隨機(jī)變量的特征函數(shù)

1、第四章 大數(shù)定律與中心極限定理4.1特征函數(shù)內(nèi)容提要1 .特征函數(shù)的定義設(shè)x是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng) e(eitx )為x的特征函數(shù),其表達(dá)式如下eitxp(xxi),在離散場(chǎng)合，e(eitx) it .eitx px(x) dx,在連續(xù)場(chǎng)合，由于eitxjcos2tx sin2tx 1，所以隨機(jī)變量x的特征函數(shù)(t)總是存在的.2 .特征函數(shù)的性質(zhì) | (t)(0) 1；(2) ( t)(it其中一(亍表示(t)的共腕；(3)若 y=ax+b,其中 a,b是常數(shù).則 丫 eibt x (at);若x與y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則x y(t) x(t) y(t)；(5)若e(xl)存在，則x (t)可

2、l次求導(dǎo)，且對(duì)1 k l ,有(k)(0) ike(xk);(6) 一致連續(xù)性特征函數(shù))在(，)上一致連續(xù)(7)非負(fù)定性特征函數(shù)(t)是非負(fù)定的，即對(duì)任意正整數(shù)n,及n個(gè)實(shí)數(shù)n nt1,t2,tn 和 n 個(gè)復(fù)數(shù) zi,z2,zn,有(tktj)zkzj0;k 1 j 1(8)逆轉(zhuǎn)公式設(shè)f(x)和(t)分別為x的分布函數(shù)和特征函數(shù)，則對(duì)f(x)的任意兩個(gè)點(diǎn)xix2，有f(x2) f(x2 0)2f(xi) f(xi 0)2tlimitx1 itx21 e eitdt;itx2 eit(t)dt;特別對(duì)f(x)的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)x1x2,有1 t eitx1fd) f(xi) tlim t (9)

3、唯一性定理隨機(jī)變量的分布函數(shù)有其特征函數(shù)唯一決定;(10)若連續(xù)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為p(x)，特征函數(shù)為(t).如果dt1itxp(x)e (t)dt23.常用的分布函數(shù)特征表分布特征函數(shù)退化分布p(x=a)=1/. ita(t) e二項(xiàng)分布(t) (q peit)n,q 1 p幾何分布(t)號(hào),q 1 p正態(tài)分布,、2,2(t) expi t f標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t)(t) e /均勻分布u(a,b)_itb _ ita+e et(b a)it均勻分布u(-a,b)sin at(t)at指數(shù)分布(1 -)1伽瑪分布ga(,)(t) (1 與2分布n(t) (1 2it) 2泊松分布(t) exp

4、 (eit 1)習(xí)題與解答4.11 .設(shè)離散隨機(jī)變量x的分布列如下，試求x的特征函數(shù).x0123p0.40.30.20.1解 x(t) 0.4 0.3eit0.2ei2t0.1ei3t2 .設(shè)離散變量x服從幾何分布p (x k) (1 p)k1p,k 1,2,試求x的特征函數(shù)，并以此求e(x)和var(x).解記q=1-p,則ititxitk k 1ititpe(t) e(e ) e q p pe (eq) k1k 11 qe(t)- it(t)個(gè),1 qeitit、2itit、 itpe (1 qe ) 2pe (1 qe )qe(1it 4 qe )e(x)(0)p1(1 q)2p1 e(

5、x) - (0)ip(1 q)2 2 pq(1 q)(1q)4_2var(x) e(x )_2e(x)1 q2 p3 .設(shè)離散隨機(jī)變量x服從巴斯卡分布p(xk)1 r*、kr1 p (1 p)k r,r 1,l ,試求x的特征函數(shù).解 設(shè)xi,x2, ,xr是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且都服從參數(shù)為p的幾何分布ge(p),則由上一題知xj的特征函數(shù)為it xj(t)沒(méi),其中q=1-p.又因?yàn)閤xi x2xr,所以x的特征函數(shù)為x(t)itxj(t)(產(chǎn)r),.j 1 qe4 .求下列分布函數(shù)的特征函數(shù)，并由特征函數(shù)求其數(shù)學(xué)期望和方差.x fi(x)2 e a|t|dt(a0);(2) f2(x

6、)1 t2dt a(a0).解(1)因?yàn)榇朔植嫉拿芏群瘮?shù)為p1(x)ax所以此分布的特征函數(shù)為01(t)2itx eax a itxe dx e2 0_ ax .e dx0ax a(costx i sintx) e dx (costx isintx) 2 0ax dx又因?yàn)?（t）所以 e(x)=a costxe axdx02ta2(a2 t2)2,1 -i(0)0,i2a277 .a t1(0) 0, l(t)2var(x)= e(x )（2）因?yàn)榇朔植嫉拿芏群瘮?shù)為ap2(x)一_2222a (3t a )-t2 z2t3-(a t )1(0)itxa e一2x2（x）積分表）-c*0 x

7、aatdx e2a所以當(dāng)t0時(shí)，有2 aat at2(t) e e2a而當(dāng)t0時(shí)，有（見(jiàn)菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程第二卷第三分冊(cè)或查2aatait2-2ae eitx e-2 x注：2(x) a又因?yàn)?（t）在t=0處不可導(dǎo)，故此分布（柯西積分）的數(shù)學(xué)期望不存在.dx也可利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)理論來(lái)計(jì)算，方法如 a下：t0時(shí),2（x）小22 dxx aitze2 ires -22，z aiz aitze2 i limz aiz aitaeta2ai e2ai5.設(shè)x n(,2）,試用特征函數(shù)的方法求x的3階及4階中心矩.c2 2解 因?yàn)檎龖B(tài)分布n（ , 2）的特征函數(shù)為（t） eit t/2,所以

8、(0)(0) i , e(x)i22_2(0)22(0), e(x )hi(0) i 3 3i 2, e(x3) 3-)3 3i42 244(0)4224(0)4 6 2 2 3 4, e(x 4)( )4 6 2 2 3 4i由此得x的3階及4階中心矩為3_3 2 2_e(x e(x)3 e(x3) 3e(x2)3e(x) 20,4_4_3e(x e(x) e(x ) 4e(x )_34_346e(x )4e(x)36 .試用特征函數(shù)的方法證明二項(xiàng)分布的可加性：若 x b (n , p),y b(m , p),且 x 與 y獨(dú)立，則 x+y b(n + m, p).證 記 q=1-p,因?yàn)?

