s020 由于勞斯表的第一列系數(shù)均大于零，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。也可直接利用基于勞斯判據(jù)的三階系統(tǒng)穩(wěn)定性結(jié)論，如下：三階系統(tǒng)特征方程為，則系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：、均大于0及。對(duì)于本系統(tǒng)有：特征方程所有系數(shù)均大于零，且，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。（4）系統(tǒng)閉環(huán)傳函為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為=0因?yàn)樘卣鞣匠倘毕啵ㄈ保?，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.9 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為（1） （2） （3）試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益的取值范圍。解：（1）該系統(tǒng)

12、的閉環(huán)傳函為：閉環(huán)特征方程為：=0對(duì)于二階系統(tǒng)，如欲使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則保證特征多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)都大于零即可：8+K0K-83.11 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求閉環(huán)特征方程根的實(shí)部分別小于0、-1、-2，試問值應(yīng)怎么選??？解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為特征方程為欲閉環(huán)特征方程根的實(shí)部小于0、-1、-2，實(shí)際上就是使閉環(huán)特征方程根具有相應(yīng)的穩(wěn)定裕量（s =0、1、2），可利用勞斯判據(jù)確定對(duì)應(yīng)的K值。1） 使閉環(huán)特征方程根的實(shí)部小于0即求使系統(tǒng)保持穩(wěn)定的K值。由系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程，有 即 求得滿足條件的K值為2） 使閉環(huán)特征方程根的實(shí)部小于-1進(jìn)行坐標(biāo)變換，令s=z-1，代入閉環(huán)特征方程得根據(jù)勞

13、斯判據(jù)，欲使該系統(tǒng)在z域穩(wěn)定的條件是即 則在s域中滿足條件的K值為3）使閉環(huán)特征方程根的實(shí)部小于-2進(jìn)行坐標(biāo)變換，令s=z-2，代入閉環(huán)特征方程得根據(jù)勞斯判據(jù)，欲使該系統(tǒng)在z域穩(wěn)定的條件是即 則在s域中滿足條件的K值為 由以上分析可見，對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求越高，則系統(tǒng)傳遞系數(shù)的取值范圍越小。3.12 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（1） （3）試分別求出各系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)、靜態(tài)加速度誤差系數(shù)；計(jì)算當(dāng)輸入信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）該系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)表達(dá)式為系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，則有=10，=0，=0輸入信號(hào)的拉普拉斯表達(dá)式為則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（3）該系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間常數(shù)

14、表達(dá)式為該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，則有=，=，=0.1則系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為圖3.5 反饋控制系統(tǒng)3.13 系統(tǒng)如圖3.5所示。試判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差及。解：（1）該系統(tǒng)給定輸入信號(hào)下的閉環(huán)傳函為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：=0由勞斯判據(jù)，有故該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。（2）該系統(tǒng)給定輸入信號(hào)下的開環(huán)傳函為：前向通道有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，v=2，該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)，所以輸入信號(hào)下的穩(wěn)態(tài)誤差為=0系統(tǒng)對(duì)于干擾的閉環(huán)傳遞函數(shù)為因此階躍干擾信號(hào)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為第5章 頻率特性法5.2 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)頻率特性的物理意義，求閉環(huán)輸入信號(hào)分別為以下信號(hào)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。（1）r（

15、t）=sin（t+30）；解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為（1）輸入信號(hào)的頻率為，因此有，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出5.4 求圖5.8所示的電網(wǎng)絡(luò)的頻率特性表達(dá)式，以及幅頻特性與相頻特性表達(dá)式，并繪制出對(duì)數(shù)頻率特性曲線。圖5.8 題5.4圖解：（a）電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為w/ (rads1)L(w)/(dB)20lga j(w)/030600+20（a） （b） 圖5.9 題5.4伯德圖w/ (rads1)j(w)/L(w)/(dB)w/ (rads1)w/ (rads1)9000-20jmjm頻率特性為 幅頻特性相頻特性伯德圖見圖5.9（a），此電網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)校正中常用的超前

