第56課 幾何型綜合問題

1、第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 要點梳理要點梳理基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 幾何型綜合題考查知識點多，條件隱晦，要求學(xué)生有較強幾何型綜合題考查知識點多，條件隱晦，要求學(xué)生有較強 的理解能力、分析能力、解決問題的能力，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、的理解能力、分析能力、解決問題的能力，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、 數(shù)學(xué)基本方法有較強的駕馭能力，并有較強的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新數(shù)學(xué)基本方法有較強的駕馭能力，并有較強的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新 能力能力 幾何論證型綜合問題，常以相似形、圓的知識為背景，串幾何論證型綜合問題，常以相似形

2、、圓的知識為背景，串 聯(lián)其他幾何知識順利證明幾何問題取決于下列因素：聯(lián)其他幾何知識順利證明幾何問題取決于下列因素：熟悉熟悉 各種常見問題的基本證明；各種常見問題的基本證明；能準(zhǔn)確添加基本輔助線；能準(zhǔn)確添加基本輔助線；對復(fù)對復(fù) 雜圖形能進行恰當(dāng)?shù)姆纸馀c組合；雜圖形能進行恰當(dāng)?shù)姆纸馀c組合；善于選擇證題的起點并轉(zhuǎn)善于選擇證題的起點并轉(zhuǎn) 化問題化問題 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 要點梳理要點梳理基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 幾何計算型綜合問題，其中以線段的計算最為常見，線段幾何計算型綜合問題，其中以線段的計算最為常見，線段 的計算通常是通過勾股定理、相交弦定理、切割線定理及推論、

3、的計算通常是通過勾股定理、相交弦定理、切割線定理及推論、 相似三角形對應(yīng)邊成比例所提供的等式進行的，這些等式可以相似三角形對應(yīng)邊成比例所提供的等式進行的，這些等式可以 根據(jù)不同的已知條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組根據(jù)不同的已知條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組 解幾何型綜合題，還應(yīng)注意以下幾點：解幾何型綜合題，還應(yīng)注意以下幾點：注意數(shù)形結(jié)合，注意數(shù)形結(jié)合， 多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相 等關(guān)系；等關(guān)系；注意推理和計算相結(jié)合，力求解題過程的規(guī)范化；注意推理和計算相結(jié)合，力求解題過程的規(guī)范化； 注意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線添法；注

4、意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線添法；注意靈活注意靈活 地運用數(shù)學(xué)的思想方法地運用數(shù)學(xué)的思想方法 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 解析解析 點點E E、F F分別是邊分別是邊ADAD、ABAB的中點，的中點， AHAHHOHO， 平行四邊形平行四邊形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O， 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) C C 第第56

5、56課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 2. 2. (2014(2014三明三明) )如圖，如圖，ABAB是是OO的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于點于點E E，則，則 下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是 ( () ) A. DE A. DEBE BE B. B. C. C. BOCBOC是等邊三角形是等邊三角形 D. D. 四邊形四邊形ODBCODBC是菱形是菱形 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 解析解析 ABCDABCD，ABAB過點過點O O， DEDECECE， ， 根據(jù)已

6、知不能推出根據(jù)已知不能推出DEDEBEBE，BOCBOC是等邊三角形，四邊形是等邊三角形，四邊形 ODBCODBC是菱形故選是菱形故選B. B. 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 2. 2. (2014(2014三明三明) )如圖，如圖，ABAB是是OO的直徑，弦的直徑，弦CDABCDAB于點于點E E，則，則 下列結(jié)論正確的是下列結(jié)論正確的是 ( () ) A. DE A. DEBE BE B. B. C. C. BOCBOC是等邊三角形是等邊三角形 D. D. 四邊形四邊形ODBCODBC是菱形是菱形 B B 第第5656課幾何

7、型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 解析解析 過點過點A A作作AMBCAMBC于點于點M M，交，交DGDG于點于點N N， 延長延長GFGF交交BCBC于點于點H H， ABABACAC，ADADAGAG， ADABADABAGABAGAB， DAGDAGBACBAC， ADGADGABCABC， ADGADGBB，DGBCDGBC， 四邊形四邊形DEFGDEFG是正方形，是正方形， FGDGFGDG，F(xiàn)HBCFHBC，ANDGANDG， 第第5656課

