高中數(shù)學(xué)不等式知識點總結(jié)

1、彈性學(xué)制數(shù)學(xué)講義不等式（4課時）知識梳理1、不等式的基本性質(zhì)（對稱性）a b b a（傳遞性）a b, b c（可加性）（同向可加性）（異向可減性）（可積性）a b, c 0ac bc（同向正數(shù)可乘性）aa b（異向正數(shù)可除性）（平方法則）a b 0（開方法則）a b 0abaab, cab, ca b, cc b cdada0acb 0, c d0,0 c danbn (nn. a n b (nc b dc b dbc0 ac bda bc dn,且 n 1)n,且 n 1)a b 0（倒數(shù)法則）2、幾個重要不等式111 c 11_ _ ;a b 0a ba ba b 2ab a, b r

2、,(當(dāng)且僅當(dāng)a b時取號)變形公式:（基本不等式）aba, b變形公式:a b 2、abababr,（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取到等號）用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大） ，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”（三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）a b c 3abc3（a、b、c r ）（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時取到等號）.2.22 a b c ab bc ca a, b r（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時取到等號）.3. 33 a b c 3abc（a 0,b 0,c 0）（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時取到等號）.b a若 ab 0,則 b - 2 a b（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）b a若 ab 0,則 b

3、a 2a b （當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）bb m,ana1 aa mbnb,（其中ab。，m 0, n 0）規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.當(dāng)a0時，xax2a2xa或xa;a x a.絕對值三角不等式 3、幾個著名不等式平均不等式:a2 b22 5（a,b r ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時取”號）.（即調(diào)和平均 幾何平均算術(shù)平均平方平均）變形公式：ab哥平均不等式：2221 .a1a2. an (a1 a2n二維形式的三角不等式：b2(a b)22an)2.x；y；x22y22,(xix2)2(yy?)2(刈引區(qū)r).二維形式的柯西不等式：/ 2 , 2, 2,22 ,(a b )(c d )

4、 (ac bd) (a,b,c,d r).當(dāng)且僅當(dāng) ad bc時，等號成立22222(aia2a3 )(bib2, 22b3 ) (aibi a2b2 a3b3).一般形式的柯西不等式:222222(aia2.an )(1blb2. bn )2(aqa2b2.anbn).向量形式的柯西不等式:ur ur設(shè)，是兩個向量，則urltirurlt當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量，或存在實數(shù)urk，使ur k三維形式的柯西不等式：時，等號成立.排序不等式(排序原理)設(shè)aia2. an,bib2.bn為兩組實數(shù).。儲2,., cn是立上2,.,bn的任一排歹j,則aibna2bn ianbia1cla2 c2ancn

5、 aibi a2b2 . anbn.(反序和亂序和順序和)，當(dāng)且僅當(dāng)ai a2 . an或bi b2 . bn時，反序和等于順序和 琴生不等式：(特例：凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點xi,x2(x x2),有f (xi x2) f(xi) f(x2)或 f (xi x2) f (xi) f(x2)222 ；2.則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法(作差，作商法)、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如(a(a 2)2;將分子或分

6、母放大（縮?。?如k25、k(k 1)k(k1)(k*n ,k1)等元二次不等式的解法2求一元二次不等式axbx c0(或0)(a20，b 4ac 0）解集的步驟:一化 二判 三求 四畫化二次項前的系數(shù)為正數(shù) 判斷對應(yīng)方程的根.求對應(yīng)方程的根.畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集 .規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間,大于取兩邊6、高次不等式的解法：穿根法 .分解因式，把根標在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切） 寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標準化，則,結(jié)合原式不等號的方向,f(x)g(x)f(x) g(x)f(x)g(x)f (x) g(x) g(x

7、) 0（ 或時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解,f (x) a(a0)f(x)f(x)f(x) a(a0)f(x)f(x).f(x) g(x)f(x) g(x) f(x)00 或g(x)2f(x) g(x).,f(x) g(x)(4)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)2f(x) 0g(x) 0 f (x) g (x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解 9、指數(shù)不等式的解法：f(x)_g(x)當(dāng) a 1 時,a a f (x) g(x)f (x)g (x)當(dāng) 0 a 1 時，a a f (x)

8、 g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法f(x) 0loga f(x) loga g(x) g(x) 0當(dāng) a 1 時，f(x) g(x)f(x) 0 loga f (x) logag(x)g(x) 0當(dāng) 0 a 1時，f(x) g(x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：a (a 0) a.定義法：a (a 0)平方法：f (x)g(x) f 2(x) g2(x).同解變形法，其同解定理有： x a a x a(a 0);a(a 0)； |f(x)| g(x) g(x) f (x) g(x) (g(x) 0) |f(x)| g(x) f (x) g

9、(x)或f(x)g(x) (g(x) 0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集13、含參數(shù)的不等式的解法2解形如ax bx c 0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有:討論a與0的大小；討論與0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題2不等式ax bx c 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a 0時 b 0,c 0；a 0當(dāng)a 0時 0.2不等式ax bx c 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a0時 b0,c 0；a 0當(dāng)a0時0. f (x)a 恒成立f(x)maxa;f (x) a 恒成立f (x)max a; f (x)a 恒成立f(x)mina;f (x) a 恒成立f(x)min a.15、線性規(guī)劃問題常見的目標函