16、校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1） 轉(zhuǎn)折頻率與之間漸近線斜率為20dB/dec，起微分作用；2）j(w)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都0，具有相位超前作用，故名超前校正裝置；3）j(w)有超前最大值jm。（b）電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為頻率特性為 幅頻特性相頻特性伯德圖見圖5.9（b），此電網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)校正中常用的滯后校正裝置（見第六章），呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：1） 轉(zhuǎn)折頻率與之間漸近線斜率為20dB/dec，起積分作用； 2）j(w)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)都0因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并具有較好的穩(wěn)定裕量。（2）當(dāng)K=10時(shí)，求系統(tǒng)的相位裕量；繪制開環(huán)伯德圖如圖5.18對(duì)數(shù)頻率特性(b)所示。相對(duì)于對(duì)數(shù)頻率特性(a)，開環(huán)傳遞

17、系數(shù)增加10倍， L(w)曲線上升20dB，相頻特性保持不變。系統(tǒng)的幅值穿越頻率wcb=3.16 rads1，也是系統(tǒng)的相角穿越頻率，代入系統(tǒng)的相頻特性有系統(tǒng)的幅值裕量為L(zhǎng)h=L(wg)=L(wc)=0dB因此，穩(wěn)定裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（3）分析開環(huán)傳遞系數(shù)的大小對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。由以上分析可見，對(duì)一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當(dāng)開環(huán)傳遞系數(shù)增加時(shí)，由于L(w)曲線上升，導(dǎo)致幅值穿越頻率wc右移，從而使得相位裕量與幅值裕量都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。第6章 控制系統(tǒng)的校正6.8一單位負(fù)反饋系統(tǒng)固有部分的傳遞函數(shù)為，若要求系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=5s-1，相位裕量40，幅值

18、穿越頻率wc0.5rad/s，幅值裕量Lh10dB。試設(shè)計(jì)所需串聯(lián)滯后校正裝置的傳遞函數(shù)。解（1）求校正前的開環(huán)頻域指標(biāo)K=5時(shí)未校正系統(tǒng)的伯德圖如圖6.3中的曲線Lo（w）所示。低頻段過點(diǎn)Lo（1）=20lgK=14dB，且中頻段穿越斜率為-60 dB/dec，可見開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性不滿足穩(wěn)定性的要求。由關(guān)系dB未校正系統(tǒng)的相位裕量為系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若采用超前校正，則需要校正裝置提供的相位超前量為可見校正裝置所需提供的相角超前量過大，對(duì)抗干擾有不利影響，且物理實(shí)現(xiàn)較為困難。同時(shí)由于采用超前校正幅值穿越頻率會(huì)右移，從原系統(tǒng)的相頻特性可見，系統(tǒng)在原wc處相位急速下降，需要校正裝置提供的相角超前量可

19、能更大，因此不宜采用超前校正。由于要求的在rad/s的左邊，所以可以考慮采用串聯(lián)滯后校正裝置。（2）確定校正后的幅值穿越頻率選擇未校正系統(tǒng)伯德圖上相位裕量為時(shí)的頻率，作為校正后的幅值穿越頻率wc，根據(jù)下式確定但直接求解此三角函數(shù)是比較困難的，根據(jù)題意可將wc=0.5 rad/s代入上式，求得故選定wc=0.5rad/s。（3）確定滯后網(wǎng)絡(luò)的b值未校正系統(tǒng)在wc處的對(duì)數(shù)幅值為j(w)/0.01-90-180jc (w)j (w)j o (w)=-22.40-2700.1圖6.3 題6.8系統(tǒng)校正前后的伯德圖Lo(w)-未校正系統(tǒng); Lc(w)-校正裝置; L(w)-校正后系統(tǒng)jo(w)-未校正系

