中考數(shù)學(xué)動態(tài)幾何題中的“定值型”問題賞析

1、中考數(shù)學(xué)動態(tài)幾何題中的“定值型”問題賞析在動態(tài)幾何問題中，當一些元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時，與它相關(guān)的另一些幾何元素的某些量或其數(shù)量關(guān)系保持不變，這類問題稱為幾何定值問題。定值問題由于有時甚至不知道定值的結(jié)果，而使人難以下手，給問題解決帶來困難。解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在“可變”的元素中尋求“不變”的量一般可采用特殊值或特殊的位置，探得定值，如果需要的話再考慮證明；或直接推理、計算，并在計算中消去變量，從而得到定值。以下以2010年中考題為例說明具體的求解策略一、長度定值例1（2010山東聊城）如圖，點p是矩形abcd的邊ad的一個動點，矩形的兩條邊ab、b

2、c的長分別為3和4，那么點p到矩形的兩條對角線ac和bd的距離之和是（ ）a b c d不確定解析：因為四邊形abcd是矩形，由勾股定理得ac=bd=5.過點p分別作ac、bd的垂線pe、pf，容易得pdfbda，即，同理，pe+pf故答案為a。點評：本題屬于矩形中動點定值問題，在選擇題中，可以采取特殊點法求解，譬如p與a重合、p與b重合或p為ad的中點等特殊情形下，求出pepf的值探求答案二、角度定值例2（2010年廣東廣州）如圖，o的半徑為1，點p是o上一點，弦ab垂直平分線段op，點d是上任一點（與端點a、b不重合），deab于點e，以點d為圓心、de長為半徑作d，分別過點a、b作d的切

3、線，兩條切線相交于點c（1）求弦ab的長；（2）判斷acb是否為定值，若是，求出acb的大??；否則，請說明理由；（3）略分析：（1）連接oa，op與ab的交點為f，則oaf為直角三角形，且oa1，of，借助勾股定理可求得af的長，根據(jù)垂徑定理求得ab；（2）要判斷acb是否為定值，只需判定cababc的值是否是定值，由于d是abc的內(nèi)切圓，所以ad和bd分別為cab和abc的角平分線，因此只要daedba是定值，而daedba等于弧ab所對的圓周角，這個值等于aob值的一半，只需看aob值即可。解：（1）連接oa，取op與ab的交點為f，則有oa1弦ab垂直平分線段op，ofop，afbf在r

4、toaf中，af，ab2af（2）acb是定值.理由：由（1）易知，aob120，因為點d為abc的內(nèi)心，所以，連結(jié)ad、bd，則cab2dae，cba2dba，因為daedbaaob60，所以cabcba120，所以acb60；（3）略點評：本題是圓為載體的角度定值問題，考查了三角形內(nèi)切圓、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、同弧所對的圓周角與圓心角之間的關(guān)系及整體思想綜合運用，采用了直接推理、計算得到定值。三、周長定值例3（2010重慶）已知：如圖（1），在平面直角坐標xoy中，邊長為2的等邊oab的頂點b在第一象限，頂點a在x軸的正半軸上另一等腰oca的頂點c在第四象限，ocac，c120現(xiàn)有

5、兩動點p、q分別從a、o兩點同時出發(fā)，點q以每秒1個單位的速度沿oc向點c運動，點p以每秒3個單位的速度沿aob運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨即停止.（1）（2）略圖（3）如圖（2），現(xiàn)有mcn60，其兩邊分別與ob、ab交于點m、n，連接mn將mcn繞著c點旋轉(zhuǎn)（0旋轉(zhuǎn)角60），使得m、n始終在邊ob和邊ab上試判斷在這一過程中，bmn的周長是否發(fā)生變化？若沒有變化，請求出其周長；若發(fā)生變化，請說明理由解：（1）（2）略（3）的周長不發(fā)生變化延長至點，使，連結(jié)（如圖）， 又 的周長不變，其周長為4點評：本題是定角（60）在等邊三角形內(nèi)旋轉(zhuǎn)的動態(tài)幾何問題，探究運用過程中的的周長是否

