泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)

1、泰勒泰勒 級數(shù)級數(shù)泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)級數(shù)級數(shù) 洛朗洛朗 級數(shù)級數(shù)洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)級數(shù)級數(shù) 張紅英張紅英 ( )12;() 2 0 f z zz iziiziiiz zLaurent 將在以下圓環(huán)域 （ 內展開成點的級數(shù)。 解解: 11 ( ) 12 f z zz 111 ( ) 12 1 2 f z z z 故 ( )011 2 z iz 2 1 0 1371 (1) 2482 n n n zzz 2 2 1 (1)(1) 224 n zz zzz 無無 奇奇 點點 111111 ( ) 1 122 11 2 f z z zzz z 21 2

2、z z 又 1 ( )121iiz z 2 2 1 10 1111 (1)(1) 224 1 2 n nn nn zz zzz z z 2 ()21iiiz z 111 11 1 ( ) 12 12 11 f z zzzz zz 1 2 21 n n n z 22 234 111124 11 137 zz zzz z zzz 注意首項注意首項 解解 (1) 在(最大的)去心鄰域 例例5 y x o 12 1 ( ) (1)(2) 1,2 f z zz zz Laurent 將 在以點的去心鄰 域內展開成級數(shù)。 0 2 1 (1) 1 1 1 (1)(2) 1 n n z z zz z 011z

3、 (2) 在在(最大的最大的)去心鄰域去心鄰域 021z x o 121111 ( ) 122 1 (2) f z zzzz 0 2 1 ( 1) (2) 2 1 1 (2)(2) 2 nn n z z zz z 2 2 25 ( ) (2)(1) (1)12(2) 025 zz f z zz zz 將在以下區(qū)域 ； 內展開成冪級數(shù)。 練習：練習： (2) 同一個函數(shù)有不同的級數(shù)展式，這是因為在不同 的區(qū)域上的展式，這與唯一性并不矛盾。 (1) Laurent級數(shù)與Taylor 級數(shù)的不同點： Taylor級數(shù)先展開求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級數(shù)先求 f(z) 的奇點，然后以

4、 z0為中心 奇點為分隔點，找出z0到無窮遠點的所有使 f(z) 解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級數(shù)。 5 5 小結小結 (3)(3)根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級數(shù)。 (1)(1)對于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可對于無理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開式，可 以利用已知基本初等函數(shù)的泰勒展開式，經(jīng)過代換、以利用已知基本初等函數(shù)的泰勒展開式，經(jīng)過代換、 逐次求導、逐次積分等計算獲得。逐次求導、逐次積分等計算獲得。 (4) 把把f (z)展成洛朗級數(shù)的方法：展成洛朗級數(shù)的方法： (2)(2)對于對于有理函數(shù)有理函數(shù)的的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)洛朗展開式，首先把有理函數(shù) 分解成多項式與若干個最簡分式之和