9、x (t) (pe q)n, 丫(peit q)m,所以由x與y的獨(dú)立性得x y(t) x(t) y(t) (peit q)nm這正是二項(xiàng)分布b(n + m, p)的特征函數(shù)，由唯一性定理知x+yb(n+m,p).7 .試用特征函數(shù)的方法證明泊松分布的可加性：若 xp( 1),y p( 2)，且x 與 y 獨(dú)立，則 x+yp( 1+ 2).證：因?yàn)閤(t) e1 1), 丫e2(eit1),所以由x與y獨(dú)立性得(2 ) eit 1)xy(t) x(t) y(t) e ,這正是泊松分布p( 1+ 2).的特征函數(shù)，由唯一性定理知x+y p( 1+ 2).8 .試用特征函數(shù)的方法證明伽瑪分布的可加

10、性：若xga(a1,), yga(a2,)，且 x與 y獨(dú)立，則 x y ga(a1 a2,).證因?yàn)?x(t) (1-) a1, y(t) (1 *)a2,所以由x與y的獨(dú)立性得x y(t) x(t) y(t)(1 -) a2),這正是伽瑪分布ga(a1 a2,)的特征函數(shù)，由唯一性定理知x yga(a a2,).9 .試用特征函數(shù)的方法證明2分布的可加性：若x 2(n),y 2(m),且x與y獨(dú)立，則x y 2(n m).證因?yàn)閤(t) (1 2it) n2, y(t) (1 2it)m2,所以由x與y的獨(dú)立性得 (n m)x y(t) x(t) y(t) (1 2it) 2 ,這正是2分

11、布2 (n+m)的特征函數(shù)，由唯一性定理知x y 2(n m).10 .設(shè)xi獨(dú)立同分布，且xiexp( ),i 1,2, ,n .試用特征函數(shù)的方法證明： nynxi ga(n,).i 1證因?yàn)閤i(t) (1 士)1,所以由諸xi的相互獨(dú)立性得yn的特征函數(shù)為it nyn(t)(1 一)，這正是伽瑪分布ga(n,)的特征函數(shù)，由唯一性定理知ynga(n,).11.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量x服從柯西分布，其密度函數(shù)如下：,、1p(x)2；, x ,(x )其中參數(shù) 0,，常記為x ch(,),(1)試證x的特征函數(shù)為expi t|t，且利用此結(jié)果證明柯西分布的可加性；(2)當(dāng) 0,1時(shí),記丫=*,試證

12、x y(t) x(t) 丫 (t),但是x與不獨(dú)立；(3)若x1，x2, ,xn相互獨(dú)立,且服從同一柯西分布，試證：1 一(x1x2 xn)n與xi同分布.一 .1證(1)因?yàn)閥 x 的自度函數(shù)為p(x)22, x ，由本y節(jié)第4題(2)知y的特征函數(shù)為y(t) exp |t|.由此得x y的特征函數(shù)x(t) y (t) exp i t 丫 expi t t .下證柯西分布的可加性：設(shè)xi(i1,2)服從參數(shù)為i, i的柯西分布，其密度函數(shù)為：pi (x) 1 2, x ,i 1,2 .若x1與x2相互獨(dú)立，則(x i)x1 x2(t)x1(t) x2(t) expi 12t ( 12)t ,

13、這正是參數(shù)為12, 12柯西分布的特征函數(shù).所以由唯一性定理知xix2服從參數(shù)為12,12的柯西分布.當(dāng) 0,1時(shí)有 x(t) exp t , 丫exp t ,所以xy(t) 2x (t) x(2t)exp 2t exp t exp t x (t) y(t).由于y=x,當(dāng)然x與y不獨(dú)立.此題說(shuō)明，由x y(t) x(t) y(t)不能推得x與y獨(dú)立. 設(shè)xi都服從參數(shù)為，的柯西分布，則特征函數(shù)為 expi t t1 n由相互獨(dú)立性得，一 xi的特征函數(shù)為 (t/n)“ expi t n i 1x1具有相同的特征函數(shù)，由唯一性定理知它們具有相同的分布12 .設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量x的密度函數(shù)為p(x),試證：p(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的充要條 件是它的特征函數(shù)是實(shí)的偶函數(shù).證：記x的特征函數(shù)為x。).先證充 分性，若x(t)是實(shí)的偶 函數(shù)，則x( t) x(t)或x( t)x(t),這表明x與-x有相同的特征函數(shù)，從而x與-x有相同的密度函數(shù)，而-x的密度函數(shù)為p(-x)，所以得p(x)=p(-x)，即p(x)關(guān)于原點(diǎn)是 對(duì)稱(chēng)的.再證必要性.若p(x)=p(-x)，則x與-x有相同的密度函數(shù)，所以x與-x有相同的 特征函數(shù).由于-x