8、幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) D D 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 【例【例 1 1】(2014(2014綏化綏化) )在菱形在菱形ABCDABCD和正三角形和正三角形BGFBGF中，中，ABCABC 6060，P P是是DFDF的中點，連接的中點，連接PGPG、PC.PC. (2)(2)如圖如圖2 2，當(dāng)點，當(dāng)點F F在在ABAB的延長線上時，線段的延長線上時，線段PCPC、PGPG有怎樣有怎樣

9、的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明；的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明； (3)(3)如圖如圖3 3，當(dāng)點，當(dāng)點F F在在CBCB的延長線上時，線段的延長線上時，線段PCPC、PGPG又有怎又有怎 樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想( (不必證明不必證明) ) 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 解解 (1)(1)提示：如圖提示：如圖1 1，延長，延長GPGP交交DCDC于點于點E E， 利用利用PEDPEDPGFPGF，得出，得出PEPEPGPG，DEDEFGFG， CECECGCG， CPCP是是EGEG的中垂線，的中垂線，

10、 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 GFBCADGFBCAD，EDPEDPGFPGFP， 證明：如圖證明：如圖2 2，延長，延長GPGP交交DADA于點于點E E，連接，連接ECEC、GCGC， ABCABC6060，BGFBGF為正三角形，為正三角形， DPEDPEFPG(ASA)FPG(ASA)，PEPEPGPG，DEDEFGFGBGBG， 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 CDECDECBGCBG6060，CDCDCBCB， CDECDECBG(SAS)CBG(SAS)，CECECGCG，DCED

11、CEBCGBCG， ECGECGDCBDCB120120， 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 證明：如圖證明：如圖3 3，延長，延長GPGP到到H H，使，使PHPHPGPG， 連接連接CHCH、CGCG、DHDH，作，作FEDCFEDC， PP是線段是線段DFDF的中點，的中點，F(xiàn)PFPDPDP， GPFGPFHPDHPD，GFPGFPHDP(SAS)HDP(SAS)， GFGFHDHD，GFPGFPHDPHDP， GFPGFPPFEPFE120120，PFEPFEPDCPDC， CDHCDHHDPHDPPDCPDC120120， 第第5656課

12、幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 四邊形四邊形ABCDABCD是菱形，是菱形，CDCDCBCB，ADCADCABCABC6060， 點點A A、B B、G G在一條直線上，在一條直線上，GBCGBC120120， BGFBGF是正三角形，是正三角形，GFGFGBGB，HDHDGBGB， HDCHDCGBC(SAS)GBC(SAS)，CHCHCGCG，DCHDCHBCGBCG， DCHDCHHCBHCBBCGBCGHCBHCB120120， 即即HCGHCG120120， CHCHCGCG，PHPHPGPG，PGPCPGPC，GCPGCPHCPHCP6060， 第

13、第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 探究提高探究提高本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角 形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確地構(gòu)建形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確地構(gòu)建 出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 【例【例 2 2】(2014(2014菏澤菏澤) )已知：如圖，正方形已知：如圖，正方形ABCDABCD，BMBM、DNDN 分別平分正方形的兩個外角，且滿足分別平分正方形的兩個外角，且滿

14、足MANMAN4545，連，連 接接MN.MN. (1) (1)若正方形的邊長為若正方形的邊長為a a，求，求BMDNBMDN的值；的值； (2)(2)若以若以BMBM、DNDN、MNMN為三邊圍成三角為三邊圍成三角 形，試猜想三角形的形狀，并證形，試猜想三角形的形狀，并證 明你的結(jié)論明你的結(jié)論 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 解解 (1)BM(1)BM、DNDN分別平分正方形的兩個外角，分別平分正方形的兩個外角， CBMCBMCDNCDN4545，ABMABMADNADN135135， MANMAN4545，BAMBAMNADNAD4545，

