LQR和PID控制器在飛行器高度控制中的應(yīng)用

1、LQRLQR和和PIDPID控制器在控制器在飛行器控制飛行器控制 中的應(yīng)用中的應(yīng)用 畢鳳霞 關(guān)洋 劉冰姜雪瑩 CONTENTSCONTENTS 應(yīng)用背景應(yīng)用背景 A LQR狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器設(shè)計 B PIDPID控制器設(shè)計控制器設(shè)計 C 仿真分析仿真分析 D 考慮如下實(shí)際問題：考慮如下實(shí)際問題： 飛行器的最優(yōu)高度控制，飛行器的控制方程如下 其中 是飛行器的高度， 是油門輸入，試設(shè)計控制律， 使得如下性能指標(biāo)最小： dttRUU tx tx tx QtxtxtxtUtXJ T 0 3 2 1 321 )( )( )( )( ),(),(),( 2 1 )(),( )( 1 tx)(tU 問題產(chǎn)生問題

2、產(chǎn)生 初始狀態(tài)為: 對如下給定的Q、R矩陣進(jìn)行仿真和分析: TT txtxtx0 , 0 ,10)(),(),( 321 2, 000 000 001 RQ2000, 000 000 001 RQ 2, 000 000 0010 RQ 2, 000 01000 001 RQ 線性二次型 （LQR） 狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計 1 Part 所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持在平 衡狀態(tài)附近。當(dāng)某種原因是系統(tǒng)的狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)時，就 對系統(tǒng)進(jìn)行控制使之回到原平衡狀態(tài)。 對于線性定常系統(tǒng)，任何平衡狀態(tài)通過線性變換可轉(zhuǎn) 化為零狀態(tài)。為了方便起見，通常將系統(tǒng)的零狀態(tài)取為平衡 狀態(tài)。 有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器只考

3、查系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡 狀態(tài)的行為，且性能指標(biāo)只能在恢復(fù)過程中的狀態(tài)偏差、 控制量大小及終端誤差之間取得一個合理折中。然而，實(shí) 際工程問題的要求是，除了保證有限時間內(nèi)系統(tǒng)對非零初 態(tài)的響應(yīng)具有最優(yōu)性外，還要求系統(tǒng)具有保持平衡狀態(tài)的 能力。這種既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問題只能 用無線時間調(diào)節(jié)器理論去解決。 即要求 f t 設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 性能指標(biāo)為： 式中，向量 ，矩陣 00) (),()()()()(xtxtutBtxtAtx dttutRtutxtQtxJ TT 0 )()()()()()( 2 1 mn RtuRtx)(,)( 維增益矩陣為維時變系統(tǒng)矩陣，為mntB

4、nntA)()( 加權(quán)是對控制輸入加權(quán)，是對狀態(tài)其中 為對稱正定陣為半正定矩陣， utRxtQ tRtQ )()( )()( 對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，若陣對 完全 可控，則存在唯一的最優(yōu)控制 最優(yōu)性能指標(biāo)為 式中： 是對稱，非負(fù)的，而P(t)是如下黎卡 提方程 及其邊界條件 的唯一解 )(),(tBtA )()()()()()()( 1* txtKtxtPtBtRtu T )()()( 2 1 000 * txtPtxJ T )(lim)(tptP f t 0 1 QPAPBBRPAP TT 0)( f tp 設(shè)計無限時域控制器之前，首先判斷系統(tǒng)是否可控，在 MATLAB中應(yīng)用如下命令

5、求判斷系統(tǒng)能控性 若系統(tǒng)可控，則繼續(xù)求解黎卡提方程，解出系統(tǒng)的反饋矩 陣，從而求出最優(yōu)控制律使系統(tǒng)的性能指標(biāo)最小。在 MATLAB中提供了求解代數(shù)黎卡提方程的lqr()函數(shù),其調(diào)用格 式為： ),(,RQBAlqrEPK ),(bactrbrankr 狀態(tài)調(diào)節(jié)器最優(yōu)控制閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示： )()()()()(tutBtxtAtx)()( 1 tBtR T )(tP )(tu )(t )(tx LQR即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對象是現(xiàn)在控制理論中以狀態(tài)空間形 式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)， 在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視。LQR 控制方

6、法的優(yōu)勢在于其控制方案簡單，超調(diào)量小，且響應(yīng)速度快。 2 SECTION PIDPID控制器控制器 PID控制器是根據(jù)PID控制原理對整個控制系統(tǒng)進(jìn)行偏差調(diào)節(jié)偏差調(diào)節(jié)， 從而使被控變量的實(shí)際值與工藝要求的預(yù)定值一致。不同的控制規(guī) 律適用于不同的生產(chǎn)過程，必須合理選擇相應(yīng)的控制規(guī)律，否則 PID控制器將達(dá)不到預(yù)期的控制效果。 PID控制器既有比例作用的及時迅速，又有積分作用的消除余 差能力，還有微分作用的超前控制功能。 當(dāng)偏差階躍出現(xiàn)時，微分立即大幅度動作，抑制偏差的這種躍 變；比例也同時起消除偏差的作用，使偏差幅度減小，由于比例作 用是持久和起主要作用的控制規(guī)律，因此可使系統(tǒng)比較穩(wěn)定；而積 分

7、作用慢慢把余差克服掉。只要三個作用的控制參數(shù)選擇得當(dāng)，便 可充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的優(yōu)點(diǎn)，得到較為理想的控制效果。 仿真 LQRLQR控制器：控制器： 應(yīng)用MATLAB進(jìn)行仿真，通過lqr()函數(shù)來求解系統(tǒng)的反饋 矩陣K(t) , 進(jìn)而求出控制律 。在仿真過程中通過改變Q陣和R 陣來觀察系統(tǒng)特性的變化 所畫的狀態(tài)響應(yīng)曲線及控制輸入U的響應(yīng)曲線如下圖所示： （1）Q=diag(1,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋 矩陣為 )()(,0510. 2 ,0772. 2 ,7071. 0tKxtuK 02468101214161820 -4 -2 0 2 4 6 8 10 時 間 /s

