第25屆北京市高中力學(xué)競賽決賽試題

1、第25屆北京市高中力學(xué)競賽決賽試卷（全卷滿分150 分）2012 年 5 月 20 日 9:3011:3025圖1一、填空題（6小題，每小題8分，共48分）1 . 一跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員在地球表面跳遠(yuǎn)，起跳時(shí)速度為10m/s,能跳出7.5m遠(yuǎn).已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6,如果他在月球表面跳遠(yuǎn)，起跳速度大小也是 10m/s,他跳遠(yuǎn)的記錄將是 m.2 . 一舉重運(yùn)動(dòng)員能舉起100kg的重物，他對一根羽毛能施加1000n的力嗎？答：,理由是.3 .嫦娥飛船繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測出其周期為t,則飛船距月球表面的距離為h,可否不計(jì)地球引力而近似表述為 卜=；/9嗎廠-r,其中m是月球的

2、質(zhì)量，r是月球半徑.答:,理由是 .4 .據(jù)北京晚報(bào)2012年3月17日和參考消息3月18日報(bào)道，奧地利勇士鮑 姆加持納從2.18萬米高空的氮?dú)馇虻趸@中躍下，下落的最高速度到163m/s.下落約3分43秒，距地面2400m高處打開傘，整個(gè)下落到地面的時(shí)間持續(xù) 8分8秒. 試根據(jù)報(bào)紙報(bào)道和你的分析，在圖1中比較準(zhǔn)確地畫出奧地利勇士下落到地面過 程的v-t圖線.-1v/m?s niso125 -10075 -50笫1 頁共10頁t/s0601201802403003604204805 .下雨天，假設(shè)無風(fēng)，雨滴以速度 驍豎直下落，雨滴在空中的分布是均勻 的，單位體積的雨量是 p如圖2所示，一個(gè)人要從

3、a處運(yùn)動(dòng)到b處，他沒有帶 傘，a、b的距離為1,人的運(yùn)動(dòng)速度為 2把人簡化為長方體模型，頭和肩的水 平面積為si,身體前方正面的豎直面積為 s2.則人從a到b過程中，打到面積 si上的雨量為,打到面積s2上的雨量為.s2ma1b圖26.三個(gè)質(zhì)量均為m的小球a、b、c,用輕桿連接，如圖3所示.a、b與b、c的距離相等，a、b、c與地球中心o在一條直線上.三個(gè)小球在高空繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如果輕桿收到擾動(dòng)而偏離直線一小角度9,則輕桿與直線的偏角 8將 （增大、減小、不變），理由是.（本題說明控制衛(wèi)星天線總指向地球的基本原理）圖3、計(jì)算題（共102分）7. （16分）兩個(gè)相同的半球，半徑都是r,質(zhì)

4、量為0.5m,放在靜摩擦因數(shù)為仙=0.5的水平面上.在兩個(gè)半球上放一個(gè)半徑為r,質(zhì)量為圖4m的光滑球，如圖4所示.求在平衡狀態(tài)下兩球球心之間的最大距離 b.第3頁共10頁圖58. （16分）兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的小球，它們之間的相互作用表現(xiàn)為斥力（斥力大小表達(dá)式為 kmm2, k是常數(shù)，r為兩球之間r距離）.現(xiàn)已知mi以速度vo接近m2，瞄準(zhǔn)距離為b,即m2到速度方向的垂直 距離為b,如圖5所示.求mi小球接近m2小球的最近距離d.設(shè)m1m2,小球m2 可近似看作靜止.1d/v|得分i 9. （20分）如圖6所示，質(zhì)量為m的小球，用不可伸長的線懸于固|定點(diǎn)o,線長為1,初始線與鉛垂線有一個(gè)

5、夾角，初速為 0.在小球開始運(yùn)動(dòng)后，線碰到鐵釘 o1.鐵釘?shù)姆较蚺c小球運(yùn)動(dòng)的平面垂直.ooi=h1,且 已知ooi與鉛垂線夾角為 3設(shè)1與鉛垂線夾角為a.假設(shè)碰后小球恰能做圓周 運(yùn)動(dòng).求線與鐵釘碰前瞬時(shí)與碰后瞬時(shí)張力的變化.圖6|得分| 10. （25分）如圖7所示，理想滑輪（輕質(zhì)，無摩擦）兩端懸掛兩個(gè)| j質(zhì)量均為m的整碼盤.用輕線拴住勁度系數(shù)很大的輕彈簧（彈簧勁度系數(shù)為k）兩端使它壓縮的長度為1,將此彈簧豎直放在左側(cè)整碼盤上，彈簧 上放一質(zhì)量為m的整碼.右側(cè)整碼盤上也放置質(zhì)量為 m的整碼，使兩盤靜止.燃 斷輕線，輕彈簧達(dá)到自由伸展?fàn)顟B(tài)即與整碼脫離 .求（1）此系統(tǒng)（包括兩個(gè)盤、兩個(gè)整碼、彈