20、統(tǒng); jc(w)-校正裝置; j(w)-校正后系統(tǒng)L(w)/dBw2=0.1wc=0.5Lo(w)LC(w)L(w)-20020401wc=2.16-20-40602-60w/ (rads1)w/ (rads1)140.01-20-401=40-Lhw2根據(jù)可計(jì)算出b=10。 (4)確定滯后校正裝置轉(zhuǎn)折頻率選rad/s，推出T=1/w2=10s，并有w1=1/bT=0.01rad/s。滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為 (5)校驗(yàn)系統(tǒng)校正后的穩(wěn)定裕量與Lh校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為滿足設(shè)計(jì)要求。系統(tǒng)校正前后的頻率特性見圖6.3。由于系統(tǒng)的相角穿越頻率wg需通過復(fù)雜的三角函數(shù)才能正確求解，因此幅值裕量一般

21、通過間接的方法驗(yàn)證，方法如下：系統(tǒng)校正后的相頻特性為j(w)=-90+ arctan10w-arctanw-arctan0.5w-arctan100w由圖6.3可見，wg在頻率范圍（1，2）之間，可求得校正后w=1.3rad/s時(shí)的相位與對(duì)數(shù)幅值分別為j(1.3)= -179.4L(1.3)= -20lg1/0.5-40lg1.3/1=-10.6（dB）因此判斷出校正后的wg稍大于1.3rad/s，并由系統(tǒng)的頻率特性可知，在頻率大于1rad/s的范圍內(nèi)，隨頻率的升高，系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅值與相位均呈下降的趨勢(shì)，所以必有L（wg）-10.6dB，即Lh10.6dB，滿足設(shè)計(jì)要求。 幅值裕量的驗(yàn)證也可通過精

22、確的坐標(biāo)系直接判斷，見圖6.3。比較校正前后系統(tǒng)的性能，有（1）滯后校正裝置的負(fù)斜率段壓縮了系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段，使穿越頻率由40dB/dec變?yōu)?0dB/dec，系統(tǒng)的幅值穿越頻率wc由2.16rad/s左移到0.5rad/s，利用系統(tǒng)本身的相頻特性使系統(tǒng)穩(wěn)定，并具有40的相位裕量與足夠的幅值裕量。（2）不影響系統(tǒng)的低頻段，不改變系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。（4）高頻段對(duì)數(shù)幅值下降，抗干擾性能有所提高。總的來(lái)說，系統(tǒng)串聯(lián)滯后校正裝置后，在保證穩(wěn)態(tài)性能的前提下，改善了動(dòng)態(tài)性能。 6.15原系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，采用串聯(lián)校正，期望校正以后的開環(huán)幅頻特性曲線L(w)如圖6.10所示。試求：（1）在原圖

23、上繪制所需校正裝置的伯德圖Lc(w)，求出此裝置的傳遞函數(shù)Gc（s），并說明該裝置的類型。（2）簡(jiǎn)要說明系統(tǒng)校正前后性能的變化。解：（1）方法一：繪制系統(tǒng)校正前的頻率特性，如圖6.11 Lo (w)所示。根據(jù)Lc(w)= L(w)- Lo(w)繪制系統(tǒng)所需校正裝置的伯德圖Lc(w)，見圖6.11，可見所需裝置為超前校正裝置，其傳遞函數(shù)Gc（s）的求取過程如下：校正裝置低頻段與0dB線重合，斜率為0dB/dec，推出傳遞系數(shù)為K=1確定各典型環(huán)節(jié)： 第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn) =2.2rad/s，斜率增加20db/dec，有一個(gè)積分環(huán)節(jié)； 第三個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn) =8.8rad/s 斜率減小20dB/dec，有一個(gè)慣性

24、環(huán)節(jié)。因此，校正裝置的傳遞函數(shù)Gc（s）為L(zhǎng)(w)/dBL（w）1010.12.24.47020408.8-20-20-40-40Lo(w)-未校正系統(tǒng)，Lc(w)-校正裝置，L(w)-校正后系統(tǒng)圖6.11 題6.15系統(tǒng)校正前后的伯德圖w/ (rads1)-40Lo(w)LC(w)6方法二：根據(jù)圖6.10所示系統(tǒng)校正后的期望特性L(w)，推出系統(tǒng)校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)為故所需校正裝置為（2）系統(tǒng)校正前，幅值穿越頻率為wc=1020/40=3.16rad/s相位裕量為串聯(lián)超前校正裝置后，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的中頻段抬高，幅值穿越頻率右移，增加了帶寬，快速性改善；相位裕量明顯增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性改善；高頻

25、段對(duì)數(shù)幅值上升，抗干擾性下降。第7章 非線性控制系統(tǒng)7.1 求下列方程的奇點(diǎn)，并確定奇點(diǎn)的類型。（1）（2）解：（1）由題得：式中為解析函數(shù)。若以x為自變量，為因變量，則上式可改寫為考慮到，因此有根據(jù)奇點(diǎn)的定義，列方程組為得到系統(tǒng)的奇點(diǎn)為即奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。在奇點(diǎn)（0，0）處，將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，保留一次項(xiàng)有奇點(diǎn)附近線性化方程為其特征方程為特征根為為s平面的右半部分的共軛復(fù)數(shù)根，故奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖7（a）所示：（2）由題得：由得到（a） （b）圖7.71 題7.1 奇點(diǎn)附近的相軌跡即奇點(diǎn)為（0，0）和（-1，0）。1）在奇點(diǎn)（0，0）處，將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，保留一次

26、項(xiàng)有奇點(diǎn)（0，0）附近線性化方程為：其特征方程為特征根為：為s平面的右半部分的共軛復(fù)數(shù)根，故奇點(diǎn)（0，0）為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。2）在奇點(diǎn)（-1，0）處，將進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，保留一次項(xiàng)有在奇點(diǎn)（-1，0）處，進(jìn)行坐標(biāo)變換，令，則，。即坐標(biāo)系的奇點(diǎn)（-1，0），變換為坐標(biāo)系下的奇點(diǎn)（0，0）。因此有其特征方程為特征根為：為一正一負(fù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故坐標(biāo)系下的奇點(diǎn)（-1，0）為鞍點(diǎn)。概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖7（b）所示：7.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7.71，設(shè)系統(tǒng)初始條件是靜止?fàn)顟B(tài)，試?yán)L制相軌跡圖。系統(tǒng)輸入為（1），解：（1）非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為由結(jié)構(gòu)圖可知線性部分的傳遞函數(shù)為：由此可得線性部分的微分方程

27、為： 由比較環(huán)節(jié)：，上式又可以寫成輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因此系統(tǒng)的微分方程為根據(jù)已知的非線性特性，開關(guān)線將相平面分為正飽和區(qū)II、線性區(qū)I、負(fù)飽和區(qū)III三個(gè)線性區(qū)域。1)區(qū)（線性區(qū)）：系統(tǒng)的微分方程為將代入上式，求得區(qū)相軌跡的斜率方程為以及代入上式，得到這說明相平面的原點(diǎn)（0，0）為I區(qū)相軌跡的奇點(diǎn)，該奇點(diǎn)因位于I區(qū)內(nèi)，故為實(shí)奇點(diǎn)。線性區(qū)I區(qū)的特征方程及特征值分別為若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于欠阻尼狀態(tài)，這時(shí)奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)；若，則系統(tǒng)在I區(qū)工作于過阻尼狀態(tài)，這時(shí)的奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。為方便討論奇點(diǎn)的性質(zhì)及繪制相平面圖，以下分析假定。若記等傾線斜率為，則I區(qū)的等傾線方程為當(dāng)時(shí)，該