8、ec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 （2）Q=diag(1,0,0),R=2000時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài) 反饋矩陣為 )()(,4166. 0 ,2517. 0 ,0224. 0tKaxtuKa 0102030405060 -2 0 2 4 6 8 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 （3）Q=diag(10,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反 饋矩陣為 )()(,3077. 3 ,3892. 4 ,2361. 2tKbxtuKb 024

9、68101214161820 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(10,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 （4）Q=diag(1,100,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反 饋矩陣為)()(,6076. 4 ,6112. 7 ,7071. 0tKcxtuKc 05101520253035404550 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,100,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 05101520253035404550 -2 0 2 4 6 8

10、10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,100,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 PIDPID控制器：控制器： PID控制時仿真效果如下： 020406080100120140160180200 -4 -2 0 2 4 6 8 10 PID控 制 時 狀 態(tài) x1的 響 應(yīng) 曲 線 020406080100120140160180200 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 PID控 制 時 狀 態(tài) x2的 響 應(yīng) 曲 線 仿真圖 020406080100120140160180200 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.

11、5 1 PID控 制 時 狀 態(tài) x3的 響 應(yīng) 曲 線 020406080100120140160180200 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 PID控 制 時 U的 響 應(yīng) 曲 線 PID控制時U的響應(yīng)曲線 分析：分析： 增大增大R R 05101520 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 05101520 -10 -5 0 5 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 0204060 -5 0 5

12、10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2000時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 0204060 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2000時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 對比（1）（2）可知，當(dāng) Q不變，R增大時，達(dá)到穩(wěn) 態(tài)所需時間變長，即響應(yīng) 時間變慢；但波動幅值變 小，反饋矩陣變小。 增大增大Q11Q11時時 05101520 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 05101520 -8 -6 -

13、4 -2 0 2 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 05101520 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(10,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 05101520 -30 -20 -10 0 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(10,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 對比（1）（3）可知，當(dāng) Q對角線上第1個元素增大 時，各相應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài) 所需時間變短，即響應(yīng)快； 但波動幅值變大，反饋矩 陣增大。 增大增大Q22Q22時時 05101520 -5

14、 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 05101520 -8 -6 -4 -2 0 2 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 0204060 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,100,0),R=2時 狀 態(tài) 響 應(yīng) 曲 線 x1 x2 x3 0204060 -8 -6 -4 -2 0 2 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,100,0),R=2時 控 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 對比（1）（4）可知，當(dāng) Q對角線

15、上第2個元素增大 時，x1、x2曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài) 所需時間較長，即響應(yīng)較 慢，平緩地趨近與零；狀 態(tài)x3，控制輸入U達(dá)到穩(wěn) 態(tài)所需時間變短，即響應(yīng) 快；反饋矩陣最大。 綜上所述，Q=diag(1,0,0)，R=2時，系統(tǒng)各方面響應(yīng)較好。矩陣Q變大時， 反饋矩陣變大；當(dāng)Q對角線上第1個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達(dá)到穩(wěn) 態(tài)所需時間變短；當(dāng)Q對角線上第2個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達(dá)到 穩(wěn)態(tài)所需時間，狀態(tài)x1、x2增長，狀態(tài)x3，控制輸入U變短；當(dāng)R變大時，反 饋矩陣變小，各曲線波動幅值變小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時間變長。根據(jù)實(shí)際的系統(tǒng)允許， 應(yīng)該適當(dāng)選擇Q和R。 根據(jù)性能指標(biāo)函數(shù)的調(diào)試經(jīng)驗可知，當(dāng)Q（

16、t）矩陣中的某一元素的權(quán)值響 應(yīng)增加時，系統(tǒng)的快速響應(yīng)性得到提高，同樣系統(tǒng)會產(chǎn)生自激，系統(tǒng)損耗了更 多的能量，如同PID控制中增大P值的效果。當(dāng)R（t）陣中某一元素的權(quán)值增大 時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，抖動幅度小，消耗的能量減小，動態(tài)性能差?？傊?，Q （t）、R（t）的選擇原則是：如果想提高控制的快速響應(yīng)性，可以增大Q（t） 中相關(guān)元素的比重。如果想要抑制控制量的幅值及其消耗的能量，可以增大R （t）中相關(guān)元素的比值。 LQR&PIDLQR&PID 02468101214161820 -3 -2 -1 0 1 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X2響 應(yīng) 曲 線 x

17、12 020406080100120140160180200 -3 -2 -1 0 1 時 間 /sec 響應(yīng) PID控 制 時 狀 態(tài) x2的 響 應(yīng) 曲 線 02468101214161820 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X1響 應(yīng) 曲 線 x1 020406080100120140160180200 -5 0 5 10 時 間 /sec 響應(yīng) PID控 制 時 狀 態(tài) x1的 響 應(yīng) 曲 線 狀態(tài)X3和U 02468101214161820 -10 -5 0 5 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 控

18、 制 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 0102030405060708090100 -60 -40 -20 0 20 時 間 /sec 響應(yīng) PID控 制 時 輸 入 U的 響 應(yīng) 曲 線 02468101214161820 -2 -1 0 1 時 間 /sec 響應(yīng) Q=diag(1,0,0),R=2時 狀 態(tài) X3響 應(yīng) 曲 線 x3 020406080100120140160180200 -3 -2 -1 0 1 時 間 /sec 響應(yīng) PID控 制 時 狀 態(tài) x3的 響 應(yīng) 曲 線 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore