高等數(shù)學(下)空間幾何與向量代數(shù)7-6

1、 0),( 0),( zyxG zyxF 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都滿足 方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在 曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點 不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程. x o z y 1 S 2 S C 空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線. 特點特點： 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圓柱面，表示圓柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332

2、1 22 zyx yx 交線為橢圓交線為橢圓. 例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圓柱面圓柱面, 交線如圖交線如圖. )( )( )( tzz tyy txx 當當給給定定 1 tt 時時，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個個點點 ),( 111 zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全 部部點點. 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A

3、點出點出 發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時間，運動到時間，運動到M點點 例例 3 3 如如果果空空間間一一點點M在在圓圓柱柱面面 222 ayx 上上以以 角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉轉，同同時時又又以以線線速速度度v沿沿平平行行于于z 軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點點 M構構成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 A M M M在在xoy面面的的投投影影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程 取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)， 解解 x y z o 螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為

4、螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質性質： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度與轉過的角度成正比上升的高度與轉過的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF 消去變量消去變量z后得：后得： 0),( yxH 曲線關于曲線關于 的的投影柱面投影柱面xoy 設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程： 以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面. 投影柱面的投影柱面的特征特征： 三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在

5、坐標面上的投影 如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程. 空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面 類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 0 0),( z yxH 空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy 例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去變量）消去變量z后得后得 , 4 3 22 yx 在在 面上的投影為面上的投影

6、為 xoy , 0 4 3 22 z yx 所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因為曲線在平面）因為曲線在平面 上，上， 2 1 z 例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22 與平面與平面 02 zyx 的截線在三個坐標面上的投影曲線方程的截線在三個坐標面上的投影曲線方程. 截線方程為截線方程為 02 22 zyx xzy 解解 如圖如圖, （2）消消去去y得得投投影影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消

7、去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影, 0 045 22 z xxyyx 補充補充: : 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影. . 空間立體空間立體 曲面曲面 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和 由上半球面由上半球面設一個立體設一個立體 xoyyxz yxz 解解 半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得得投投影影柱柱面面消消去去 面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC .

8、 0 , 1 22 z yx 一個圓一個圓, 面面上上的的投投影影為為所所求求立立體體在在 xoy . 1 22 yx 空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程 四、小結四、小結 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 思考題思考題 求橢圓拋物面求橢圓拋物面zxy 22 2與拋物柱面與拋物柱面 zx 2 2的交線關于的交線關于xoy面的投影柱面和面的投影柱面和 在在xoy面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程.

9、思考題解答思考題解答 , 2 2 2 22 zx zxy 交線方程為交線方程為 消消去去z得得投投影影柱柱面面, 1 22 yx 在在 面上的投影為面上的投影為 xoy . 0 1 22 z yx 一、一、 填空題：填空題： 1 1、 曲面曲面zyx109 22 與與yoz平面的交線是平面的交線是_； 2 2、 通過曲線通過曲線162 222 zyx, ,0 222 yzx，且，且 母線平行于母線平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_； 3 3、 曲線曲線 01, 03323 22 zyzxyzzx 在在 xoz平面上的投影方程是平面上的投影方程是_； 4 4、 方程組方程組 32 15 xy

10、 xy 在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_； 5 5、 方程組方程組 3 1 94 22 y yx 在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_ _ _，在空間解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示_； 練練 習習 題題 6 6 、旋旋轉轉拋拋物物面面 22 yxz ( ( 40 z ) ) 在在xoy面面的的投投影影為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在yoz面面的的投投影影為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 在在zox面面上上的的投投影影為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 畫出下列曲線在第一卦限的圖形：畫出下列曲線在第一

11、卦限的圖形： 1 1、 0 4 22 yx yxz 2 2、 222 222 azx ayx 三三、 將將曲曲線線 xy zyx9 222 化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 四、四、 求螺旋線求螺旋線 bz ay ax sin cos 在三個坐標面上的投影曲線在三個坐標面上的投影曲線 的直角坐標方程的直角坐標方程 . . 五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面 222 yxaz , , 柱 面柱 面 0 22 axyx及平面及平面0 z所圍成的立體，在所圍成的立體，在 xoy面和 面和xoz面上的投影面上的投影 . . 一、一、1 1、 0 9 10 2 x zy ； 2 2、1623 ,163 2222 zxzy； 3 3、 0 0324 22 y xzx ； 4 4、兩直線的交點、兩直線的交點, ,兩平面的交線；兩平面的交線； 5 5、橢圓與其一切線的交點、橢圓與其一切線的交點, ,橢圓柱面橢圓柱面1 94 22 yx 與與 其切平面其切平面3 y的交線；的交