28、區(qū)的相軌跡是一簇螺旋線，收斂于相平面原點(diǎn)，如圖解7-8(a)所示。當(dāng)時(shí)，該區(qū)的對(duì)應(yīng)的相軌跡是一簇趨向相平面原點(diǎn)的拋物線。2)、區(qū)（飽和區(qū)）：系統(tǒng)的微分方程為由微分方程知，系統(tǒng)沒有奇點(diǎn)，但有漸近線。將代入上式，求得、區(qū)相軌跡的斜率方程為若記等傾線斜率為，則分別求得II、III區(qū)的等傾線方程為相軌跡方程為常數(shù)，即等傾線斜率均為0。當(dāng)相軌跡斜率與等傾線斜率相等，即時(shí)，直線 （II區(qū)） （III區(qū)）分別為II、III區(qū)內(nèi)的等傾線。由于II區(qū)的全部相軌跡均漸近于，III區(qū)的全部相軌跡均漸近于，故稱的兩條等傾線為相軌跡的漸近線。由此應(yīng)用等傾線法，在相平面圖的II、III區(qū)分別繪制的一簇相軌跡如圖7.35（

29、b）所示，II、III區(qū)相軌跡圖對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。3）非線性系統(tǒng)的相平面圖基于圖7.35（a）、（b）將以上各區(qū)的相軌跡連接起來(lái)，可以繪制非線性系統(tǒng)的完整相軌跡圖，見圖(c)，其中相軌跡的初始點(diǎn)由來(lái)確定。假使系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則在階躍輸入（，）作用時(shí)，相軌跡的起始點(diǎn)應(yīng)為。此時(shí)的非線性系統(tǒng)的完整相平面圖如圖7-8（d）所示。正負(fù)飽和區(qū)的相軌跡與理想繼電特性的相軌跡相同，但是由飽和點(diǎn)所決定，切換位置提前。由于線性區(qū)的奇點(diǎn)性質(zhì)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，所以最后一次進(jìn)入I區(qū)后，相軌跡不再進(jìn)入其它工作區(qū)，在I區(qū)內(nèi)經(jīng)有限次衰減振蕩后，最終收斂于原點(diǎn)。圖7. 5 題7.3含飽和特性的非線性系統(tǒng)相軌跡圖a-aa-aa (

30、a)e-a-aa-aa從飽和特性的相平面分析可以看到：(1) 階躍輸入作用時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。如果系統(tǒng)的固有部分具有良好的阻尼特性，系統(tǒng)最后進(jìn)入I區(qū)后，在超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、振蕩次數(shù)等方面均良好的動(dòng)態(tài)特性，而且不產(chǎn)生自持振蕩。最大超調(diào)量可從圖中量得，為相軌跡第一次與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的絕對(duì)值，而相軌跡繞原點(diǎn)的次數(shù)為過渡過程的振蕩次數(shù)。(2)飽和點(diǎn)的大小可以決定分區(qū)切換次數(shù)的多少。飽和點(diǎn)的值大，則線性工作區(qū)大， 分區(qū)切換次數(shù)少，非線性振蕩次數(shù)少，飽和非線性對(duì)系統(tǒng)的影響小。飽和點(diǎn)的值小，則線性工作區(qū)范圍小，分區(qū)切換次數(shù)增加，非線性振蕩次數(shù)增多，飽和非線性對(duì)系統(tǒng)的影響就不可忽視。 當(dāng)時(shí)，I區(qū)的相軌跡為收斂于原點(diǎn)的拋物線，其他與時(shí)相同。7.8 圖7.76所示為繼電器控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，其線性部分的傳遞函數(shù)為題7.4圖+21試確定自持振蕩的頻率與振幅。解：帶有滯環(huán)的繼電器特性的描述函數(shù)為：輸入為e(t)=Asint。已知，代入上式，則有寫出描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性為由上式可知，由時(shí)，因此曲線平行于負(fù)實(shí)軸，且由。由題，線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： 將