必修二--立體幾何復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題

1、一、判定兩線平行的方法1 、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2 、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3 、 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行4 、 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行5 、 在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1 、 據(jù)定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點(diǎn)2 、 如 果 平 面 外 的 一 條 直 線 和 這個 平 面 內(nèi) 的 一 條 直 線 平 行 ， 則 這 條 直 線 和 這 個 平面平行3 、 兩面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面4 、 平面

2、外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5 、 平面外的一條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面三、判定面面平行的方法1 、定義：沒有公共點(diǎn)2、如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個平面平行4、平行于同一平面的兩個平面平行四、面面平行的性質(zhì)1 、兩平行平面沒有公共點(diǎn)2、兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面3、兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行4 、 垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面五、判定線面垂直的方法1 、 定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2 、

3、如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直3 、 如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面4 、 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面5 、 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個平面6 、 如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么它們的交線垂直于另一個平面六、判定兩線垂直的方法1 、 定義：成 90 角2 、直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直3 、在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4 、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射

4、影垂直5 、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1 、 定義：兩面成直二面角,則兩面垂直2 、 一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1 、 二面角的平面角為902 、 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面3、相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面 九、各種角的范圍1、異面直線所成的角的取值范圍是：0900 ,902、直線與平面所成的角的取值范圍是：0900 ,903、斜線與平面所成的角的取值范圍是：0900 ,904、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是：01800 ,180十、三角

5、形的心1、 內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)2、 外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點(diǎn)3、 重心：中線的交點(diǎn)4、 垂心：高的交點(diǎn)【例題分析】例2 在四錐pabcd中，底面abcd是平行四邊形，m, n分別是ab, pc的中 點(diǎn)，求證：mn /平面pad.出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造（添加）中位線輔助證明.證明：方法一，取pd中點(diǎn)e,連接ae, ne.底面abcd是平行四邊形，m, n分別是ab, pc的中點(diǎn),一 1.ma/cd, ma -cd.2e是pd的中點(diǎn)，一1 一 .ne/cd, ne -cd.2 .ma/ ne,且 ma = ne, .aenm是平行四邊形，mn / ae.又ae

6、 平面pad, mn 平面pad, .mn/平面 fad.方法二取cd中點(diǎn)f,連接mf, nf. mf / ad, nf / pd,，平面mnf /平面pad, .mn/平面 pad.【評述】關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法:證明線線平行：ac, b“c,a / a, a 3a / 3a_l a, b_l aacl 3= bn a= a,n 3= ba / ba / ba / ba/ b(2)證明線面平行:a a a=a / ba/ 3ba, a aa 3a /aa / aa /a(3)證明面面平行:acl 3=a /3, b/ 3a a, a 3a/,3 ha, ba, a ab =

7、 aa/ 3a/ 3a/ 3a /3例 3 在直三棱柱 abc aibici 中，aai = ac, abxac,求證：aicbci,【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明aic垂直于經(jīng)過bci的平面即可.證明：連接aci.abc a1b1c1是直三棱柱，1 aad平面 abc,3 abxaai.又 ab ac,4 .ab,平面 aiacci,5 aicxab.又 aai = ac,，側(cè)面aiacci是正方形，6 aidaci.由，得 aic,平面abci,7 aicxbci.【評述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的.如本題已知條件中

8、出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ablac”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4 在三棱錐 pabc中，平面pab，平面 abc, abxbc, api pb,求證：平面pac ，平面pbc.【分析】要證明“面面垂直”，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可 以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明： 平面 pabl平面 abc,平面 paba平面 abc = ab,且 abxbc, .bcl平面 pab, apxbc.又 api pb, .apl平面 pbc,又ap 平面pac, 平面pacl平面 pbc.【評述】 關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法:證明線線垂直：ac, b ii c,a a

9、b aaba b(1)證明線面垂直:am, ana b, b aa/ & a 3a_l3,acl 3= lm, n a, m m = aa3, alla aa aa aa a(1)證明面面垂直:a l & a aa_l 3例5如圖，在余三棱柱 abcaibici中，側(cè)面aiabbi是菱形，且垂直于底面 abc, zaiab = 60 , e, f 分別是 abi, bc 的中點(diǎn).(i)求證：直線ef/平面aiacci;(n)在線段ab上確定一點(diǎn)g,使平面efg，平面abc,并給出證明.證明：(i )連接aic, aie.側(cè)面aiabbi是菱形，e是abi的中點(diǎn)，1- e也是aib的中點(diǎn)，又f是

10、bc的中點(diǎn)，ef / aic. aic 平面 aiacci, ef 平面 aiacci,直線 ef /平面 aiacci.bg i 一(2)解：當(dāng) 時，平面efgl平面abc,證明如下：ga 3連接eg, fg.;側(cè)面aiabbi是菱形，且/ aiab=60 ,aiab是等邊三角形.e 是 aib 的中點(diǎn)，bg -, egxab.ga 3平面 aiabbi，平面 abc,且平面 aiabbi n平面 abc = ab, eg，平面 abc.又eg 平面efg, ,平面 efgl平面abc.例6 如圖，正三棱柱 abc aibici中，e是ac的中點(diǎn).(i)求證：平面 bec/平面 acciai

11、； (ii)求證：abi/平面beci.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(i ).abc aibici是正三棱柱，aa平面abc, bexaai.abc是正三角形，e是ac的中點(diǎn)，bexac,，be，平面acciai,又be 平 面 beci,平面bec平面acciai.(ii)證明：連接 bic,設(shè) bcinbic = d.bccibi 是矩形，d 是 bic 的中點(diǎn)，de / abi.又de 平面beci, abi平面beci,.abi/平面 beci .例7 在四棱錐 p-ab

12、cd中，平面 pad，平面 abcd, ab/dc, pad是等邊三角形，已知 bd=2ad = 8, ab 2dc 4，5.(i )設(shè)m是pc上的一點(diǎn)，證明：平面 mbd，平面pad;(ii)求四棱錐p abcd的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從 m是pc上 的動點(diǎn)分析知，mb, md隨點(diǎn)m的變動而運(yùn)動，因此可考慮平面mbd內(nèi)“不動”的直線bd是否垂直平面 pad.證明：(i)在4abd中，由于 ad=4, bd=8, ab 4j5,所以 ad2+bd2=ab2.故 adbd.又平面pad，平面 abcd,平面pad n平面 abcd = ad, bd

13、平面 abcd,所以bd，平面pad,又bd 平面mbd,故平面 mbd，平面 pad.(ii )解：過 p作polad交ad于o,由于平面 pad，平面 abcd,所以pol平面 abcd.因此po為四棱錐p-abcd的高，3又 pad是邊長為4的等邊三角形.因此 po 4 2v3.在底面四邊形 abcd中，ab/dc, ab=2dc,所以四邊形abcd是梯形，在rtaadb中，斜邊ab邊上的高為 土誓 85 ,即為 4.55梯形abcd的高，25 4.5 85 一所以四邊形abcd的面積為s 027v 24.故25vp abcd 1 24 2 3 16.3. 39.如圖4,在邊長為1的等邊

14、三角形 abc中，d,e分別是ab, ac邊上的點(diǎn)，ad ae , f是bc的中點(diǎn)，af與de交于點(diǎn)g ,將 abf沿af折起，得到如圖5所示的三棱錐a bcf ,其中 bc2(1)證明：de平面bcf ;(2)證明：cf平面abf ;2 當(dāng)ad 時，求三棱錐f deg的體積vf deg3a9.【答案】(1)在等邊三角形 abc一中，ad aead aedb ec ,在折疊后的三棱錐a bcf中也成立，de/bc , qde 平面bcf,bc 平面 bcf, de/平面bcf；1bf cf (2)在等邊三角形abc中，f是bc的中點(diǎn)，所以af bc，2.q在三棱錐abcbcf 中，222bc2

15、 bf2 cf2 cfbfq bf cf f由可知ge/cf，結(jié)合(2)可得ge平面dfg .vf degve dfg1 1_ _dg fg gf 3 2111 1 _1 133 2 3 3 23 3244.如圖，四棱錐 p-abcd中，abcd為矩形， pad為等腰直角三角形，/ apd=90面 padxw abcd ,且 ab=1 , ad=2 , e、f 分別為 pc 和 bd 的中點(diǎn).(1)證明：ef/面 pad;(2)證明：面 pdcxw pad;(3)求四棱錐p-abcd的體積.4.如圖，連接ac ,. abcd為矩形且f是bd的中點(diǎn)， ac必經(jīng)過f又e是pc的中點(diǎn)，所以，ef/a

16、p2分. ef在面pad外，pa在面內(nèi)，ef/面pad(2) ,面 pad，面 abcd , cdxad ,面 pad i 面 abcd=ad , . cd,面 pad,又 ap 面 pad, api cd又,appd, pd和cd是相交直線， ap上面pcd又ad 面pad,所以，面 pdcxw pad(3)取ad中點(diǎn)為o,連接po,因?yàn)槊鎝adxw abcd及apad為等腰直角三角形，所以 pol面abcd ,即po為四棱錐p-abcd的高12. ad=2 , po=1,所以四棱錐 p-abcd 的體積 v - po ab ad 331一，1.如圖，二棱枉 abc -a1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，/ acb=90 , ac=bc=2aai, d是棱aai的中點(diǎn)(i)證明：平面 bdcj平面bdc(ii)平面bdc 1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比1.【