6、定值，解題時通過旋轉(zhuǎn)變換，將三角形的周長轉(zhuǎn)化為直線段上線段和差，直接計算證明了周長為定值。解題時，也可讓mcn運動到mn平行于oa或m與o重合或n與a重合（退化的三角形）這幾種特殊情形，探求不變的周長的值。三、面積定值例3（2010廣州）如圖所示，四邊形oabc是矩形，點a、c的坐標分別為（3，0），（0，1），點d是線段bc上的動點（與端點b、c不重合），過點d作直線交折線oab于點e（1）略（2）當點e在線段oa上時，若矩形oabc關(guān)于直線de的對稱圖形為四邊形o1a1b1c1，試探究o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理

7、由.cdbaeo思路點撥：（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在oa邊上的線段長度是否變化解：（1）略（2）如圖3，設(shè)o1a1與cb相交于點m，oa與c1b1相交于點n，則矩形o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積即為四邊形dnem的面積。由題意知，dmne，dnme，四邊形dnem為平行四邊形根據(jù)軸對稱知，medned又mdened，medmde，mdme，平行四邊形dnem為菱形過點d作dhoa，垂足為h，因為直線de的解析式中，比例系數(shù)k，所以tanden，因為dh1，he2，設(shè)菱形dnem

8、的邊長為a，則在rtdhm中，由勾股定理知：，s四邊形dnemnedh矩形o1a1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為 點評：本題是點動、線動相結(jié)合的平面直角坐標系中的動態(tài)幾何題，通過運動時所形成的不同位置，考查了矩形、一次函數(shù)、直角三角形勾股定理、方程、面積、軸對稱變換、銳角三角函數(shù)等知識點和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。第（2）小題是以面積為載體的動態(tài)探究題，從面積的角度探求動態(tài)過程中的不變量，解題的關(guān)鍵是找出動態(tài)過程中的不變量，通過直接計算求得定值。五、比值定值例5（2010湖北咸寧）如圖，直角梯形abcd中，abdc，動點m以每秒1個單位長的速度，從點a沿線段ab向點b運

9、動；同時點p以相同的速度，從點c沿折線c-d-a向點a運動當點m到達點b時，兩點同時停止運動過點m作直線lad，與線段cd的交點為e，與折線a-c-b的交點為q點m運動的時間為t（秒）（1）、（2）略（3）當t2時，連接pq交線段ac于點r請?zhí)骄渴欠駷槎ㄖ?，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由abcd（備用圖1）abcd（備用圖2）qabcdlmp（第24題）e分析：（3）當t2時，確定動點p、q、m在圖形上的位置，點p在ad上，點q在bc上，畫出圖形，觀察、分析線段cq、rq與已知線段有沒有關(guān)系，是否存在相似三角形abcd（備用圖2）mqrfp解：（1）（2）略 （3）為定值 當2時，如備

10、用圖2，作cfabcfad4 四邊形amqp為矩形 crqcab點評：本題是一道以直角梯形為框架的動態(tài)幾何問題，考查了相似三角形、矩形、梯形的常用輔助線方法等知識點，體現(xiàn)了分類討論的思想。第（3）問是關(guān)于線段比的定值探究題，解題時，需要畫出當t2時的圖形，把“動態(tài)”問題轉(zhuǎn)化為“靜態(tài)”問題，根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例，將轉(zhuǎn)化為其他線段的比，探明線段比是否為定值六、積定值例6.（2010廣東深圳）如圖1，以點m（1,0）為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點a、b、c、d，直線y x 與m相切于點h，交x軸于點e，交y軸于點f （1）請直接寫出oe、m的半徑r、ch的長；（2）略（3）如圖3，點k為線段ec上一動點（不與e、c重合），連接bk交m于點t，弦at交x軸于點n是否存在一個常數(shù)a，始終滿足mnmka，如果存在，請求出a的值；如果不存在，請說明理由f圖4解：（1）如圖4，oe=5，ch=2（2）略（3）如圖6，連接ak，am，延長am，與圓交于點g，連接tg，則f圖61，由于，故，；而，故在和中，；故；所以;即：故存在常數(shù)，始終滿足mnmka，常數(shù)點評：本題是平面直角坐