6、簧和細(xì)純）中哪些量守恒?升起的高度.2）使用守恒定律求整碼脫離彈簧后第5頁共10頁|得分| 11. （25分）三個(gè)質(zhì)量為m的小球用兩根長為1的不可伸長細(xì)純相|連.初始時(shí)刻，三個(gè)小球在一條線上，靜止放在光滑水平面上，標(biāo)號分別為1、2、3,如圖8所示.給標(biāo)號為3的小球以初速度m,則這三個(gè)小球運(yùn)動(dòng)起來，求1、2兩球相遇時(shí)的速度為多大？132v0圖8第25屆北京市高中力學(xué)競賽決賽試題答案（北京四中杯）一、填空題1. 45 . （8 分）2. 不能（2分）.一根羽毛不能對運(yùn)動(dòng)員施加 1000n的力，根據(jù)牛頓第三 定律，運(yùn)動(dòng)員也不能對羽毛施加 1000n的力.（6分）3. 可以（2分）.在地球引力所用下、

7、月球（攜帶飛船）繞地球做勻速圓周 運(yùn)動(dòng)，可認(rèn)為月球飛船處于失重狀態(tài)，可只考慮月球?qū)︼w船的引力作用（6分）.4.5. psivi ; （4 分）ps2i . （4 分） v26. 減少（2分）,b球受地球引力與慣性離心力平衡， a球受引力大于慣性 離心力，合力指向地球，c球受引力小于慣性離心力，合力背向地球， a、c球 受力的力矩使 0角減少（6分）.第11頁共10頁（3分）（1分）=1（3分）;、計(jì)算題7. 解：設(shè)最大距離時(shí)摩擦力為fmax 與豎直夾角9.對a球y方向：2ncosh = mgn .42cos1對 b 球 y 方向：nb -mg - n cosa=021 1nb = - mg -

8、 mg = mg 22對 b 球x 方向：fmax -n sin 0 = 0,1fmax =nb =-mg21 mgmg s i n = 02 2costan =1卜3人3吐=4r2-吐 bmax=8r2 bmax=2&r（3 分）448.解：m1小球受力始終指向m2小球中心，m1小球在一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng).如圖所示.設(shè)z軸垂直于此平面且通過 m2小球中心，則m1小球所受力對z 軸的力矩為零，即對z軸角動(dòng)量守恒.m1小球以速度v0運(yùn)動(dòng)，對z軸角動(dòng)量是 rmm sin 但r sin = b ,故rmv0 sin = bmvo, mi小球最接近m2小球（距離為 d）時(shí)，即無繼續(xù)向m2小球運(yùn)動(dòng)的速度，又無遠(yuǎn)

9、離 m2小球的速度，此刻的速度v 應(yīng)與m1小球至m2小球的連線垂直，角動(dòng)量是dm1v .于是dm1v=bmivo（1）（5 分）vobv 二12_miv。動(dòng)能，到達(dá)d在散射過程中，只有斥力作用，故能量守恒。最初，其能量為離m2小球最近時(shí)，其總能量為12m1v2m1m2k 1 2d后一項(xiàng)為斥力勢能，k為一常數(shù).因此,（2）（5分）12, mm212-m1vk =-m1vo2d 2有（1） （2）得（4分）d只能為正，故式中負(fù)號無物理意義，舍去.m2 d = k - vom2 k 2vo2十b2（2分）9.解：假設(shè)碰后小球能作圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度 v可由2mv二 mg（l -h）（3分）得

10、出 v2=（lh）g設(shè)初始夾角為a由機(jī)械能守恒得到:12.，、-mv = mghcos p -l cos -二一（l -h）（5分）12mg（l -1 co s ） = - mvh/3 二、3ncos=-（cos） l 22假設(shè)碰前瞬時(shí)速度為vi1 2.,-、貝u: mv1 = mgl（cos. 一cos 一：）2（2分）v1 = 2gl（ c o s-c o s）碰前：t1 - mg cos :=2mvi（3分）2t2 - mgc o s = m-（l -h）（3分）2m g htlt1 =（l-h）（coscos）2mghl（3 cos：）2（4分）10.解：（1）該質(zhì)點(diǎn)系能量守恒（3分），對滑輪軸的角動(dòng)量守恒（2分）。（2）設(shè)滑輪半徑為r,彈簧釋放后，彈簧上邊的整碼獲得的速度為v,方向向上,左邊整碼盤及右邊整碼盤及整碼獲得的速度大小是v。該質(zhì)點(diǎn)系對滑輪軸的角動(dòng)（3分）-mvr+mv r+2mv r = 0 （6 分）即 v = 3 v （1），有:能量守恒（因?yàn)閺椈蓮椥韵禂?shù)很大，所以忽略重力勢能的微小變化）1 2 12 12kl = mv + （3m）v（6 分）222即 mv2 +3mv2 =kl2（2）左盤中的整碼脫離彈簧獲得速度 v后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)2 mv2 = mgh，h = v2 / 2g（3）（3 分）由可求得v