15、在在ABMABM中，中，BAMBAMAMBAMBMBPMBP4545， NADNADAMBAMB， 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 (2)(2)以以BMBM、DNDN、MNMN為三邊圍成的三角形為直角三角形為三邊圍成的三角形為直角三角形 證明：如圖，過點證明：如圖，過點A A作作AFANAFAN，并截取，并截取AFAFANAN， 連接連接BFBF、FMFM， 11BANBAN9090，33BANBAN9090， 1133， ABFABFADN(SAS)ADN(SAS)， BFBFDNDN，F(xiàn)BAFBANDANDA135135， 第第5656課幾何

16、型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 FANFAN9090，MANMAN4545， 1122FAMFAMMANMAN4545， AFMAFMANM(SAS)ANM(SAS)，F(xiàn)MFMNMNM， FBPFBP180180FBAFBA1801801351354545， FBPFBPPBMPBM454545459090， FBMFBM是直角三角形，是直角三角形，F(xiàn)BFBDNDN，F(xiàn)MFMMNMN， 以以BMBM、DNDN、MNMN為三邊圍成的三角形為直角三角形為三邊圍成的三角形為直角三角形 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 探究提

17、高探究提高本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定 與性質(zhì)，勾股定理逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難與性質(zhì)，勾股定理逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難 點在于第點在于第(2)(2)題作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形題作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 【例【例 3 3】(2013(2013攀枝花攀枝花) )如圖，如圖，PAPA為為OO的切線，的切線，A A為切點，為切點， 直線直線POPO交交OO于點于點E E、F F，過點，過點A A作作POPO的垂線的垂線ABAB

18、，垂足為，垂足為D D， 延長延長ADAD交交OO于點于點B B，延長，延長BOBO與與OO交于點交于點C C，連接，連接ACAC、BF.BF. (1)(1)求證：求證：PBPB與與OO相切；相切； (2)(2)試探究線段試探究線段EFEF，ODOD，OPOP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明； 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 解解 (1)(1)證明：連接證明：連接OAOA， PAPA與圓與圓O O相切，相切， PAOAPAOA，即，即OAPOAP9090， OPABOPAB，DD為為ABAB中點，中點， 即即OPOP垂直平分

19、垂直平分ABAB，PAPAPBPB， OAPOAPOBP(SSS)OBP(SSS)，OAPOAPOBPOBP9090， BPOBBPOB，即直線，即直線PBPB為圓為圓O O的切線的切線 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析 探究提高探究提高此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全等三此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全

20、等三 角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練掌角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練掌 握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析思想與方法系列思想與方法系列 思想與方法系列思想與方法系列1414 用幾何方法解代數(shù)問題 第第5656課幾何型綜合問題課幾何型綜合問題 題型分類題型分類深度剖析深度剖析易錯警示系列易錯警示系列 審題視角審題視角“數(shù)數(shù)”和和“形形”是數(shù)學(xué)研究的兩大對象，它們之是數(shù)學(xué)研究的兩大對象，它們之 間又存在著相互對立、相互依存的關(guān)系，充分利用好兩者間又存在著相互對立、相互依存的關(guān)系，充分利用好兩者 的相互依存、相互補充的關(guān)系，是學(xué)好數(shù)學(xué)的必備條件的相互依存、相互補充的關(guān)系，是學(xué)好數(shù)學(xué)的必備條件 華羅庚先生十分重視華羅庚先生十分重視“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的思維方法，提出過的思維方法，提出過 “ “數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”的觀點的觀點 有很多的數(shù)量關(guān)系可以用相應(yīng)的圖形直觀地顯現(xiàn)出來，這有很多的數(shù)量關(guān)系可以用相應(yīng)的圖形直觀地顯現(xiàn)出來，這 就是常說的就是常說的“幾何意義幾何意義”函數(shù)的圖象當(dāng)然是用圖形反映函數(shù)的圖象當(dāng)然是用圖形反映 數(shù)量關(guān)系的典型方法，還有許多代數(shù)式或代數(shù)概念的幾何數(shù)量關(guān)系的典型方法，還